二維線性變換

1、二維線性變換第1頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*2*第6章2T可寫成即由M*N個分塊子矩陣Tmn (階數(shù)M*N)組成線性變換寫成矩陣形式 F和P分別是輸入和輸出矩陣 和 為只有一個元素（第n和m個）為1的列矢量 為取出F的每個元素第2頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*3*第6章3若變換矩陣T是行列可分離的，則 為TC和TR的左直接積，TC和TR均為M*N矩陣 左直接積（Kronecker積）線性變換第3頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*4*第6章46.1.2 二維疊加算子（1）有限區(qū)域算子疊加區(qū)域有限（2）無

2、限區(qū)域算子（3）循環(huán)區(qū)域算子第4頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*5*第6章5一有限區(qū)域疊加算子設(shè)一數(shù)據(jù)方陣F= f(n1,n2) ，其中n1,n2 =1,N. 即大小有限。另設(shè)一沖擊響應(yīng)算子H= h(l1,l2;m1,m2) ，其中l(wèi)1,l2 =1,2,L ，m1,m2 表示H隨輸出方陣Q= q(m1,m2) 中的位置(m1,m2) 而變。我們定義有限區(qū)域疊加運算為式中 m1,m2 =1,2,.,M, 若H對空間移位不變有限區(qū)域卷積算子 第5頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*6*第6章6 F H Q N=3 L=2 M=N+L-1=4

3、二維卷積示意圖f11f12f13f21f22f23f31f32f33h11h12h21h22q11q12q13q21q22q23q31q32q33q14q24q34q41q42q43q44f11f12f13f21f22f23f31f32f33h22h21h12h11h22h22h21h12h11h22h21h12h11第6頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*7*第6章7若用矢量形式，T為M2 * N2 矩陣第7頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*8*第6章8T的分塊矩陣的形式 (M*N個分塊)每個分塊子陣 Tm2n2，m2=1,2,M,n2=

4、1,2,N也為 M*N 階，其元素為對空間移位不變的H有有限區(qū)域卷積算子 即分塊子陣沿斜線方向重復(fù) 且同一子陣內(nèi)有 即子陣內(nèi)元素亦沿斜線方向重復(fù)第8頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*9*第6章9有限區(qū)域疊加算子 的矩陣形式若沖擊響應(yīng)H是空間移位不變且行列可分離 這里 和 是兩個列矩陣 則 TR和TC 都是M N 階矩陣 線性可分離處理第9頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*10*第6章10二循環(huán)區(qū)域疊加算子若輸入F為N*N階矩陣，沖激響應(yīng)H為L*L階矩陣，則輸出矩陣為N+L-1階，比F和H都大 擴大到JN+L-1 F H循環(huán)疊加算子定義為

5、J*J N*NJ*J L*L第10頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*11*第6章116.1.3 二維酉變換一酉變換算子 若圖像陣列 F(n1,n2) 為 N1 N2 陣列，定義正變換反變換A稱為正變換核，B稱為反變換核 若變換核滿足正交歸一條件，則稱為酉變換： 第11頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*12*第6章12若則稱為可分離的，有若 與 有相同的函數(shù)形式，則稱為對稱的 第12頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*13*第6章13二酉變換的矢量空間表示F:圖像矩陣, 圖像矢量, F :變換后的矩陣正變換反變換

6、有 B=A-1若為酉變換，則必有：A-1=(A*)T 即A是一個酉矩陣若A為實數(shù)酉矩陣，則 A-1=AT 若變換核可行、列分離正變換F = ACFATR ，反變換 F = BCF BTR 式中BC=A-1C , BR=A-1R 這是因為 第13頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*14*第6章14可分離酉變換也可用矢量外積之和表示這里 ， 分別是酉矩陣AR的第n2 列矢量和AC 的第n1 列矢量酉變換把二維圖像分解為廣義二維頻譜。每一譜分量反映了原圖中相應(yīng)譜函數(shù)的能量。每個像素點F(n1,n2) 對圖像頻譜（變換域）的貢獻為對應(yīng)的基底矩陣第14頁，共121頁，2022年

