周世勛量子力學(xué)知識題

1、第二章 波函數(shù)和薛定調(diào)方程證明在定態(tài)中，幾率流密度與時間無關(guān).解：幾率流密度公式為而定態(tài)波函數(shù)的一般形式為r,t將上式代入前式中得：顯然是這個J與時間無關(guān).1 ikre r由下列兩定態(tài)波函數(shù)計算幾率流密度1 ikr2-er從所得結(jié)果說明1表示向外傳播的球面波，2表示向內(nèi)(即向原點)傳播的球面波解：在球坐標(biāo)中，梯度算符為1和2只是r的函數(shù)，與,無關(guān)所以將以上四式代入(1)對于J21 ikr-e r*2er rikikerikikrerikrerikrikikik1- er rp 12 err12ik err(2)對于 21 ikr-e r2ik er，errrer計算的結(jié)果已經(jīng)很清楚11 ikr

2、 一e這樣的千面波，是沿er方向傳播的波 rp2 r.而球面1 ikr波2e傳播方向與r1相反，即J2 Ji2.3. 一粒子在一維勢場中運(yùn)動，求粒子的能級和對應(yīng)的波函數(shù)解：從定態(tài)薛定謂方程可知，其解為0和x a處,波函數(shù)為a處,0得波函數(shù)為因此有即A ikx esin ka所以歸一化條件dx 1可得所以綜合得：2.4.證明nA sin 一2a adjdx2k2Aeikx(x)AeikxAikxe即要求 kaE2BeEikx0, Be ikx2iAsinkxC sin kx1,2,3nnn C sin x na 222_ n1231HEn. 2 sin2 sin2 - n sin xa a0,2

3、1 cos 21,2,3|八a式中的歸一化常數(shù)是2,cos2-cos 2利用歸一化a1 A2 sin2- xa 2adx2aA2 sin20n .ydy 2aA2空 nnsin2 zdz0A22a nA2a解：這是寬度為2a,將坐標(biāo)原點選在勢阱中心而表示的一維無限深勢阱的波函數(shù) 條件得所以A ei求一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài)時幾率最大的位置解：一維諧振子第一激發(fā)態(tài)的波函數(shù)為1xe 22x2其中幾率密度兩個值，所以的幾率最大極值點有使：d2wdx2只有Xxo處第一激發(fā)態(tài)粒子出現(xiàn)在一維勢場中運(yùn)動的粒子，勢能對原點對稱：U x U x，證明粒子定態(tài)的波函數(shù)具有確定的宇稱解：定態(tài)的波函數(shù)滿足的薛定謂方程

4、為自 x x E x TOC o 1-5 h z 人?d2 一哈留頓算符H x2 U x于是當(dāng)x x時,而拉普拉斯算符2 dx222222_d_ d _d_ HYPERLINK l bookmark126 o Current Document 2 dx22 d x 22 dx2即在坐標(biāo)反射下，哈密頓算符不變，即白x白x寫出坐標(biāo)反射后的薛定謂方程H? x x E x考慮到MxH?x有 白x x E xH? x x E x比較H? x x E x如果屬于能量E的本征值是非簡伊的，反射變換前后，狀態(tài)函數(shù)有如下關(guān)系2x x , xx x ,1.即可見，粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱，奇宇稱或偶宇稱當(dāng)

5、x x時稱該波函數(shù)為偶宇稱.當(dāng)時,稱該波函數(shù)為奇宇稱.但是如果屬于能量E的本征值是簡伊的，特別是x x這時可以構(gòu)造兩個與之相關(guān)的波函數(shù)fxxxgxxx據(jù)此，可知f x f x ,因而具有偶宇稱；g x g x .因而具有奇宇稱.一般地，如果屬于某一.但是，如果屬于某一能以上結(jié)果本質(zhì)上是根據(jù)哈密頓的對稱性去推知它的本征函數(shù)的對稱性 能量的本征態(tài)是非簡伊的，那么，能量本征態(tài)會攜帶哈密頓算符的對稱性量的本征態(tài)是簡伊的，那么并不是其中的每一個本征態(tài)都會攜帶哈密頓算符的對稱性.但總可以通 TOC o 1-5 h z 過它們的某種組合使之?dāng)y帶哈密頓算符的對稱性一粒子在一維勢阱U 00 xaU x0 xa中

6、運(yùn)動，求束縛態(tài)0 E U 0的能級所滿足的方程.解：粒子所滿足的方程2 dx2方程變?yōu)樗鼈兊慕夥謩e是：U02 U0 E1x21 x0 xa2x22 x0a xa3x23 x0 xaA2eB1 sinC1e xx B2 cosC2e由波函數(shù)的有限性條件限制，必須要求ABsinA2e xxaBsin xa xaxCexaC2123,確定常數(shù)根據(jù)波函數(shù)在邊界上連續(xù)及導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件(1)波函數(shù)連續(xù)A2eC1e(2)波函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù)BsinBsin(2)ctgctg由此明顯看出油(2)可以用消去兩個待定系數(shù)慶2和C1；由(3)可以確定和能量.由(3)得所以ctgctgctg；k 0. 1,1 ,一，由此得

