高等數(shù)學(xué)上冊(cè)ppt課件完整版

1、函數(shù)第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)函數(shù)的概念01函數(shù)的幾種特性02目錄反函數(shù)03初等函數(shù)041.1.1 函數(shù)的概念3一、區(qū)間與鄰域區(qū)間是高等數(shù)學(xué)中常用的實(shí)數(shù)集設(shè) ，且 ，數(shù)集 為開區(qū)間，記作 ；數(shù)集 為閉區(qū)間，記作 ；數(shù)集 和 都稱為半開半閉區(qū)間，分別記作 和 以上這幾類區(qū)間統(tǒng)稱為有限區(qū)間1.1.1 函數(shù)的概念4一、區(qū)間與鄰域滿足關(guān)系式 的全體實(shí)數(shù) 的集合記作 ，這里符號(hào)“ ”讀作無窮大，“ ”讀作正無窮大類似地，我們記其中“ ”讀作正無窮大以上這幾類數(shù)集都稱為無限區(qū)間有限區(qū)間和無限區(qū)間統(tǒng)稱為區(qū)間1.1.1 函數(shù)的概念一、區(qū)間與鄰域表示分別 以 ， 為左右端點(diǎn)的開區(qū)間，區(qū)間長(zhǎng)度為2 ，設(shè) 滿足絕對(duì)值

2、不等式 的全體實(shí)數(shù) 的集合稱為在 中，去掉中心點(diǎn) 得到的實(shí)數(shù)集 稱為點(diǎn)稱為鄰域的中心， 稱為鄰域的半徑的去心（或空心） 鄰域，記作 注意 與 的差別在于: 不包含點(diǎn) 5點(diǎn) 的 鄰域，記作 ，即1.1.1 函數(shù)的概念6二、函數(shù)的概念例1 自由落體運(yùn)動(dòng)設(shè)物體下落的時(shí)間為 ，下落的距離為 假定開始下落的時(shí)刻為 ，那么 與 之間的依賴關(guān)系由下式給定：其中 是重力加速度，假定物體著地時(shí)刻為 ，那么當(dāng)時(shí)間 在閉區(qū)間 上任取一值時(shí)，由上式就可以確定相應(yīng)的 值1.1.1 函數(shù)的概念7二、函數(shù)的概念例2 普通快件收費(fèi)以“首重+續(xù)重”的方式計(jì)算，不超過1公斤按1公斤計(jì)算，超過1公斤不超過2公斤按2公斤計(jì)算，超過2

3、公斤不超過3公斤按3公斤計(jì)算，以此類推某快遞官網(wǎng)收費(fèi)為首重1公斤10元，續(xù)重每公斤5元，建立快件重量 與快遞費(fèi) 的函數(shù)關(guān)系解 當(dāng) 時(shí)，運(yùn)費(fèi) ；當(dāng) 時(shí)，運(yùn)費(fèi) ；當(dāng) 時(shí)，運(yùn)費(fèi) ；于是函數(shù) 可以寫成1.1.1 函數(shù)的概念8二、函數(shù)的概念定義1 設(shè) 與 是同一變化過程中的兩個(gè)變量， 和 是兩個(gè)實(shí)數(shù)集如果對(duì)于任意的一個(gè) ，按照對(duì)應(yīng)法則 ，都有唯一確定的一個(gè)與之對(duì)應(yīng)，那么稱 是 的函數(shù)，記作稱 為該函數(shù)的定義域，稱 為自變量，稱 為因變量（或函數(shù)）當(dāng)自變量 取數(shù)值 時(shí)，與 對(duì)應(yīng)的因變量 的值稱為函數(shù)在點(diǎn) 處的函數(shù)值，記作 或 當(dāng)自變量 取遍 內(nèi)所有數(shù)值時(shí)，的因變量 的全體組成的數(shù)集稱作這個(gè)函數(shù)的值域1.1

4、.1 函數(shù)的概念9二、函數(shù)的概念 確定函數(shù)定義域主要有兩種情況：在研究由公式表達(dá)的函數(shù)時(shí)，函數(shù)的定義域是使函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量的一切實(shí)數(shù)值所組成的數(shù)集，也可用區(qū)間表示而在實(shí)際問題中，函數(shù)的定義域是由實(shí)際意義確定的例3 求下列函數(shù)的定義域：解 (1) 要使函數(shù) 有定義，須 ， 即 ，所以 的定義域是 1.1.1 函數(shù)的概念10二、函數(shù)的概念例3 求下列函數(shù)的定義域：解 (2) 要使函數(shù) 有定義，須 ，即所以 的定義域是 1.1.1 函數(shù)的概念11二、函數(shù)的概念例4解例5設(shè)函數(shù) ， ，問它們是否為同一函數(shù)？解的定義域?yàn)?，在 點(diǎn)無定義，其定義域?yàn)?,由于 與 的定義域不同，所以它們不是同一個(gè)函

5、數(shù)1.1.1 函數(shù)的概念12三、函數(shù)的表示法 解析法 用解析表達(dá)式表示一個(gè)函數(shù)的方法稱為函數(shù)的解析法高等數(shù)學(xué)中討論的函數(shù)，大多由解析法表示用解析法表示函數(shù)，不一定總是用一個(gè)式子表示，也可以分段用幾個(gè)式子來表示一個(gè)函數(shù)例如這是用兩個(gè)解析式子給定的一個(gè)函數(shù)，其定義域是 ，當(dāng)自變量在區(qū)間 內(nèi)取值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值按 計(jì)算；當(dāng)自變量在區(qū)間 內(nèi)取值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值按 計(jì)算； 這種在自變量的不同變化范圍中，對(duì)應(yīng)法則用不同式子來表示的函數(shù)稱為分段函數(shù)解析法、表格法、圖示法1.1.1 函數(shù)的概念13例6 設(shè)函數(shù) 求三、函數(shù)的表示法解 因?yàn)樗岳?給出的函數(shù)稱為符號(hào)函數(shù)，記為其定義域?yàn)?值域?yàn)?.1.1 函數(shù)的概

6、念14例7 語句“變量 是不超過 的最大整數(shù)部分”表示了一個(gè)分段函數(shù)，三、函數(shù)的表示法常稱為取整函數(shù)，記為 即若 ，則 ，其中 為整數(shù)其數(shù)學(xué)表達(dá)式為其定義域?yàn)?值域?yàn)橐磺姓麛?shù).1.1.1 函數(shù)的概念15三、函數(shù)的表示法 表格法 把自變量所取的值和對(duì)應(yīng)的函數(shù)值列成表，用以表示函數(shù)關(guān)系，稱為函數(shù)的表格法如對(duì)數(shù)表，三角函數(shù)表，立方表等解析法、表格法、圖示法 圖示法 用坐標(biāo)系下的一條或多條曲線表示函數(shù)，稱為函數(shù)的圖示法例如，函數(shù) 可用下列圖形表示 函數(shù)的概念01函數(shù)的幾種特性02目錄反函數(shù)03初等函數(shù)041.1.2 函數(shù)的幾種特性17一、函數(shù)的有界性設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上有定義，如果存在正數(shù) ，使得對(duì)任一

7、 ，不等式 恒成立，那么稱函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)有界若這樣的不存在，就稱函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)無界如果函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)有界，如果函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)有界，那么稱 在區(qū)間 內(nèi)為有界函數(shù)如 在 上有界，因?yàn)?對(duì)任何 都成立注意 函數(shù)有界性不僅與函數(shù)有關(guān)，還與自變量的變化范圍有關(guān)例如，函數(shù) 在區(qū)間(1,2)內(nèi)是有界的，在區(qū)間(0,1)內(nèi)是無界的1.1.2 函數(shù)的幾種特性18二、函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)在區(qū)間 上有定義，如果對(duì)于區(qū)間 上任意兩點(diǎn) ，當(dāng)（或 ）時(shí)，有則稱函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）)1.1.2 函數(shù)的幾種特性19三、函數(shù)的奇偶性設(shè)函數(shù) 的定義域 是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，即當(dāng) 時(shí)，有 如果對(duì)于任意的 ，均有

