2022屆天津市第一中學(xué)高三下學(xué)期統(tǒng)練（六）數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁(yè)，共 =sectionpages 3 3頁(yè)第 Page * MergeFormat 18 頁(yè) 共 NUMPAGES * MergeFormat 18 頁(yè)2022屆天津市第一中學(xué)高三下學(xué)期統(tǒng)練(六)數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知集合，則（）ABCD【答案】C【分析】利用補(bǔ)集和交集的定義可求得結(jié)果.【詳解】由已知條件可得，因此，.故選：C.2“”是“”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】A【分析】解兩個(gè)不等式，利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】解不等式可得或，解不等式得或，解得或，因?yàn)榛蚧颍虼?，“”是“”的充分而不必要條

2、件.故選：A.3函數(shù)的圖象大致為 （）ABCD【答案】D【解析】排除法，求出函數(shù)的定義域可排除A、B，函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移一個(gè)單位得到，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而可得出結(jié)論【詳解】解：由得且，即且，函數(shù)的定義域?yàn)?，故A、B錯(cuò)；又函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移一個(gè)單位得到，時(shí)，由得，令，存在實(shí)數(shù)，使得，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；函數(shù)在上的單調(diào)性應(yīng)是先遞減后遞增，故C錯(cuò)，D對(duì)；故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)與圖象，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題4已知，則（）ABCD【答案】A【分析】比較、三個(gè)數(shù)與、的大小關(guān)系，由此可得出、三個(gè)數(shù)的

3、大小關(guān)系.【詳解】，因此，.故選：A.5某校隨機(jī)抽取了400名學(xué)生進(jìn)行成績(jī)統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績(jī)都在50分至100分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組畫出頻率分布直方圖如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（）A直方圖中x的值為0.040B在被抽取的學(xué)生中，成績(jī)?cè)趨^(qū)間的學(xué)生數(shù)為30人C估計(jì)全校學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?4分D估計(jì)全校學(xué)生成績(jī)的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為93分【答案】C【分析】根據(jù)學(xué)生的成績(jī)都在50分至100分之間的頻率和為1可求得x值，以此判斷A；計(jì)算成績(jī)?cè)趨^(qū)間70，80)的學(xué)生頻率，然后可計(jì)算該區(qū)間學(xué)生數(shù)，以此判斷B；按照頻率頻率分布直方圖中平均數(shù)計(jì)算公式計(jì)算可判斷C；按照頻率分布直方圖中百分位數(shù)的計(jì)算方法

4、計(jì)算可判斷D.【詳解】定義A：根據(jù)學(xué)生的成績(jī)都在50分至100分之間的頻率和為1，可得，解得x=0.03，所以A錯(cuò)；對(duì)于B：在被抽取的學(xué)生中，成績(jī)?cè)趨^(qū)間70，80)的學(xué)生數(shù)為100.015400=60(人)，所以B錯(cuò)；對(duì)于C：估計(jì)全校學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?50.05+650.1+750.15+850.3+950.4=84(分)，所以C對(duì)；對(duì)于D：全校學(xué)生成績(jī)的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為 (分).所以D錯(cuò).故選：C6已知三棱錐外接球的球心在線段上，若與均為面積是的等邊三角形，則三棱錐外接球的體積為（）ABCD【答案】D【分析】由題意，為的中點(diǎn)，且是等腰三角形，從而可得，進(jìn)而可得球的體積.【詳解】解：

5、由題意知，（為三棱錐外接球半徑)，與均為面積是的等邊三角形，設(shè)邊長(zhǎng)為，則有，所以，,是等腰三角形，又為的中點(diǎn)，,.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件，得出為的中點(diǎn)，且是等腰三角形，從而根據(jù)勾股定理列式，求出三棱錐外接球的半徑.7已知函數(shù).給出下列結(jié)論：的最小正周期為；是的最大值；把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度后，再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到的圖象.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）ABCD【答案】C【分析】先求出，利用周期公式判斷；求出的值判斷；利用圖像變換判斷.【詳解】對(duì)于：的最小正周期為.故錯(cuò)誤；對(duì)于：為最大值.故正確；對(duì)于：把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位

6、長(zhǎng)度后得到的圖象；再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到，即為的圖象.故正確.故選：C8已知雙曲線的左頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離為，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線的方程為（）ABCD【答案】C【分析】由已知條件求出的值，可求得的值，再由點(diǎn)在直線上可求得的值，由此可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由已知條件可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，可得，所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，拋物線的焦點(diǎn)為，由于雙曲線的左頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)間的距離為，則，解得，點(diǎn)在第三象限，由題意可知，點(diǎn)在直線上，所以，解得.因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，解題的關(guān)鍵在于結(jié)合

7、已知條件求出、的值，并結(jié)合焦點(diǎn)的位置可得出雙曲線的方程.9已知，且函數(shù).若對(duì)任意的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD【答案】B【解析】先參變分離得，然后分類討論求出得最小值，列不等式解出的范圍即可.【詳解】解：因?yàn)?，不等式恒成立，所以，即恒成立，令，則，時(shí)，0，g（x）遞減；時(shí)，0，g（x）遞增，所以g（x）最小值為：，令（），所以令（1）當(dāng)時(shí)，t4，所以的最小值為：，所以，即，解得：，所以（2）當(dāng)14時(shí)，所以，的最小值為：，所以，即，解得：所以恒成立綜合（1）（2）可知：故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的綜合問(wèn)題，不等式恒成立問(wèn)題，參變分離和分類討論是解題關(guān)鍵，屬于難題.二、填空題