7、 一k ，由于余切以2入式得到確定能量的方程為：為周期，故只有兩個獨立解：a2|h0,，把2一分別代2將上面的式子同乘以勢壘寬度再考慮到ctg tga0,2a ctg atg令f1(z) zctgz 、n2 z2同理由第二組解得：f2(z)ztgz . n2 z2當(dāng) n 1,2,3,4 ,由 f1(z)和 f2(z)做出圖 2.7-1,圖 2.7-2,圖 2.7-3,圖 2.7-4.由圖2.7-1可以看出：當(dāng)n 1時0 z 1只有一虛線通過橫軸，也就說只存在一個解.對應(yīng)的是第二組的解.由數(shù)值計算可知，此時z 0.7391，由此可算出對應(yīng)的能級.由圖2.7-2可以看出：當(dāng)n 2時0 z 2存在兩

8、個解.分別對應(yīng)的是第一組和第二組的解.由數(shù)值計算可知，此時對應(yīng)第一組的解為z 1.8955，對應(yīng)第二組的解為，由此可算出對應(yīng)的能級.由圖2.7-3可以看出：當(dāng)n 3時0 z 3存在兩個解.分別對應(yīng)的是第一組和第二組的解.由數(shù)值計算可知，此時對應(yīng)第一組的解 為z 2.2789 ,對應(yīng)第二組的解為z 1.1701，由此可算出對應(yīng)的能級 .由圖2.7-4可以看出：當(dāng),對應(yīng)第二組的兩個解為別為n 4(實際上只要n 3.5即存在三個解)時0 z 4存在三個解.其中第一組一個解和第二組的兩個解.由數(shù)值計算可知，此時對應(yīng)第一組的解為z 1.2524,3.5953，由此可算出對應(yīng)的能級.第一組解0由A2eC1

9、eBsin aB sin a得:e aBsinBsin xe aBsin由歸一化條件得一 a _ _ _ xesina e. 2 sin asin 2 asin. 2 sin asin 2 aa.e sin. 2 sin asin 2 a a 對于第一組解的第一個能級，有:a 1.8955, aa)20.6260191.8955,0.6260190.6260190.626019 xe sin 1.8955 esin2 1.89551 sin 2 1.89550.6260192 1.8955sin 1.8955 x.2 , 一sin 1.8955sin 2 1.89550.6260192 1.8

10、9550.6260190.626019 xe sin 1.8955 e2sin2 1.8955sin 2 1.89550.6260192 1.8955由上述波函數(shù)可繪出圖2.7-5A2e a Bsin第二組解aC1e Bsin由歸一化條件得2dxaBcos2 a 2 e cos2cos ae aBcosBcos xe aBcos2dx2dxa e2 xdxsin 2 a2dxB sinasin adxx dxe aBcosa 2cos2dxxdxacos acos2 a a sin 2 acos x2cos asin 2 a a ae cos2cos asin 2 a a對于第二組解的第一個能

11、級，有:a 0.7391 a2 U。E2 a0.739120.6735960.7391,0.6735960.673596e cos 0.73910.673596 x ecos2 0.7391 sin 2 0.73910.73910.673596cos 0.7391xcos2 0.7391 sin 2 0.73910.73910.6735960.6735960.673596 xe cos 0.7391 e2cos2 0.7391sin 2 0.73910.73910.673596由上述波函數(shù)可繪出圖 2.7-6.照此方法可繪出其它能級對應(yīng)的波函數(shù)0 a b b分子間的范德瓦爾斯力所產(chǎn)生的勢能可以

12、近似地表示為UUi0求束縛態(tài)的能級所滿足的方程解：束縛態(tài)，即要求 U 10 .分區(qū)域?qū)懗鲅Χㄖ^方程3U。Ui上支2 dx2i支2 dx2其中k2k；其中其中2r E U1以上三方程的解分別為Ae k2xAek2xBsin k3xk. xk. xCe 4 Ce4在x 0處，2 00得A0 .令A(yù) A ;對于4 x ,當(dāng)x應(yīng)有限，故C0,則波函數(shù)可寫為2xk?xA e 2 e(2 x3xBsin k3x4xCe k4 x由波函數(shù)導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性得x a2 -2 x a3/3tan3 x ak3 , k3ath k2ak2x b3 ;3 x b4/4 h tan4 x bk3b與k4即 TOC o 1-5 h z k3ata