8、則稱函數(shù) 是偶函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的函數(shù)稱為非奇非偶函數(shù)（或 ）（或奇函數(shù)）1.1.2 函數(shù)的幾種特性20四、函數(shù)的周期性設(shè)函數(shù) 的定義域?yàn)?，如果存在非零常數(shù) ，使得對(duì)于定義域內(nèi)的任何 ， 也在定義域內(nèi)，且 恒成立，那么函數(shù)叫做周期函數(shù)，稱 為 的周期周期函數(shù)的周期通常是指它的最小正周期例如，函數(shù) 及 都是以 為周期的周期函數(shù)；函數(shù) 及 都是以 為周期的周期函數(shù) 周期函數(shù)的圖形呈周期狀，即在其定義域內(nèi)長(zhǎng)度為T 的區(qū)間上，函數(shù)圖形具有相同的形狀函數(shù)的概念01函數(shù)的幾種特性02目錄反函數(shù)03初等函數(shù)041.1.2 函數(shù)的幾種特性22定義2 設(shè)函數(shù) 的定義域?yàn)?，值域?yàn)?如果對(duì)于任意一個(gè)，

9、通過關(guān)系式 可惟一確定一個(gè) ，那么 就是 的一個(gè)函數(shù)，記作或反函數(shù)有以下幾個(gè)性質(zhì)：這時(shí) 是自變量， 是因變量定義域?yàn)?，值域?yàn)?函數(shù) 叫做函數(shù) 的反函數(shù)習(xí)慣上，我們總是把自變量記作 ，因變量記作 ，改寫為 或 .（1）函數(shù) 與其反函數(shù) 互為反函數(shù)（2） 與 的定義域與值域?qū)φ{(diào)（3） 與 的圖像關(guān)于直線 對(duì)稱函數(shù)的概念01函數(shù)的幾種特性02目錄反函數(shù)03初等函數(shù)041.1.4 初等函數(shù)24一、基本初等函數(shù)1常量函數(shù) ( 為常數(shù))2冪函數(shù) ( 為常數(shù))3指數(shù)函數(shù) ( 為常數(shù))4對(duì)數(shù)函數(shù) ( 為常數(shù))5三角函數(shù) 常用的三角函數(shù)有： 三角函數(shù)還包括正割函數(shù) ，余割函數(shù) ，其中 基本初等函數(shù)包括：常量函

10、數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)1.1.4 初等函數(shù)25一、基本初等函數(shù)6反三角函數(shù) 反三角函數(shù)是三角函數(shù)在特定區(qū)間的反函數(shù)反正弦函數(shù) 是三角函數(shù) 在區(qū)間 上的反函數(shù)，定義域?yàn)?，值域?yàn)?，它是奇函數(shù)，在定義域上單調(diào)增加反余弦函數(shù) 是三角函數(shù) 在區(qū)間 上的反函數(shù)，定義域?yàn)?，值域?yàn)?，它是偶函數(shù)，在定義域上單調(diào)減少反正切函數(shù) 是三角函數(shù) 在區(qū)間 上的反函數(shù)，定義域?yàn)?，值域?yàn)?，它是奇函數(shù)，在定義域上單調(diào)增加1.1.4 初等函數(shù)26二、復(fù)合函數(shù)由物理學(xué)知，物體的動(dòng)能 是速度 的函數(shù)：式中 是物體的質(zhì)量如果考慮物體上拋運(yùn)動(dòng)，把一個(gè)質(zhì)量為 的物體以初速度 垂直向上拋出，由于地球

11、引力的作用，它就不斷減速，這時(shí)， ，于是物體的動(dòng)能 通過速度成為時(shí)間的函數(shù)：是由 和 “復(fù)合”而成的1.1.4 初等函數(shù)27二、復(fù)合函數(shù)定義2 設(shè)有兩個(gè) 及 ，如果對(duì)于 所對(duì)應(yīng)的 值，函數(shù)其中， 是自變量， 是因變量， 叫做中間變量有定義，則 通過 的聯(lián)系也是 的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)是由與 復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，記作 例如，由 ， 復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)是 ，其定義域是 1.1.4 初等函數(shù)28二、復(fù)合函數(shù) 不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)例如，函數(shù) 與 就不能復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)，因?yàn)閷?duì)于 的定義域內(nèi)任何 值所對(duì)應(yīng)的 值，都不能使 有意義例11 設(shè) ，求 ， 解 1.1.4 初等函數(shù)29二、

12、復(fù)合函數(shù) 利用復(fù)合函數(shù)不僅能將若干個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)復(fù)合成一個(gè)函數(shù)，還可以把一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)，這對(duì)于今后掌握微積分的運(yùn)算是很重要的例8 是由 ， ， 復(fù)合而成例9 是由 ， ， 復(fù)合而成例10 是由 ， ， 復(fù)合而成1.1.4 初等函數(shù)30三、初等函數(shù) 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算所得到的，并能用一個(gè)解析式表示的函數(shù)，稱為簡(jiǎn)單函數(shù) 由基本初等函數(shù)、簡(jiǎn)單函數(shù)經(jīng)過有限次復(fù)合步驟所構(gòu)成的，并能用一個(gè)解析式表示的函數(shù)，稱為復(fù)合函數(shù) 基本初等函數(shù)、簡(jiǎn)單函數(shù)、復(fù)合函數(shù)統(tǒng)稱初等函數(shù)例如 都是初等函數(shù)學(xué)海無涯，祝你成功！極限的概念第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)數(shù)列極限的概念01函數(shù)極限的概念02目

13、錄1.2.1 數(shù)列的極限34 為了求圓的面積，可以先作圓的內(nèi)接正四邊形并用此四邊形面積 來作為圓面積的第一次近似進(jìn)一步可作圓的內(nèi)接正八邊形，并記內(nèi)接正八邊形的面積為 ，作為圓面積的第二次近似照此下去，可作圓的一系列內(nèi)接正 邊形，依次可得相應(yīng)的面積為 ， ， ，當(dāng)內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)不斷增加時(shí)，其相應(yīng)的面積與圓的面積就越來越近，當(dāng) 無限增大時(shí)，圓內(nèi)接正多邊形的面積就無限接近于圓面積也即當(dāng) 無限增大時(shí)，圓內(nèi)接正 邊形面積 也不斷增大，且 在向某個(gè)定數(shù)（圓的面積）不斷接近若將這一定數(shù)稱為 的極限，則可以說：圓內(nèi)接正 邊形面積的極限就是圓的面積1.2.1 數(shù)列的極限35一、數(shù)列定義1 按一定順序排列起來

14、的無窮多個(gè)數(shù)稱為無窮數(shù)列記作 ，通常稱 為數(shù)列的第一項(xiàng)， 為第2項(xiàng)， 為第 項(xiàng)一般地，將數(shù)列的第 項(xiàng)稱為通項(xiàng)（或一般項(xiàng)）例如數(shù)列：1.2.1 數(shù)列的極限36二、數(shù)列的極限考察數(shù)列：當(dāng) 無限增大時(shí)， 趨向于確定的常數(shù)1，或者說數(shù)列 收斂于1，并稱1為該數(shù)列的極限1.2.1 數(shù)列的極限37二、數(shù)列的極限定義2 如果當(dāng) 無限增大時(shí)（記為 ）， 無限趨近于一個(gè)確定的常數(shù) ，我們就稱 是數(shù)列 的極限，或稱 趨于 ，記為當(dāng) 時(shí)，如果 不趨向于一個(gè)確定的常數(shù)，我們就說數(shù)列 沒有極限通常稱存在極限的數(shù)列為收斂數(shù)列，而不存在極限的數(shù)列為發(fā)散數(shù)列1.2.1 數(shù)列的極限38二、數(shù)列的極限例1 討論數(shù)列 、 的極限解