7、，5月20日，19點33分，星期日*15*第6章15對酉變換的解釋同樣反變換也有反變換是利用每一頻譜分量的貢獻來合成原圖像每一頻譜分量的貢獻是一個矩陣，稱為二維基底函數(shù)；F(m1,m2)是頻譜分量，用來加權(quán)第15頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*16*第6章166.2 Fourier變換及其性質(zhì)6.2.1 一維Fourier變換正變換 u=0,1,N-1 反變換 x=0,1,N-1第16頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*17*第6章176.2.2 二維Fourier 變換設(shè)N1=N2=N 正變換 u,v=0,1,N-1 反變換 x,y=0

8、,1,N-1 二維Fourier變換的頻譜為：相位角為：功率譜： 第17頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*18*第6章18f(x,y)xy第18頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*19*第6章19第19頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*20*第6章206.2.3 2-D Fourier變換的性質(zhì) 1變換核的可分離性正變換 u,v=0,1,N-1 反變換 x,y=0,1,N-1 二維變換可化為一維變換計算 第20頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*21*第6章212平移性 因為 和空間域平

9、移（x0,y0）等價于在頻域中線性相位改變，但幅度不變 頻域中平移（u0,v0），等價于在空間域被一復(fù)正弦函數(shù)相乘,也相當(dāng)于在空間域被調(diào)制到（u0,v0）頻率上 第21頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*22*第6章22Lenna圖的頻譜圖原點移到中心的頻譜圖特別地，若 有故第22頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*23*第6章233周期性 若N是長度，用u+mN代 u ，用 v+nN 代 v ，其中m,n=0,1, 2, 則有用到從頻域變換回來的空間域也有這樣的周期性 周期性循環(huán)的二維頻譜第23頁，共121頁，2022年，5月20日，19點

10、33分，星期日*24*第6章244. 共軛對稱性 因為 有 將其中u換成-u，v換成 -v，有： 對于m,n=0,1,2, 成立 若m,n=1, 則 對第0列，u=0： 即一般N=2Q，故第0列關(guān)于v=N/2點對稱 第24頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*25*第6章25同樣對第0行也是關(guān)于N/2點對稱 其它點關(guān)于（N/2，N/2）點對稱 0vN-1 u 0 N-1Fourier變換的共軛對稱性第25頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*26*第6章265. 旋轉(zhuǎn)不變性 先轉(zhuǎn)換到極坐標(biāo) ：圖像表示為 ：變換域也用極坐標(biāo)：變換域表示成 ：則有

11、6. 分配律 對加法滿足分配律，但對乘法不滿足分配律 第26頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*27*第6章277.尺度變換（縮放）對于常數(shù)a和b 8. 頻譜的零頻率分量9能量保持第27頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*28*第6章286.2.4 DFT與卷積 設(shè)f(x,y)和g(x,y)的大小分別為M1*N1和M2*N2，則f(x,y)*g(x,y)圖像大小為M*N，M= M1+M2-1，N= N1+N2-1 將f(x,y)和g(x,y)補零擴展，使均為M*N的圖像，并且循環(huán)重復(fù)，記為fe(x,y)和ge(x,y)則在M*N范圍內(nèi) fe(

12、x,y)*ge(x,y)= f(x,y)*g(x,y) x=0,1,M-1; y=0,1,N-1 則有： 第28頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*29*第6章296.2.5 DFT與圖像相關(guān) 兩個二維連續(xù)函數(shù)的相關(guān)：離散二維相關(guān)，采用循環(huán)擴展序列 相關(guān)運算的Fourier變換和反變換若f與g相同 第29頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*30*第6章306.2.6 DFT的矩陣表示 用矢量表示的線性變換（正變換） ：如果是酉變換，則有存在反變換 Fourier變換核行列可分離第30頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日

