學(xué)生在幾何證明題中常見錯誤分析

1、學(xué)生在幾何證明題中常見錯誤分析作幾何證明題時為了保證證題的正確性，除了要準確運用幾何概念、公理、定理作 為依據(jù)，還必須遵守同一律、矛盾律、排中律和充足理由律等邏輯思維的基本規(guī)律。在幾何教學(xué)的過程中，會常?？吹綄W(xué)生有一些似是而非的證法，這個時候教師如果 了解學(xué)生產(chǎn)生這些錯誤的原因，及時給予糾正或作為典型例題給予講解，就能使學(xué)生在 今后的學(xué)習(xí)中盡量防止或減少這些錯誤的出現(xiàn)?？偟膩碚f學(xué)生所出現(xiàn)的錯誤可以歸結(jié)為 偷換概念、虛假理由、偷換命題、循環(huán)論證等。下面我將列舉一些有代表性的、常見的 錯例進行剖析，并指出正確的證法。偷換概念在命題的證明過程中，把不屬于某一概念外延的事物誤認為屬于這一概念，從而誤

2、認為該事物具有此概念的某些屬性，得出錯誤的證明，這就是犯了偷換概念的錯誤，也 違反了同一律。這種錯誤在學(xué)生的證明經(jīng)常出現(xiàn)。例1已知：如圖（1）AB/CD,MG、HN分別為ZEGA. ZEHC的平分線，H TOC o 1-5 h z 求證：GM/HN錯證：AB/CD aZEGA =ZEHC一B又、MG、HN分別為ZEGA、ZEHC的平分線，NCDA GM/HN（同位角相等兩直線平行）.ZMGA =Z NHC一分析：上述證法把ZMGA、Z NHC當(dāng)成GM、NH被EF所截得的同位角而得出結(jié)論，顯 然是犯了偷換概念的錯誤。正證：把上面證法中“ ZMGA =Z NHC ”換成“ ZMGE =Z NHE”

3、即可。例2已知：如圖（2）梯形ABCD中，AD/BC,兩對角線交于0，過O作EF/BC，分 別交AB、CD于E、F，求證：0E=0F錯證：、EF/BC/AD.AOE AACBADOFADBCOE _ AE OF _ DF .BC EBBC FCAE DF而.E FCOE OF.BC BC即 OE=OF.分析：事實上，是相似的對應(yīng)邊，而不是這兩個三角形的對應(yīng)邊，所以。以上錯證 把當(dāng)作是相似三角形的對應(yīng)邊，也犯了偷換概念的錯誤。要防止這種常見的錯誤就要求 教師要將相似三角形的對應(yīng)的概念、平行線分線段成比例的概念講清楚，并通過練習(xí)幫 助學(xué)生理解、掌握概念。正證：EF/BC/AD.AAOEAACBAD

4、OFADBCDFDCOE _ AE OF .BAB BCAE DF而二 =而 AB DCOE _ OF.BC BC即 OE=OF虛假理由有些學(xué)生在幾何學(xué)習(xí)中對有關(guān)的概念、定理沒有真正的理解掌握或者只是一知半解，因此常常任意的推廣引申定理得出有利于論題成立的假判斷作為論證的根據(jù)而造成的錯 誤，可以歸結(jié)為犯了虛假理由的錯誤，違反了邏輯上的充足理由律。例3已知：如圖（3）AABC中，AB=AC,AD為ZA的平分線，DELAB,DFLAC垂足分別 為E、F.求證：AD為EF的中垂線.圖（3）錯證：AD為ZA的平分線，DE1AB,DF1AC二DE=DF （角平分線上的點到角兩邊的距離相等）AD為EF的中

5、垂線（到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上） 分析：以上證法表面上看干脆利落，但是由DE=DF只可能推出為EF的中垂線上的點， 而點D的直線有無數(shù)條如圖（3.1）故不能說明AD為EF的中垂線，犯了虛假理由的錯 誤。正證：VAD為ZA的平分線，DELAB,DFLAC.DE=DF （角平分線上的點到角兩邊的距離相等）.RtAAED 三 RtAAFD（HL）AE=AF又、AAEF中AD為ZA的平分線AD為EF的中垂線（三線合一）例4如圖（4）兩個不等的圓交于點P、Q，AB與CD為兩條外公切線求證：AC/PQ/BD錯證：延長PQ與AB交于E,與CD交于F由切割線定理EA 2 = EP EQ

6、= EB 2EA = EB同理FC=FDAE CF.有=EB FDAC/EF/BD （平行線分線段成比例定理逆定理）即 AC/PQ/BD分析：上述證法錯在最后一步，眾所周知，原命題成立，其逆命題不一定成立平行 線分線段成比例定理逆定理恰好不成立。所以這一證法是犯了虛假理由的錯誤。正證：兩圓不等二兩外公切線必交于一點G （如圖4.1）由切線長定理GB=GD GA=GCGB _ GDDA GCZBGD=ZAGC BGD AGCZGBD=ZGACAC/BD四邊形ABDC是梯形延長PQ與AB交于E,與CD交于F,則由圓冪定理EA 2 = EP EQ = EB 2EA = EB同理 FC=FDEF是梯形ABDC的中位線二 AC/EF/BD 即 AC/PQ/BD偷換命題偷換命題是指證明時證明者偷偷加入某些條件，由特例代替一般情形來加以證明。這種錯誤也叫做以特殊代一般，它違反了同一律。例5已知：P是小ABC內(nèi)任意一點求證：PA+PB+PCAB+BC+CA錯證：在AABP中ZABPZ APBPAAB（如圖 5.1）同理 PBBC PCCA二 PA+PB+PCAB+BC+CA分析：以上證明由圖形直觀斷定ZABPZ APB且PAPB正證：如圖(5.3)延長AP交BC于D、PD+DCPCAB+BDAD=PA+PD二 AB+BD+PD+PCP