15、 當(dāng) 時(shí)，數(shù)列 由 的兩側(cè)無限接近于1， 因而該數(shù)列的極限為1，即當(dāng) 時(shí)，數(shù)列 在 與 兩點(diǎn)來回跳動(dòng)，不接近于任何確定的常數(shù)，故數(shù)列 為發(fā)散數(shù)列數(shù)列極限的概念01函數(shù)極限的概念02目錄1.2.2 函數(shù)的極限40極限的一種特殊類型數(shù)列可以看作自變量取正整數(shù) 的函數(shù) ，數(shù)列的極限是函數(shù)（1）當(dāng)自變量 的絕對(duì)值無限增大（記作 ）時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)的變化情形（2）當(dāng)自變量 無限接近 （記作 ）時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù) 的變化情形下面討論一般函數(shù) 的極限主要研究?jī)煞N情形：一確定的常數(shù) ，就稱當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 以 為極限這樣一個(gè)變化過程中，函數(shù) 的函數(shù)值的變化趨勢(shì)；若 無限接近某1.2.2 函數(shù)的極限41一、 時(shí)函數(shù) 的極

16、限若 取正值且無限增大，記作 ，讀作“ 趨于正無窮大”；若 取負(fù)值且其絕對(duì)值無限增大，記作 ，讀作“ 趨于負(fù)無窮大”；若 既能取正值又能取負(fù)值且其絕對(duì)值無限增大，記作 ，讀作“ 趨于無窮大”；所謂“當(dāng) 時(shí)函數(shù) 的極限”，就是討論當(dāng)自變量 趨于無窮大1.2.2 函數(shù)的極限42一、 時(shí)函數(shù) 的極限定義3 一般地，設(shè)函數(shù) 在 時(shí)有定義，若當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 無限接近于某個(gè)確定的常數(shù) ，則稱函數(shù) 當(dāng) 時(shí)以 為極限，記作例如：當(dāng) 時(shí)， ，記作 ；當(dāng) 時(shí)， ，記作 ；當(dāng) 時(shí)， ，記作 1.2.2 函數(shù)的極限43一、 時(shí)函數(shù) 的極限定義4 一般地，設(shè)函數(shù) 在 時(shí)有定義，若當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 無限接近于某個(gè)確定的常數(shù) ，

17、則稱函數(shù) 當(dāng) 時(shí)以 為極限，記作例如：當(dāng) 時(shí)， ，記作 ；當(dāng) 時(shí)， ，記作 ；當(dāng) 時(shí)， ，記作 1.2.2 函數(shù)的極限44一、 時(shí)函數(shù) 的極限定義5 一般地，設(shè)函數(shù) 在 時(shí)有定義，若當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 無限接近于某個(gè)確定的常數(shù) ，則稱函數(shù) 當(dāng) 時(shí)以 為極限，記作定理1 的充要條件是 1.2.2 函數(shù)的極限45二、 時(shí)函數(shù) 的極限例2 設(shè) ，試討論當(dāng) 時(shí)函數(shù) 的變化情況x00.90.990.9990.99990.999990.999999f（x）11.91.991.9991.99991.999991.999999x21.11.011.0011.00011.000011.000001f（x）32.12.

18、012.0012.00012.000012.000001當(dāng) 越來越接近1時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值越來越接近2容易想到，當(dāng) 無限接近于1時(shí)，函數(shù) 的相應(yīng)的函數(shù)值將無限地接近于21.2.2 函數(shù)的極限46二、 時(shí)函數(shù) 的極限例2 設(shè) ，試討論當(dāng) 時(shí)函數(shù) 的變化情況曲線 上的動(dòng)點(diǎn) ，當(dāng)其此種情況，就稱當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 以橫坐標(biāo)無限接近1時(shí)，即 時(shí)，點(diǎn) 將向定點(diǎn) 無限接近，即 2為極限，并記作1.2.2 函數(shù)的極限47二、 時(shí)函數(shù) 的極限例3 設(shè) ，試討論當(dāng) 時(shí)函數(shù) 的變化情況函數(shù) 中， ，但是，當(dāng) 時(shí)， 也趨向于2 ，即函數(shù) 當(dāng) 時(shí)以2為極限，記作 1.2.2 函數(shù)的極限48二、 時(shí)函數(shù) 的極限若 ，且 趨于

19、，記作 ；若 ，且 趨于 ，記作 若 和 同時(shí)發(fā)生，則記作 定義7 若當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 趨于常數(shù) ，則稱函數(shù) 以 為左極限，記作定義8 若當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 趨于常數(shù) ，則稱函數(shù) 以 為右極限，記作函數(shù) 在點(diǎn) 的左極限和右極限也分別記作 和 左極限和右極限統(tǒng)稱單側(cè)極限1.2.2 函數(shù)的極限49二、 時(shí)函數(shù) 的極限定義6 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 無限接近于某個(gè)確定的常數(shù) ，則稱函數(shù) 當(dāng) 時(shí)以 為極限，記作定理2 的充要條件是 1.2.2 函數(shù)的極限50二、 時(shí)函數(shù) 的極限解 因?yàn)?即 在 點(diǎn)的左右極限存在但不相等，因此 不存在 例3 考察分段函數(shù)： 在 點(diǎn)處的極限.1.2.2

20、 函數(shù)的極限51二、 時(shí)函數(shù) 的極限不管數(shù)列還是函數(shù)，都是變量因此對(duì)于求極限的方式包括 ， ， ， ， ， ， 等，都是對(duì)變量求極限 所以，以上學(xué)習(xí)的各種極限的定義可以統(tǒng)一于下面的定義之中：在自變量（可以是 或 ）某一變化過程中，如果變量 （可以是數(shù)列 或函數(shù) ）無限地接近于某個(gè)確定的常數(shù) ，就稱變量 以 為極限，記為1.2.2 函數(shù)的極限52三、函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的唯一性 如果 存在，則極限是唯一的函數(shù)極限的局部有界性 如果 存在，則存在 和 ，使得當(dāng) 時(shí)，有 函數(shù)極限的局部保號(hào)性 如果 ，而 （或 ），那么存在 ，使得當(dāng) 時(shí)，有 或 說明 以上性質(zhì)對(duì)其它類型的極限都適用學(xué)海無涯，祝你成

21、功！無窮小量與無窮大量第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)無窮大量01無窮小量02目錄無窮大量與無窮小量的關(guān)系03無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)04無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系051.3.1 無窮大量56為當(dāng) 時(shí)的無窮大量，簡(jiǎn)稱無窮大記作定義1 當(dāng) 時(shí)，如果 的絕對(duì)值無限地增大，那么稱函數(shù) 例如，當(dāng) 時(shí)， 是一個(gè)無窮大量，記作 如果當(dāng) 時(shí)， 只取正值且無限變大（或只取負(fù)值而絕對(duì)值無限變大），那么稱 為正無窮大量（或負(fù)無窮大量），記作無窮大定義中的 可以換成 ， ， ， ， 無窮大量01無窮小量02目錄無窮大量與無窮小量的關(guān)系03無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)04無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系051.3.2 無窮小量58時(shí)的無窮小量，簡(jiǎn)稱無窮小