13、*31*第6章31且A(x,y,u,v)滿足正交歸一條件，即是酉變換 令則于是其中第31頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*32*第6章32二維Fourier變換可表示如下 正變換反變換 Fourier變換是一種常用的變換，常用于頻譜分析，圖像濾波等 缺點：需要復(fù)數(shù)運算，頻譜不夠集中 第32頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*33*第6章336.4離散余弦（Cosine）變換6.4.1 一維離散余弦變換（DCT）如果N點序列f(x)是偶對稱的，即f(N-x-1)=f(x)，則其DFT 只要將一般的f(x)擴展成偶函數(shù)，就可由DFT得到離散余弦

14、變換（DCT） N-10第33頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*34*第6章34偶數(shù)點1-D DCT正變換u=0,1,N-1 反變換 x=0,1,N-1 其中： 第34頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*35*第6章356.4.2二維DCT 對二維圖像 偶數(shù)點DCT和奇數(shù)點DCT 圖像的偶對稱擴展(a)2N2Nxxxx(b) (2N-1)(2N-1)x圖像的周期擴展第35頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*36*第6章36。偶數(shù)點DCT正變換反變換 DCT也是行列可分的，可分成二次一維變換進行 第36頁，共121頁

15、，2022年，5月20日，19點33分，星期日*37*第6章37DCT的矢量形式其中正變換的矩陣形式為第37頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*38*第6章38（a）原圖（b） DCT變換第38頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*39離散余弦變換的優(yōu)點只用實數(shù)運算有快速算法可以用FFT來實現(xiàn)，或利用DCT自有的快速算法，余弦函數(shù)可預(yù)先算好，再查表的方法整數(shù)（余弦）變換對圖像的去相關(guān)性效果接近最佳離散余弦變換的主要應(yīng)用壓縮編碼如VCD用的MPEG 1標(biāo)準(zhǔn)，DVD用的MPEG 2標(biāo)準(zhǔn)，以及MPEG4、H.264和AVS都采用余弦變換(整數(shù)變換)，

16、會議電視、可視電話的壓縮編碼，目前一般也是基于余弦變換的圖像濾波頻譜特征分析第39頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*40*第6章406.5 沃爾什（Walsh）變換設(shè) ，離散Walsh正變換：變換核 是二進制數(shù)z的第k位，如n=3, N=23=8，若z=6=(110)2,則 第40頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*41*第6章41N=8時的1-D Walsh變換核的值，+、-表示+1和-1，常數(shù)1/N省略 xu012345670+1+-2+-+-3+-+4+-+-+-+-5+-+-+-+6+-+-+7+-+-+-xu第41頁，共121頁，

17、2022年，5月20日，19點33分，星期日*42*第6章42離散Walsh反變換 變換核 正變換和反變換只差一個常數(shù)1/N若各用 ,則完全一樣. 第42頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*43*第6章432-D Walsh正變換 2-D Walsh反變換第43頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*44*第6章44正變換核反變換核對于不同的u和v，正變換相當(dāng)于將原圖像值進行加減運算。如，對4*4的變換，u=1,v=2時，對不同的x、y位置按左圖分別取加或減 yx01230+-+-1+-+-2-+-+3-+-+第44頁，共121頁，2022年，5

18、月20日，19點33分，星期日*45*第6章45（a）原圖(b) Walsh變換第45頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*46*第6章466.6 哈達瑪（Hadamard）變換 1-D離散哈達瑪正變換 (其中N=2n )正變換核 反變換反變換核第46頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*47*第6章47N=8時的一維變換核矩陣 哈達瑪矩陣可按如下方式構(gòu)造 :哈達瑪變換的矩陣形式 xu012345670+1+-+-+-+-2+-+-3+-+-+4+-5+-+-+-+6+-+7+-+-+-第47頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，

19、星期日*48*第6章482-D Hadamard正變換正變換核 2-D Hadamard反變換 反變換核 哈達瑪正變換和反變換核都是可分離的和對稱的 第48頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*49*第6章49哈達瑪矩陣中某1列的符號改變次數(shù)稱為該列的階、序（sequency）或列率如上表中8列的序依次為0，7，3，4，1，6，2和5由于序越多，相當(dāng)于對應(yīng)越快變分量。將表中的行、列進行調(diào)整，使按序從低到高排列 xu012345670+1+-2+-+3+-+-4+-+-+5+-+-+-6+-+-+-+7+-+-+-+-第49頁，共121頁，2022年，5月20日，19點3