8、10是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則為_.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則，先求得，然后求得其共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】，故故答案為：11在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為_.【答案】60【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)，找到常數(shù)項(xiàng)即可.【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)，易知故答案為：60.12已知直線與圓交、兩點(diǎn)，若，則直線的方程為_.【答案】【分析】求出圓心到直線的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得出關(guān)于的等式，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的值，由此可得出直線的方程.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，因?yàn)?，且，所以，為等腰直角三角形，且，圓心到直線的距離為，整理可得，解得.因此，直線的方程為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利

9、用直線截圓所得弦所對(duì)的圓心角求直線方程，解題的關(guān)鍵在于利用圓心到直線的距離列等式求解，充分利用幾何法分析弦心距.13已知，且，則的最小值是_.【答案】4【分析】將已知化為，所求通分變形為，利用基本不等式即可求解.【詳解】解：，又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.的最小值為4.故答案為：4.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：基本不等式中最值定理“和定積最大，積定和最小”是解本題的關(guān)鍵，對(duì)所求式子分析知，只需把已知條件因式分解，所求前兩個(gè)分式通分即可求解.三、雙空題14盒中裝有大小、形狀完全相同的2個(gè)紅球和3個(gè)黑球.若從中取2個(gè)球，恰好都是黑球的概率是_；若每次取1球，取后不放回，直到取出黑球時(shí)停止，則取球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望

10、_.【答案】 0.3 【分析】根據(jù)古典概型的概率公式可求概率，再算出的分布列后可得其數(shù)學(xué)期望.【詳解】從中取2個(gè)球，恰好都是黑球的概率為.又可取，且，故，故答案為：0.3，15如圖是由兩個(gè)有一個(gè)公共邊的正六邊形構(gòu)成的平面圖形，其中正六邊形邊長(zhǎng)為1設(shè)，則_；是平面圖形邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是_【答案】 1 【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用相等向量的坐標(biāo)相等，列式求解；設(shè)，求出，通過(guò)直線平移即可求解的取值范圍.【詳解】建立以為原點(diǎn)，如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，連接，因?yàn)榱呅螢檎呅?，所以，作于，所以，所以，所以，設(shè)，所以，所以如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，其中，作直線，平移使之經(jīng)過(guò)多邊形內(nèi)每一

11、個(gè)點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)線段時(shí)，取得最大值，當(dāng)當(dāng)直線經(jīng)過(guò)線段時(shí)，取得最小值.故答案為：；四、解答題16在中，角的對(duì)邊分別為，若，且的面積為，.(1)求角的大小及；(2)求的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）切化弦之后，結(jié)合兩角和差正弦公式和誘導(dǎo)公式可化簡(jiǎn)求得，由此可得；結(jié)合三角形面積公式可得，由余弦定理可求得；（2）由（1）可求得，利用余弦定理可得，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系可得，利用兩角和差正弦公式可求得結(jié)果.【詳解】(1)，又，又，；，又，解得：.(2)由（1）知：，又，.17如圖，在四棱錐中，平面平面，點(diǎn)M為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的正弦值；(3)在線段上是否存在一點(diǎn)N

12、，使直線與平面所成的角正弦值為，若存在求出的長(zhǎng)，若不存在說(shuō)明理由.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）由線面平行的判定定理證明（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量求解（3）待定系數(shù)法表示點(diǎn)坐標(biāo)，由空間向量求解【詳解】(1)取中點(diǎn)，連接是的中點(diǎn)，故，四邊形為平行四邊形，而平面，平面，平面(2)因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面平面，所以平面，取中點(diǎn)，連接，易得平面，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系則有，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得，取，得，易知平面的一個(gè)法向量為，則，故平面與平面夾角的正弦值為(3)，設(shè)，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得，得，而，故，解得或（舍去）故18已知點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn)

13、，且點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，的大小是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2），理由見(jiàn)解析.【分析】（1）利用橢圓的定義求出的值，再結(jié)合的值可求得的值，由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在直線的斜率不存在時(shí)，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，計(jì)算出；在直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由已知條件得出，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，計(jì)算出，綜合可得出結(jié)論.【詳解】（1）由橢圓定義可得，因此，橢圓的方程為；（2）設(shè)點(diǎn)、.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則直線的方程為，由于對(duì)稱性不妨設(shè)直線

14、的方程為，聯(lián)立，解得或，即點(diǎn)、，此時(shí)，則；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，則，聯(lián)立，可得，即.由韋達(dá)定理可得，即.綜上所述，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值19已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】（1），；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)的前項(xiàng)和即可求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而可判斷是以3為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，即可求出的通項(xiàng)公式；（2）可得，求和然后放縮利用等比數(shù)列求和公

15、式即可證明.【詳解】（1）數(shù)列的前項(xiàng)和為，.當(dāng)時(shí)，符合，故，是以3為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，.（2）證明：，.20已知函數(shù)的極大值為,其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù),對(duì)任意,恒成立.（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）證明：.【答案】（1）（2）（i）（ii）證明見(jiàn)解析【解析】（1）求函數(shù)定義域,然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)單調(diào)性,得出時(shí),有極大值,即可算出實(shí)數(shù)的值.（2）（i）由（1）知,代入中,根據(jù),整理至即對(duì)恒成立,設(shè)新函數(shù),將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：對(duì)恒成立,分的取值范圍分類討論即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.（ii）要證,轉(zhuǎn)化為證證,整理至,設(shè)兩個(gè)新函數(shù),分別對(duì)兩個(gè)新函數(shù)求導(dǎo),判斷單調(diào)性,即可證得成立.【詳解】解：（1）的定義域?yàn)?令,解得：,令,解得：,所以當(dāng),為增函數(shù),當(dāng),為減函數(shù),所以時(shí),有極大值,所以;（2）（i）由（1）知,則,即