22、，記作定義2 當(dāng) 時(shí)，如果函數(shù) 的極限為零，那么稱 為當(dāng) 無窮小定義中的 可以換成 ， ， ， ， 例1 因?yàn)?，所以函數(shù) 當(dāng) 時(shí)是無窮小因?yàn)?，所以函數(shù) 當(dāng) 時(shí)是無窮小注意 (1) 無窮小量是在某一過程中，以零為極限的變量，而不是絕對(duì)值很小的數(shù) 0是可以作為無窮小量的唯一的一個(gè)數(shù) (2) 要指明自變量的變化趨勢(shì)無窮大量01無窮小量02目錄無窮大量與無窮小量的關(guān)系03無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)04無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系051.3.3 無窮大量與無窮小量的關(guān)系60定理1 如果 為無窮大，則 為無窮小；反之，如果 為無窮小，且 ，則 為無窮大例2 求解 由于由定理1得無窮大量01無窮小量02目錄無窮大量與

23、無窮小量的關(guān)系03無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)04無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系051.3.4 無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)62定理2 有限個(gè)無窮小的代數(shù)和為無窮小定理3 有限個(gè)無窮小之積為無窮小定理4 有界函數(shù)與無窮小的乘積為無窮小定理5 常量與無窮小之積為無窮小例3 求解即 時(shí) 是無窮小量且即 時(shí) 是有界變量時(shí) 是無窮小量，即 無窮大量01無窮小量02目錄無窮大量與無窮小量的關(guān)系03無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)04無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系051.3.5 無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系64定理6(極限基本定理) 的充分必要條件是：其中 是當(dāng) 時(shí)的無窮小，即定理6中的 可以換成 ， ， ， ， 學(xué)海無涯，祝你成功！極限的四則運(yùn)算第一章 函數(shù)

24、、極限與連續(xù)1.4 極限的四則運(yùn)算67定理 如果 ，那么其中自變量 的趨勢(shì)可以是 等各種情形1.4 極限的四則運(yùn)算68例1 求 解 例2 求 解 1.4 極限的四則運(yùn)算69一般地，設(shè)多項(xiàng)式（有理整函數(shù)）那么即1.4 極限的四則運(yùn)算70設(shè)有理分式函數(shù)（有理整函數(shù)與有理分式函數(shù)統(tǒng)稱為有理函數(shù)）即其中 與 都是多項(xiàng)式，當(dāng) 時(shí)，有對(duì)于有理函數(shù)求關(guān)于 的極限時(shí)，如果有理函數(shù)在 有定義，其極限值就是在 點(diǎn)處的函數(shù)值，以后可以當(dāng)做公式使用1.4 極限的四則運(yùn)算71例3 求 解 例4 求 解 因?yàn)楹瘮?shù)的分子、分母當(dāng) 時(shí)極限都為0，所以不能直接帶入. 可以先將分子分解因式，約公因式 ，再求極限. 1.4 極限的

25、四則運(yùn)算72例5 求 解 當(dāng) 時(shí)，兩個(gè)分式皆無極限，可以先通分1.4 極限的四則運(yùn)算73例6 求 解 當(dāng) 時(shí)，分子、分母極限都為0，應(yīng)先將分子有理化例7 求 解 將分子分母同時(shí)除以 ，再求極限1.4 極限的四則運(yùn)算74例8 求 解 將分子分母同時(shí)除以 ，再求極限一般地，當(dāng) 時(shí)，有，其中 為正整數(shù)補(bǔ)充：N次方差公式學(xué)海無涯，祝你成功！兩個(gè)重要極限第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)極限存在的準(zhǔn)則01兩個(gè)重要極限02目錄1.5.1 極限存在的準(zhǔn)則78定義 設(shè)數(shù)列 ，如果滿足 ，那么稱 是遞增數(shù)列，如果滿足 ，那么稱 是遞減數(shù)列遞增數(shù)列和遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列對(duì)于數(shù)列 ，如果存在一個(gè)正數(shù) ，使對(duì)一切 都有，那么

26、稱 是有界數(shù)列，否則稱 是無界數(shù)列準(zhǔn)則（單調(diào)有界準(zhǔn)則） 單調(diào)有界數(shù)列必有極限 準(zhǔn)則告訴我們：如果數(shù)列不僅有界，而且單調(diào)，那么這個(gè)數(shù)列一定是收斂的1.5.1 極限存在的準(zhǔn)則79如果函數(shù) ， ， 在點(diǎn) 的某去心鄰域內(nèi)有定義，且滿足：那么數(shù)列 收斂，并且 類似地，有關(guān)于函數(shù)極限的夾逼準(zhǔn)則：準(zhǔn)則（夾逼準(zhǔn)則） 如果數(shù)列 ， ， 滿足下列條件：那么 極限存在的準(zhǔn)則01兩個(gè)重要極限02目錄1.5.2 兩個(gè)重要極限81一、 證 函數(shù) 對(duì)于一切 都有定義作單位圓，不妨設(shè) ， 在單位圓上取圓心角 （弧度），點(diǎn) 處的切線與 的延長(zhǎng)線相交于 ，于是因?yàn)樗约?.5.2 兩個(gè)重要極限82一、 兩邊除以 ，得即即因?yàn)?，

27、故由函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則，得1.5.2 兩個(gè)重要極限83注意：1.極限 作為公式直接使用；2.公式可推廣為 ，其中， 是 時(shí)的無窮小量，如例1 求 解 1.5.2 兩個(gè)重要極限84例2 求 解 例3 求 解 例4 求 解 令 ，則 ，且 時(shí) ， 1.5.2 兩個(gè)重要極限85二、 或 這里 是無理數(shù)該重要極限的本質(zhì)是 其中， 是 時(shí)的無窮小量 例5 求 解 1.5.2 兩個(gè)重要極限86二、 或 例6 求 解 例7 求 解 學(xué)海無涯，祝你成功！無窮小的比較及其應(yīng)用第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)無窮小量的比較01等價(jià)無窮小在求極限中的應(yīng)用02目錄1.6.1 無窮小量的比較90問題 兩個(gè)無窮小的和、差、積

28、都是無窮小，那么，兩個(gè)無窮小的商是否仍是無窮小呢？當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 都是無窮小，可是 可見，無窮小量之商（之比）不一定是無窮小，這是由于兩個(gè)無窮小量趨于零的速度有快有慢1.6.1 無窮小量的比較91定義 設(shè) 是同一變化過程中的無窮小，且 ，（1）如果 ，則稱 與 是同階無窮?。?）如果 ，則稱 與 是等價(jià)無窮小，記作 （3）如果 ，則稱 是比 高階的無窮小，記作 時(shí)， 與 時(shí)等價(jià)無窮小時(shí)， 與 時(shí)同階無窮小無窮小量的比較01等價(jià)無窮小在求極限中的應(yīng)用02目錄1.6.2 等價(jià)無窮小在求極限中的應(yīng)用93定理 設(shè) 及 在 (或 時(shí)都是無窮小，如果 存在，那么利用上述定理求極限時(shí)，可利用下列常見的等價(jià)無窮