20、3分，星期日*50*第6章50重排序后的哈達瑪變換核 其中對應(yīng)反變換核 第50頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*51*第6章51正變換 反變換排序的二維哈達瑪變換核 正變換 反變換 第51頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*52*第6章52 yx01230123 v=0 1 2 3u=0 1 2 3第52頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*53*第6章536.7哈爾（Haar）變換 設(shè)N=2n，對k=0,1,N-1, 可被唯一地分解為： k=2p+q-1其中2p是小于等于k的2的最大冪，0pn-1，q-1是余數(shù)在p

21、=0時，q=0或1；在p0時，1q2pkpq00010121131242152220+0-120+1-121+1-121+2-122+1-122+2-1第53頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*54*第6章54連續(xù)閉區(qū)間0,1上的哈爾函數(shù)，z0,1 哈爾正變換哈爾反變換p決定函數(shù)幅度和非零區(qū)間的寬度，q決定非零區(qū)間位置第54頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*55*第6章55N=2時的Harr變換矩陣 N=8時的Harr變換矩陣 01234567第55頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*56*第6章566.8小波（W

22、avelet）變換連續(xù)時間信號的Fourier變換和反變換 Fourier變換存在的問題不能進行時間-頻率局部分析對突發(fā)性信號適應(yīng)性不是很好小波與音符MIDI(樂器數(shù)字接口)文件(8KB /分種)與WAV文件(10MB/分種)tf(t)一個突發(fā)信號 第56頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*57*第6章576.8.1Gabor變換(短時Fourier變換或加窗Fourier變換 )Gabor定義 : 對于通常g(t)選擇能量集中在低頻處的實偶函數(shù)，如高斯（Gauss）函數(shù)第57頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*58*第6章58Gabor變換

23、在整個軸上積分 當(dāng)在整個時間軸上平移時，能給出完整的Fourier變換 第58頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*59*第6章59Gabor變換重構(gòu)公式 第59頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日 的Fourier變換為 開窗過程為時域相乘，頻域變?yōu)榕c函數(shù) 卷積若要求分析高頻信號，則窗口應(yīng)小些，使時間定位更精確，即a應(yīng)小些；但這時因 變寬，得到的頻域變模糊，即頻率窗口放寬了若要求分析低頻信號，則窗口可寬些，頻率窗口可窄些*60*第6章高斯函數(shù)的頻譜也有高斯形狀 Gabor變換窗的寬度只與事先確定的a有關(guān),即不能根據(jù)信號自適應(yīng)地調(diào)整時-頻窗口的寬

24、度 第60頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*61*第6章616.8.2一維連續(xù)小波變換1. 小波變換的定義設(shè) ，則小波變換定義為： 稱為基本小波或母小波 為小波函數(shù)族 其中a為尺度因子，b為平移因子，*表示共軛 第61頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*62*第6章62abcx(x)abc()伸縮因子a對小波及其頻譜的影響xa,b(x)小波函數(shù)隨a,b的變化第62頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*63*第6章63 基本小波的選擇須滿足條件：（1）定義域是緊支撐的（Compact support）（2）容許條件（A

25、dmissibility condition）:上式要求 連續(xù)可積 ，且小波在x軸上取值有正有負，具有振蕩性 上面二個條件可概括為，小波應(yīng)是一個具有振蕩性和迅速衰減的波 第63頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*64*第6章64另外，要求 是歸一化的具有單位能量的解析函數(shù)，即故引入歸一化常數(shù) 使連續(xù)小波逆變換第64頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*65*第6章652小波變換的時-頻局部化小波變換相當(dāng)于用 對 進行濾波,為濾波后頻率分量的積分 小波變換寫成內(nèi)積形式第65頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*66*第6章