29、?。寒?dāng) 時(shí)，例1 求解 當(dāng) 時(shí)， ， ,1.6.2 等價(jià)無窮小在求極限中的應(yīng)用94定理 設(shè) 及 在 (或 時(shí)都是無窮小，如果 存在，那么利用上述定理求極限時(shí)，可利用下列常見的等價(jià)無窮小：當(dāng) 時(shí)，例2 求解注意學(xué)海無涯，祝你成功！函數(shù)的連續(xù)性第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)函數(shù)的連續(xù)性01函數(shù)的間斷點(diǎn)02目錄初等函數(shù)的連續(xù)性03閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)041.7.1 函數(shù)的連續(xù)性98對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的差 稱為函數(shù)的改變量（或增量），記作設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量 由 變到 時(shí)，差 稱為自變量 在點(diǎn) 的改變量（或增量），記作 一般地， 可以為正值，可以為負(fù)值，也可以為零 既與點(diǎn) 有關(guān)，也與 的增量

30、有關(guān)1.7.1 函數(shù)的連續(xù)性99定義1設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有定義，如果在 處當(dāng)自變自變量的改變量 趨于零時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)的改變量 也趨于零，即那么函數(shù) 在點(diǎn) 處是連續(xù)的 稱 為函數(shù) 的連續(xù)點(diǎn)定義2設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù) 滿足那么函數(shù) 在點(diǎn) 處是連續(xù)的 稱 為函數(shù) 的連續(xù)點(diǎn)如果 ，那么稱函數(shù) 在點(diǎn) 處右連續(xù)1.7.1 函數(shù)的連續(xù)性100例1證明函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù)證函數(shù)在 處的改變量為因?yàn)樗?函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù)如果 ，那么稱函數(shù) 在點(diǎn) 處左連續(xù)；函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù)的充分必要條件是函數(shù) 在點(diǎn) 處既左連續(xù)又右連續(xù)1.7.1 函數(shù)的連續(xù)性101例2討論函數(shù) 在點(diǎn) 處的連續(xù)性解又即函數(shù)

31、 在點(diǎn) 處連續(xù)1.7.1 函數(shù)的連續(xù)性102如果函數(shù) 在開區(qū)間 內(nèi)的每一點(diǎn)連續(xù)，那么稱函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)連續(xù)如果函數(shù) 在 內(nèi)連續(xù)，且在 處右連續(xù)，在處左連續(xù)，那么稱 在閉區(qū)間 上連續(xù)函數(shù)在區(qū)間 上連續(xù)，稱它是 上的連續(xù)函數(shù)可以證明：一切基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的函數(shù)的連續(xù)性01函數(shù)的間斷點(diǎn)02目錄初等函數(shù)的連續(xù)性03閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)041.7.2 函數(shù)的間斷點(diǎn)104如果函數(shù) 在點(diǎn) 處不連續(xù)，那么稱 在點(diǎn) 處間斷，點(diǎn) 稱為函數(shù)的間斷點(diǎn)由函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù)的定義可知，函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù)，必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：（1） 在點(diǎn) 的某鄰域有定義；（2） 存在；（3） 如果上述三條件中任何一

32、個(gè)不滿足，那么點(diǎn) 就是函數(shù) 的間斷點(diǎn)1.7.2 函數(shù)的間斷點(diǎn)105根據(jù)函數(shù) 在間斷點(diǎn)處單側(cè)極限的情況，將間斷點(diǎn)分為兩類：(1) 如果點(diǎn) 是函數(shù) 的間斷點(diǎn)，并且函數(shù) 在點(diǎn) 處的左極限，右極限都存在，那么稱點(diǎn) 是函數(shù) 的第一類間斷點(diǎn)(2) 如果點(diǎn) 是函數(shù) 的間斷點(diǎn)，但不是第一類間斷點(diǎn)，那么稱點(diǎn)是函數(shù) 的第二類間斷點(diǎn)在第一類間斷點(diǎn)中，如果左極限與右極限相等，即 存在那么稱此間斷點(diǎn)為可去間斷點(diǎn)如果點(diǎn) 是函數(shù) 可去間斷點(diǎn)，那么我們可以補(bǔ)充定義 或者修改 的值，由 構(gòu)造出一個(gè)在點(diǎn) 處連續(xù)的函數(shù)1.7.2 函數(shù)的間斷點(diǎn)106例如，函數(shù) 在 處無定義，因此 是該函數(shù)的間斷點(diǎn)因?yàn)?，那么在 處， 為連續(xù)函數(shù)在第

33、一類間斷點(diǎn)中，如果左極限與右極限不相等，此間斷點(diǎn)稱為跳躍間斷點(diǎn)如果定義1.7.2 函數(shù)的間斷點(diǎn)107在第二類間斷點(diǎn)中，如果當(dāng) 或 時(shí)， ，那么稱為函數(shù) 的無窮間斷點(diǎn)例3求函數(shù) 間斷點(diǎn)，并判斷其類型解令 ，得函數(shù)的間斷點(diǎn)為 ， ， 為函數(shù)的可去間斷點(diǎn) 為函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)1.7.2 函數(shù)的間斷點(diǎn)108例4討論函數(shù) ，在 處的連續(xù)性解在 處， ，所以 ，所以 為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)又因?yàn)?，所以 在 處不連續(xù)，函數(shù)的連續(xù)性01函數(shù)的間斷點(diǎn)02目錄初等函數(shù)的連續(xù)性03閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)041.7.3 初等函數(shù)的連續(xù)性110定理1（連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算） 如果函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù)，那么證（僅證和的形式）一、

34、連續(xù)函數(shù)和、差、積、商的連續(xù)性在點(diǎn) 處連續(xù)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（若分母不為零）都是連續(xù)函數(shù)因?yàn)?在 處連續(xù)，即由極限的四則運(yùn)算法則可得，所以 在 處連續(xù)1.7.3 初等函數(shù)的連續(xù)性111定理2 若函數(shù) 在 處連續(xù)，又函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù)，二、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性且 ，則復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù)因?yàn)?在點(diǎn) 處連續(xù)，所以 ，即 ，又因?yàn)?在點(diǎn) 處連續(xù)，所以可見，求復(fù)合函數(shù)的極限時(shí)，如果 在點(diǎn) 處極限存在，又 在對(duì)應(yīng)的 處連續(xù)，則極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)交換1.7.3 初等函數(shù)的連續(xù)性112例5求極限 解函數(shù) 可以看成是由 和 復(fù)合而成由于 ，而 在 處連續(xù)由定理2知1.7.3 初等函數(shù)的連續(xù)性113三、

35、初等函數(shù)的連續(xù)性 由初等函數(shù)的定義，基本初等函數(shù)的連續(xù)性，連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，可以得出如下重要結(jié)論：根據(jù)這個(gè)結(jié)論，如果 是初等函數(shù)， 是其定義域內(nèi)的一點(diǎn)，那么一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的求 時(shí)，只需將 代入函數(shù)求其函數(shù)值 即可例6求 解因?yàn)?是初等函數(shù) 的定義域內(nèi)的一點(diǎn)，所以函數(shù)的連續(xù)性01函數(shù)的間斷點(diǎn)02目錄初等函數(shù)的連續(xù)性03閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)041.7.4 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)115定義3設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上有定義，如果存在 ，使得對(duì)于任意的 都有那么稱 是函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值（或最小值）；稱 為函數(shù) 的最大值點(diǎn)（或最小值點(diǎn)）最大值和最小值統(tǒng)稱最值定理

36、3（最值定理） 如果函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，那么函數(shù)在 上必取得最大值和最小值1.7.4 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)116定理3（最值定理） 如果函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，那么函數(shù)在 上必取得最大值和最小值注意兩點(diǎn)：（1）若把定理中的閉區(qū)間改成開區(qū)間，定理的結(jié)論不一定成立，例如函數(shù) 在 內(nèi)是連續(xù)的，但它在 內(nèi)既無最大值又無最小值（2）若函數(shù) 在閉區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn)，定理的結(jié)論不一定成立，例如函數(shù) 在 間斷， 在 上既無最大值也無最小值1.7.4 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)117定理4（介值定理） 若函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)， ，設(shè) 是介于 與 之間任一值，則在 內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使得幾何意義：平行于 軸的直線

37、至少與 上的連續(xù)曲線 相交于一點(diǎn)1.7.4 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)118推理（零點(diǎn)定理） 若函數(shù) 在 上連續(xù)且 ，則至少存在一點(diǎn) ，使得即方程 在 內(nèi)至少存在一個(gè)根 幾何意義：如果 異號(hào)， 那么連續(xù)曲線 與 軸 至少有一個(gè)交點(diǎn)1.7.4 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)119例7 證明方程 在 內(nèi)至少有一個(gè)根證 設(shè) ，則 在 上連續(xù)，又 ， ，由零點(diǎn)定理可知，在 內(nèi)至少有一點(diǎn) ，使 這表明所給方程在 內(nèi)至少有一個(gè)根學(xué)海無涯，祝你成功！導(dǎo)數(shù)的概念第二章 導(dǎo)數(shù)與微分山東信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部引例01導(dǎo)數(shù)的定義02目錄求導(dǎo)數(shù)舉例03導(dǎo)數(shù)的幾何意義04函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系052.1.1 引例123引

38、例1 求變速直線運(yùn)動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度2.1.1 引例1242.1.1 引例1252.1.1 引例1262.1.1 引例127變化率問題引例01導(dǎo)數(shù)的定義02目錄求導(dǎo)數(shù)舉例03導(dǎo)數(shù)的幾何意義04函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系052.1.2 導(dǎo)數(shù)的定義1292.1.2 導(dǎo)數(shù)的定義1302.1.2 導(dǎo)數(shù)的定義1312.1.2 導(dǎo)數(shù)的定義1322.1.2 導(dǎo)數(shù)的定義1332.1.2 導(dǎo)數(shù)的定義1342.1.2 導(dǎo)數(shù)的定義1352.1.2 導(dǎo)數(shù)的定義1362.1.2 導(dǎo)數(shù)的定義137引例01導(dǎo)數(shù)的定義02目錄求導(dǎo)數(shù)舉例03導(dǎo)數(shù)的幾何意義04函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系052.1.3 求導(dǎo)數(shù)舉例1392.1.3

39、 求導(dǎo)數(shù)舉例1402.1.3 求導(dǎo)數(shù)舉例1412.1.3 求導(dǎo)數(shù)舉例142引例01導(dǎo)數(shù)的定義02目錄求導(dǎo)數(shù)舉例03導(dǎo)數(shù)的幾何意義04函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系052.1.4 導(dǎo)數(shù)的幾何意義1442.1.4 導(dǎo)數(shù)的幾何意義145引例01導(dǎo)數(shù)的定義02目錄求導(dǎo)數(shù)舉例03導(dǎo)數(shù)的幾何意義04函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系052.1.5 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系1472.1.5 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系148學(xué)海無涯，祝你成功！函數(shù)的求導(dǎo)法則第二章 導(dǎo)數(shù)與微分山東信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則01反函數(shù)的求導(dǎo)法則02目錄2.2.1 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則定理1 如果函數(shù) 及 在點(diǎn) 處可導(dǎo)，那

40、么它們的和、差、152注 法則（1）和（2）均可以推廣到有限多個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的情形積、商（分母不為零）在點(diǎn) 處也可導(dǎo)，且（1） ；（2） ；（3） ；2.2.1 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則例1 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)解 例2 若 ，求 及 解 2.2.1 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則特別地，當(dāng) （ 為常數(shù)）時(shí)，可應(yīng)用以下推論（1） ，即常數(shù)因子可提到導(dǎo)數(shù)符號(hào)外面；解 （2） .例3 （1）求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)2.2.1 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則解 例3 （2）求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)解 例4 已知 ，求 即 2.2.1 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則解 例5 已知 ，求 即 同理可得2.2.1 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則解 例6 已知 ，求 及 所以 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)

41、算法則01反函數(shù)的求導(dǎo)法則02目錄2.2.2 反函數(shù)的求導(dǎo)法則159定理2 如果單調(diào)函數(shù) 在點(diǎn) 處可導(dǎo)，且 ，那么它的反函數(shù) 在對(duì)應(yīng)點(diǎn) 處可導(dǎo)，并且有 或該定理說明：一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)2.2.2 反函數(shù)的求導(dǎo)法則160解 因?yàn)?是 的反函數(shù)， 在區(qū)間例7 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)，且所以有即特別地，當(dāng) 時(shí)，有2.2.2 反函數(shù)的求導(dǎo)法則161解 因?yàn)?是 的反函數(shù)， 在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)例8 （1）求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)可導(dǎo)，且所以有即類似地，2.2.2 反函數(shù)的求導(dǎo)法則162例9 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)解 因?yàn)?是 的反函數(shù)， 在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)，且所以有即類似地，2.2.2 反函數(shù)的

42、求導(dǎo)法則163解 因?yàn)?是 的反函數(shù)， 在區(qū)間例7 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)，且所以有即特別地，當(dāng) 時(shí)，有學(xué)海無涯，祝你成功！復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第二章 導(dǎo)數(shù)與微分山東信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則01初等函數(shù)的求導(dǎo)公式02目錄2.3.1 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理1 如果 在點(diǎn) 處有導(dǎo)數(shù) ，而 在對(duì)應(yīng)點(diǎn) 處167即 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于復(fù)合函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)有導(dǎo)數(shù) ，那么復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)也存在，并且 或 ；2.3.1 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則例1 (1) 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù).168解 設(shè) ，則由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得(2) 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù).解 設(shè) ，則由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)

43、法則可得2.3.1 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則(3) 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù).169解 由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得(4) 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù).解 由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得2.3.1 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則(5) 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù).170解2.3.1 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則(6) 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù).171解2.3.1 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則注 當(dāng)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則熟練后，可以按照復(fù)合運(yùn)算的前后順序，層層求導(dǎo)直接得出最后結(jié)果，無需引入中間變量計(jì)算172解例2 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù).2.3.1 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則173解例3 （1）求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù).解（2）求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù).解（3）求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù).解（4）求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù).2.3.1 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則例4

44、設(shè)球狀氣球半徑 以 2 的速度等速增加，求當(dāng)氣球半徑174時(shí)，其體積 增加的速度解 由于球的體積 是半徑 的函數(shù) 是時(shí)間 的函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)所以體積 是時(shí)間 的復(fù)合函數(shù)由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得所以即當(dāng)半徑為10 時(shí)，體積的增加速度為 800 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則01初等函數(shù)的求導(dǎo)公式02目錄2.3.2 初等函數(shù)的求導(dǎo)公式176 ;1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 ; ;2.3.2 初等函數(shù)的求導(dǎo)公式1772函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則 ;3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 或設(shè)函數(shù) ，則復(fù)合函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)為學(xué)海無涯，祝你成功！隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第二章 導(dǎo)數(shù)與微分山東信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部隱函數(shù)求導(dǎo)01對(duì)數(shù)求導(dǎo)法02目錄2.