26、66小波變換時-頻窗隨尺度因子的變化 小波基函數(shù) 的Fourier變換為若 時間窗寬度為 的中心頻率為 ,頻帶寬度為 的Fourier變換為 的正頻率窗中心為 (這里設(shè)a0)對應(yīng)頻域帶寬為 的時間窗寬度為 第66頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*67*第6章67頻率時間頻率時間(a)(b)(c)(d)Gabor變換和小波變換的時間-頻率窗第67頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*68*第6章686.8.3 離散小波變換(DWT)1離散小波變換概念若取其中 ，m和n為整數(shù) ，則得離散小波離散小波變換定義 若小波函數(shù)為實函數(shù)第68頁，共121頁

27、，2022年，5月20日，19點33分，星期日*69*第6章69如果存在兩個常數(shù)A和B， ，使得對一切 成立，A和B稱之為框架界。則可從 完全重構(gòu) 是函數(shù) 的范數(shù)， 稱為框架(或標(biāo)架) A=B時的框架稱之為緊框架 ，這時有 ,重構(gòu)第69頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*70*第6章702二進小波變換 如果取 ，則可得二進小波 其中： 可構(gòu)造出正交小波： 離散正交二進小波變換 重構(gòu)：第70頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*71*第6章716.8.4 多分辨率分析1理想濾波器組與子帶分析 若信號x(n)的采樣頻率滿足采樣定理，數(shù)字信號的頻帶必

28、限在-內(nèi) 可用理想低通濾波器（L）和理想高通濾波器（H）將它分解成0/2的低頻部分和/2的高頻部分 L()2低頻部分概貌信號H()2高頻部分細節(jié)信號x(n)/2-/2|L()|/2-/2|H()|-信號頻帶的理想剖分-第71頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*72*第6章72如果把原始信號x(n)占據(jù)的總頻帶（0）定義空間V0經(jīng)第一級分解后，V0被分為低頻V1（0/2）和高頻W1（頻帶/2）兩個子空間；經(jīng)第二級分解后，V1又被分為低頻V2（0/4）和高頻W2（頻帶/4/2）兩個子空間， 記為 第72頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*73*第

29、6章73其中各個 是反映信號細節(jié)的高頻子空間， 是反映空間信號概貌的低頻子空間這樣用理想濾波組對信號進行頻率剖分，稱為子帶分析 在W1頻段的信號可由這個頻段的正弦波合成，第73頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*74*第6章742函數(shù)空間的剖分函數(shù)的分解,正交函數(shù)系與函數(shù)空間（1）函數(shù)空間的逐級剖分式中j=-,，j值越小空間越大，當(dāng)j-時， ；當(dāng)j+時， 這種分解保證了空間 與 的正交性，且各 之間也正交進一步要求有如下性質(zhì)：(a)位移不變性 。若 ,則(b) 二尺度伸縮性。若 ,則 一組逐級包含的子空間 第74頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星

30、期日(2) 尺度函數(shù)函數(shù)空間的剖分與子帶分析 若存在 ，使 是 的Riesz基，即以 為基底，由 的平移組成正交基集合 可張成閉空間 ，則 是空間 的尺度函數(shù) 尺度函數(shù) 是通過平移 構(gòu)成的正交基集合可張成閉空間 的函數(shù)。對應(yīng)子帶分析,可看成與 空間的低通濾波器 的沖激響應(yīng)對應(yīng)。 第75頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*76*第6章76 尺度函數(shù)應(yīng)滿足如下條件：(a)是一個平均函數(shù) (b)是范數(shù)為1的規(guī)范化函數(shù) (c)定義 ，則因為 , 從而 與 正交 (d)尺度函數(shù)對于平移是正交的 分辨率小的尺度函數(shù)對所有比它大或相等分辨率的小波是正交 但對于伸縮m不是正交的 第7

31、6頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*77*第6章77(3)對子空間的進一步分析（a）對于子空間 ,若存在一個尺度函數(shù) ，則它的整數(shù)移位集合 是 中的規(guī)范正交基。這里, 對 中的投影其中（b）對于子空間 ，如果尺度函數(shù) ，必有 ，且因 , ，是 中的規(guī)范正交基, ， 必是 中的規(guī)范正交基。這樣 第77頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*78*第6章78（c）對于子空間 ，如果子空間 中的一個帶通函數(shù) ， 構(gòu)成 中的規(guī)范正交基，必有 ，且 , 必構(gòu)成 中的一組規(guī)范正交基。 這樣其中因為有 m=1時的小波變換系數(shù)第78頁，共121頁，2022年，