45、4.1 隱函數(shù)求導(dǎo)顯函數(shù) 把因變量 表示成自變量 的公式的形式的函數(shù)，即 的形式181隱函數(shù) 若由方程 可確定 是 的函數(shù) ,則稱該函數(shù)為隱函數(shù) .例如， 、 等都是顯函數(shù)而形如 、 等方程所確定的函數(shù)都是隱函數(shù).隱函數(shù)求導(dǎo)方法: 兩邊對(duì) 求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù) 的方程)2.4.1 隱函數(shù)求導(dǎo)例1 求由方程 確定的隱函數(shù) 對(duì) 的導(dǎo)數(shù) 182解 將方程兩邊同時(shí)對(duì) 求導(dǎo)，得解出 ，得將方程的兩邊同時(shí)對(duì)自變量 求導(dǎo)，遇到函數(shù) ，看成是 的函數(shù)， 求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的思路：遇到 的函數(shù)（例如 ）看成是以 為中間變量的復(fù)合函數(shù)，然后從所得的關(guān)系式中解出 即可2.4.1 隱函數(shù)求導(dǎo)例2 求由方程 確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 18

46、3解 將方程兩邊同時(shí)對(duì) 求導(dǎo)，得解得2.4.1 隱函數(shù)求導(dǎo)例3 求曲線 在點(diǎn) 處的切線方程184解 將方程兩邊同時(shí)對(duì) 求導(dǎo)，得解得所求切線方程為切線的斜率為即隱函數(shù)求導(dǎo)01對(duì)數(shù)求導(dǎo)法02目錄2.4.2 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 冪指函數(shù)（ ）及多次乘除運(yùn)算和乘方開方186例4 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：解 （1）兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得兩邊同時(shí)對(duì) 求導(dǎo)，有運(yùn)算得到的函數(shù)，通常采用對(duì)等式兩端同取自然對(duì)數(shù)，轉(zhuǎn)化為隱函數(shù)，再利用隱函數(shù)求導(dǎo)方法求出它的導(dǎo)數(shù)，這種方法通常稱為對(duì)數(shù)求導(dǎo)法所以2.4.2 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法187例4 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：解 (2) 兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得兩邊同時(shí)對(duì) 求導(dǎo)，有所以學(xué)海無涯，祝你成功！參數(shù)方程

47、求導(dǎo)與高階導(dǎo)數(shù)第二章 導(dǎo)數(shù)與微分山東信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部參數(shù)方程求導(dǎo)01高階導(dǎo)數(shù)02目錄2.5.1 參數(shù)方程求導(dǎo)191確定 與 之間的函數(shù)關(guān)系，則稱此函數(shù)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)如果函數(shù) 、 都可導(dǎo)，且 ，又 具有單調(diào)一般地，如果參數(shù)方程 復(fù)合而成的函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的求導(dǎo)法則，有連續(xù)的反函數(shù) ，則參數(shù)方程確定的函數(shù)可以看成由 與 2.5.1 參數(shù)方程求導(dǎo)例1 已知橢圓的參數(shù)方程為 ，求其在 處的切線方程192解 當(dāng) 時(shí)，橢圓上相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是 ，即 由于故所求切線的斜率為所求切線方程為即參數(shù)方程求導(dǎo)01高階導(dǎo)數(shù)02目錄2.5.2 高階導(dǎo)數(shù)一般地，如果函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) 在點(diǎn) 處可導(dǎo)，

48、那么稱 在點(diǎn)194的導(dǎo)數(shù)為函數(shù) 在點(diǎn) 處的二階導(dǎo)數(shù)，記作類似地，二階導(dǎo)數(shù) 的導(dǎo)數(shù)稱為 的三階導(dǎo)數(shù)，記作一般地，函數(shù) 的 階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù) 的 階導(dǎo)數(shù)，記作2.5.2 高階導(dǎo)數(shù)例2 已知函數(shù) （ 為正整數(shù)），求 195解 因?yàn)樗岳? 求函數(shù) 的 階導(dǎo)數(shù)解 顯然2.5.2 高階導(dǎo)數(shù)例4 已知 ，求 196解 因?yàn)?， 所以例5 求函數(shù) 的 階導(dǎo)數(shù) 解 因?yàn)?，所以 故2.5.2 高階導(dǎo)數(shù)197例6 求函數(shù) 的 階導(dǎo)數(shù) 解 因?yàn)?， 故同理可得2.5.2 高階導(dǎo)數(shù)198例7 已知 ，求 解 兩邊同時(shí)對(duì) 求導(dǎo)，得 式兩邊再對(duì) 求導(dǎo)，得故代入 得當(dāng) 時(shí)， ，因此 學(xué)海無涯，祝你成功！微分第二章 導(dǎo)

49、數(shù)與微分山東信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部2.6 微分201導(dǎo)數(shù) 表示函數(shù)在點(diǎn) 處的變化率它描述了函數(shù)在點(diǎn) 處變化速度的快慢 在實(shí)踐中，有時(shí)還需要了解函數(shù)在某點(diǎn)當(dāng)自變量取得一個(gè)微小的改變量時(shí)，函數(shù)取得的相應(yīng)改變量的大小，為此引入微分的概念微分 表示函數(shù)在點(diǎn) 處的變化量它描述了函數(shù)在點(diǎn) 處變化程度微分的定義01微分的幾何意義02目錄微分公式與法則03微分在近似計(jì)算上的應(yīng)用042.6.1 微分的定義203引例 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,其邊長(zhǎng)由 變到 面積的增量為問此薄片面積改變了多少? 解 設(shè)薄片邊長(zhǎng)為 , 面積為 A , 則 當(dāng) x 在 取得增量 時(shí)，關(guān)于x 的線性主部高階無窮小時(shí)為故

50、稱為函數(shù)在 的微分2.6.1 微分的定義204定義: 若函數(shù) 在某區(qū)間內(nèi)有定義， 及 在這區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)的增量可表示為其中 是不依賴于 的常數(shù)，那么稱函數(shù) 在點(diǎn) 是可微的，而 叫做函數(shù) 在點(diǎn) 相應(yīng)于自變量增量 的微分，記作 ，即定理: 函數(shù)在點(diǎn) 可微的充要條件是即2052.6.1 微分的定義定理: 函數(shù)在點(diǎn) 可微的充要條件是即證: “必要性” 已知在點(diǎn) 可微 ,則故在點(diǎn) 可導(dǎo),且2062.6.1 微分的定義定理: 函數(shù)在點(diǎn) 可微的充要條件是即“充分性”已知即在點(diǎn) 的可導(dǎo),則2072.6.1 微分的定義說明:時(shí) ,所以時(shí)很小時(shí), 有近似公式與是等價(jià)無窮小,當(dāng)故當(dāng)微分的定義01微分的幾何意義02

51、目錄微分公式與法則03微分在近似計(jì)算上的應(yīng)用042.6.2 微分的幾何意義209微分的幾何意義當(dāng) 很小時(shí),則有從而導(dǎo)數(shù)也叫作微商切線縱坐標(biāo)的增量自變量的微分,記作記微分的定義01微分的幾何意義02目錄微分公式與法則03微分在近似計(jì)算上的應(yīng)用042112.6.3 微分公式與法則1. 微分公式2122.6.3 微分公式與法則2132.6.3 微分公式與法則2. 微分運(yùn)算法則設(shè) u(x) , v(x) 均可微 , 則(C 為常數(shù))分別可微 ,的微分為微分形式不變5. 復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)2142.6.3 微分公式與法則例3 設(shè) ，求 解 （方法一）應(yīng)用微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系兩邊同時(shí)對(duì) 求導(dǎo)，得所以即2

52、152.6.3 微分公式與法則例3 設(shè) ，求 解 （方法二）應(yīng)用微分法則兩邊同時(shí)微分，得所以2162.6.3 微分公式與法則例4 設(shè) ，求 設(shè) ，則 ，于是（方法二）利用微分形式的不變性解 （方法一）利用 ，得 2172.6.3 微分公式與法則例5 求 解思考題 在下列括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:說明: 上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.注意: 數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性.微分的定義01微分的幾何意義02目錄微分公式與法則03微分在近似計(jì)算上的應(yīng)用04219當(dāng)很小時(shí),使用原則:得近似等式:2.6.4 微分在近似計(jì)算上的應(yīng)用220例6 求 的近似值 于是解 令 ，那么 2.6.4 微

53、分在近似計(jì)算上的應(yīng)用例7 求 的近似值 于是解 令 ，那么 221事實(shí)上，當(dāng)很小時(shí),常用近似公式:很小)證明:令得222例8 一平面圓環(huán)形,其內(nèi)半徑為10cm，寬為0.1cm，求其面積的近似值于是解 半徑為 的圓的面積公式為 ， 2.6.4 微分在近似計(jì)算上的應(yīng)用 而圓環(huán)可看作半徑為10cm 的圓半徑增加0.1cm時(shí)面積的改變量 ， 學(xué)海無涯，祝你成功！微分中值定理第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用山東信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部羅爾中值定理01拉格朗日中值定理02目錄柯西中值定理033.1.1 羅爾中值定理定理1（羅爾中值定理） 如果函數(shù) 滿足條件：226(1)在閉區(qū)間 上連續(xù)；(2)在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)；(3

54、)則在區(qū)間 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使 .證:故在 a , b 上取得最大值 M 和最小值 m .若 M = m , 則因此若 M m , 則 M 和 m 中至少有一個(gè)與端點(diǎn)值不等,不妨設(shè) 則至少存在一點(diǎn)使則由費(fèi)馬引理得 3.1.1 羅爾中值定理227注意:1) 定理?xiàng)l件條件不全具備, 結(jié)論不一定成立. 例如,3.1.1 羅爾中值定理228使2) 定理?xiàng)l件只是充分的.本定理可推廣為在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo), 且在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)羅爾中值定理01拉格朗日中值定理02目錄柯西中值定理033.1.2 拉格朗日中值定理230定理2（拉格朗日中值定理） 如果函數(shù) 滿足下列條件：(1)在

55、閉區(qū)間 上連續(xù)；(2)在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo),那么在開區(qū)間 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得幾何意義 連接曲線兩端點(diǎn)的弦 的斜率為 ，顯然在曲線上至少存在一點(diǎn) ，使過該點(diǎn)的切線 斜率為 與弦 平行,即 或3.1.2 拉格朗日中值定理注 在拉格朗日中值定理中，如果再增加一個(gè)條件：那么定理的結(jié)論正是羅爾定理的結(jié)論.231即 羅爾定理是拉格朗日中值定理的一種特殊情況.3.1.2 拉格朗日中值定理例1 驗(yàn)證拉格朗日中值定理對(duì)于函數(shù) 在區(qū)間 上的正確性.232滿足證 因?yàn)?在閉區(qū)間 上連續(xù)，在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)，拉格朗日中值定理的條件，則在開區(qū)間 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得即 解之得 所以拉格朗日中值定理對(duì)于函數(shù) 在區(qū)間 上的

56、正確性.3.1.2 拉格朗日中值定理例2 利用拉格朗日中值定理證明：當(dāng) 時(shí)， .233證 先證 時(shí)的情況.設(shè) ，設(shè) ，因?yàn)?在 內(nèi)的任何有限區(qū)間上均滿足拉格朗日中值定理的條件，在 內(nèi)任取 ，在閉區(qū)間 上使用拉格朗日中值定理，在開區(qū)間 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得 即 整理得 因?yàn)?， ，所以 .同理可證 時(shí)，以上結(jié)論仍然成立. 所以當(dāng) 時(shí)， .3.1.2 拉格朗日中值定理推論1 如果 在開區(qū)間 內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么 在區(qū)間234由拉格朗日中值定理可以得到兩個(gè)非常重要的推論：證 設(shè) ， 是開區(qū)間 內(nèi)的任意兩點(diǎn)，且 ，由拉格朗日中值定 內(nèi)是一個(gè)常數(shù).由假定得 ，所以 ，即 因?yàn)?， , 是區(qū)間 內(nèi)的任意

57、兩點(diǎn)，所以 理，得3.1.2 拉格朗日中值定理推論2 如果對(duì)于開區(qū)間 內(nèi)的任意 ，總有 ，那么在開235證 令 ，因?yàn)橛赏普?可知，在區(qū)間 內(nèi)， ，即 區(qū)間 內(nèi)， 與 之差是一個(gè)常數(shù)，即 （ 是常數(shù)）3.1.2 拉格朗日中值定理設(shè) 在區(qū)間 上滿足拉格朗日中值定理的條件， 和 是該236即上式也可以看作拉格朗日中值定理使用.區(qū)間內(nèi)的任意兩點(diǎn)，在區(qū)間 上使用拉格朗日中值定理可得羅爾中值定理01拉格朗日中值定理02目錄柯西中值定理033.1.3 柯西中值定理定理3（柯西中值定理） 如果函數(shù) 、 在閉區(qū)間 上連續(xù)，在238在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo) , 在 內(nèi)均不為零，那么在開區(qū)間 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得學(xué)海無

58、涯，祝你成功！洛必達(dá)法則第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用山東信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部3.2 洛必達(dá)法則241如果當(dāng) （或 時(shí)，兩個(gè)函數(shù) 和 都趨于零或都趨于無窮大，那么極限 可能存在，也可能不存在，通常把這類極限叫做未定式，記為 型或 型.例如, 為未定式 型， 為未定式 型.這類極限即使存在，也不能用商的極限的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算,下面介紹求這類極限的極為簡(jiǎn)便而且非常重要的方法-洛必達(dá)法則.3.2 洛必達(dá)法則首先討論 時(shí)未定式 型的洛必達(dá)法則.242（1） ；定理1 設(shè) 、 在 的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果（2） 、 在 的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且 ；（3） （或無窮大），那么 （或無窮大）3.2 洛必達(dá)法則以上

59、定理說明，當(dāng) 時(shí)，求未定式 型的值，在符合條件的情況下，243例1 求 .可以先對(duì)分子、分母求導(dǎo)數(shù)再求極限,這種在一定條件下先對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)后再求極限來確定未定式的值的方法叫洛必達(dá)法則.解 因?yàn)檫@是未定式 型， 所以3.2 洛必達(dá)法則244例2 求 .解 因?yàn)檫@是未定式 型， 所以例3 求 .解 因?yàn)檫@是未定式 型， 所以3.2 洛必達(dá)法則245例4 求 .解3.2 洛必達(dá)法則對(duì)于 時(shí)未定式 型的洛必達(dá)法則.246（1） 定理2 設(shè) 、 在 的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果（2） 、 在 的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且 ；（3） （或無窮大），那么 （或無窮大）以上討論的 時(shí)未定式 型的洛必達(dá)法則對(duì)于

60、時(shí)未定式 型同樣適用.3.2 洛必達(dá)法則247例5 求 .解例6 求 .解3.2 洛必達(dá)法則248例7 求 （ 為正整數(shù)）.解3.2 洛必達(dá)法則249其它類型的未定式，如： 型、 型、 型、 型、 型，如果能轉(zhuǎn)化解未定式 型或 型，同樣可以使用洛必達(dá)法則求極限. 例8 求 .3.2 洛必達(dá)法則250解例9 求 .因?yàn)?所以 3.2 洛必達(dá)法則使用洛必達(dá)法則求極限時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：251（1）不滿足洛必達(dá)法則的，不能使用洛必達(dá)法則. （2）若 仍是未定式 型或 型，且滿足洛必達(dá)法則的條件，可（3）在某些特殊情況下洛必達(dá)法則可能失效，此時(shí)應(yīng)尋求其他解法.以繼續(xù)使用洛必達(dá)法則.3.2 洛必達(dá)法則25