32、5月20日，19點33分，星期日*79*第6章79(4) 推廣到 與 ， 之間 , 必是 中的一組規(guī)范正交基 , 必是 中的一組規(guī)范正交基有了 和 空間的規(guī)范正交基 和分析就可逐級進行。因此關(guān)鍵是構(gòu)造合適的尺度函數(shù)和小波函數(shù)第79頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*80*第6章806.8.5 離散小波變換的快速算法 對任意信號將 分解一次，即分別投影到 和 子空間, ，則 第80頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*81*第6章81由于 和 分別是尺度空間 和小波空間 的規(guī)范正交基函數(shù)有： ，因此 和 必屬于 空間, 可用 空間的正交基展開:其

33、中 雙尺度差分方程是構(gòu)造小波的基本途徑 尺度函數(shù)系數(shù)小波函數(shù)系數(shù) 系數(shù)組成的向量分別稱為尺度向量和小波向量 第81頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*82*第6章82根據(jù)雙尺度差分方程，尺度函數(shù) 的Fourier變換為 其中小波函數(shù) 的Fourier變換為 其中正交鏡像濾波器 雙尺度差分方程的頻域形式 第82頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*83*第6章83可用如下方法對 求解因為 有所以，這里第83頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*84*第6章84根據(jù)雙尺度差分方程令 則得由于得 類似地空間的尺度系數(shù) 空間的小

34、波系數(shù) 空間的尺度系數(shù) 這里先改用k求和第84頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*85*第6章85可取 和 稱為正交鏡像濾波器系數(shù) 式稱為Mallat塔式分解算法 ,即離散小波變換的快速算法,或稱快速小波變換(FWT) H*2G*22H2Gcm-1,ncm,ndm,ncm-1,n完全重構(gòu)的條件:只要有尺度函數(shù)系數(shù)h和小波函數(shù)系數(shù)g, 就可得到逐級分級的尺度系數(shù)和小波系數(shù)第85頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*86*第6章86理論 上已經(jīng)證明，任何能量有限的離散信號都可以看作在尺度1上一個函數(shù)平滑后的均勻采樣，即以尺度為1的多分辨逼近。因此，

35、任何一個能量有限的離散信號均可用離散小波變換進行分解與重構(gòu)。 一維小波二階分解的頻率分離特性第86頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*87*第6章876.8.6小波基函數(shù)1Haar正交小波基-111Haar小波函數(shù)x(x)-111Haar尺度函數(shù)x(x)濾波器系數(shù)：第87頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*88*第6章882.Maxico Hat小波(Marr小波 )是 的二階導(dǎo)數(shù)更一般3.Morlet小波 Maxico Hat小波x(x)第88頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*89*第6章89 4.Daubech

36、ies小波 其中 ，n=0,1,2N-1 設(shè) ，系數(shù) 為實數(shù)，可得和從而確定 和 、Daubechies小波是一種有緊支集的正交小波，是目前最常用的緊支正交小波 第89頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*90*第6章90對應(yīng)不同N的Daubechies小波的N=1：0.707106781187, 0.707106781187第90頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*91*第6章915B樣條小波 m階B樣條是Haar尺度函數(shù)（矩形函數(shù)）與其自身作m次卷積運算后所得的函數(shù)，記為 第91頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*

37、92*第6章92 的支撐區(qū)為0,m ，在m=1時為Haar尺度函數(shù)，在m=2時為Franklin小波的尺度函數(shù) 的Fourier變換為： xN1(x)110 xN2(x)110 xN3(x)110223m=1,2,3時的B樣條函數(shù)第92頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*93*第6章93m階基數(shù)B樣條的尺度函數(shù) 緊支撐的m階基數(shù)B樣條小波函數(shù) 第93頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*94*第6章946.8.7二維小波變換1二維連續(xù)小波 其中二維小波二維連續(xù)小波反變換 第94頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*95*

38、第6章952二維離散正交小波可定義二維可分離尺度函數(shù)則二維基本小波 第95頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*96*第6章96二進小波函數(shù)集 是 下的正交歸一基 而是 下的二維尺度函數(shù),尺度為 第96頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日 是原圖 的逼近,對應(yīng) 分別對應(yīng)水平、垂直和對角三個方向上的細節(jié)補充*97*第6章97 圖像的二維離散小波變換 原圖 第一層 第二層第97頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*98*第6章98(a) 原圖(b) 離散小波變換圖第98頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期

39、日*99*第6章996.8.8 小波包小波分解將函數(shù)空間劃分為一系列子空間 相當(dāng)于用一組濾波器將一個函數(shù)分解為一系列頻段 頻段的寬度呈對數(shù)關(guān)系，低頻段組成窄頻段，高段組成寬頻段，是恒定Q濾波器 如對 空間的三級剖分第99頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*100*第6章1002三尺度FWT濾波器hngn22hngn22hngn2(a)濾波器方框圖(b)分析樹(c)頻譜分離特性第100頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*101*第6章101小波包: 對高頻部分也進行剖分 可對高頻也進行細分觀測和控制 分析樹表示 其中A表示概貌濾波，D表示細節(jié)濾

40、波 一個三尺度小波包分析樹第101頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*102*第6章1022hngn22hngn22hngn2三尺度全小波包濾波器方框圖2hngn22hngn22hngn22hngn2第102頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*103*第6章103三尺度全小波包頻譜分離特性第103頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*104*第6章104一幅指紋圖像的三尺度全小波包分解 頻譜分成64個子帶 第104頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*105*1056.8.9基于提升方法的小波變

41、換 Split小波變換的提升方法 PUevenj-1sjoddj-1sj-1dj-1Udj-1sj-1PMergesjevenj-1oddj-1(a)正變換(b)反變換H*2G*22H2Gcm-1,ncm,ndm,ncm-1,n小波變換的Mallat塔式分解算法提升方法可分為分裂（splitting）、預(yù)測（prediction）、更新（update）三個步驟傳統(tǒng)的小波變換系數(shù)為一般為浮點數(shù)，而且計算也較復(fù)雜第105頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*106*第6章106分解過程(正變換)分解 預(yù)測 更新 重構(gòu)過程(反變換)奇序列子集被偶序列通過算子P預(yù)測 通過更新對

42、偶序列進行修正，使其更好地體現(xiàn)序列的整體信息 若P和U經(jīng)過了取整運算，則這換結(jié)果仍為整數(shù)，且仍能不失真重構(gòu)原序列 提升小波變換的逆過程可完全恢復(fù)原輸入序列 第106頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*107*第6章107基于提升方案的小波變換稱為提升小波變換 也稱為第二代小波 容易構(gòu)造出整數(shù)到整數(shù)的小波變換沒有浮點數(shù)的精度問題,可無失真重構(gòu) 可以快速實現(xiàn),只需要在當(dāng)前位置上交換,不需要額外的存貯任何有限長的離散小波變換都可以被分解成一系列簡單的提升步驟所有可以用Mallat算法實現(xiàn)的小波變換都可以同樣用提升小波變換實現(xiàn) 第107頁，共121頁，2022年，5月20日，

43、19點33分，星期日超小波變換ContourletSurfaceletXXXlet?第108頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*109*第6章1096.9霍特林（Hotelling）變換又叫K-L(Karhunen-Loeve)變換 ，也常稱為特征值變換、主分量變換 隨機矢量隨機抽取M個矢量 ,k=1,2,M，稱為隨機矢量的M個樣本 ，k=1,2,M第109頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*110*第6章110均值矢量 協(xié)方差矩陣其中元素 為 和 的協(xié)方差自相關(guān)矩陣有 可用M個樣本估計均值矢量和協(xié)方差矩陣第110頁，共121頁，2022年，5月20日，19點33分，星期日*111*第6章111例：設(shè)有隨機矢量的4個樣本： ， ， ， ，則可根據(jù)上式估計均值矢量和協(xié)方差矩陣：第111頁，共121頁，2022年，5月20日，19點