6氣象變量場時空結(jié)構(gòu)分離

1、第六章 氣象變量場時空結(jié)構(gòu)分離1、主分量(主成分)分析 2、經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)分解（EOF）3、 旋轉(zhuǎn)經(jīng)驗(yàn)正交分解(REOF)基礎(chǔ)知識回顧設(shè)A是n階方陣，如果存在常數(shù)和非零的n維向量X，使得：AX=X定義1矩陣的特征值和特征向量就稱是矩陣A的特征值，X是A的屬于特征值的特征向量. 式子 也可以寫成:即：這是含有n個未知數(shù)n個方程的齊次線性方程組它有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式定義2 實(shí)對稱矩陣的特征值和特征向量實(shí)對稱矩陣：一個對稱矩陣的所有元素都是實(shí)數(shù)。 設(shè)A是n階對稱矩陣，則存在n階正交陣R，使即R使RAR對角化。其中對角線上的元素恰是A的n個特征值。性質(zhì)：實(shí)對稱矩陣的特征值都是正實(shí)數(shù)。實(shí)對稱

2、矩陣屬于不同特征值的特征向量相互正交。實(shí)對稱矩陣所有特征值之和等于矩陣的主對角線元素之和。即 某一區(qū)域的氣候變量場通常由許多個觀測站點(diǎn)或網(wǎng)格點(diǎn)構(gòu)成，這給直接研究其時空變化特征帶來困難。如果能用個數(shù)較少的幾個空間分布模態(tài)來描述原變量場，且又能基本涵蓋原變量場的信息，這將十分有助于我們分析氣候要素場的時間和空間特征。這就要尋找某種數(shù)學(xué)表達(dá)式將變量場的主要空間分布結(jié)構(gòu)有效的分離出來。氣候統(tǒng)計(jì)診斷中，應(yīng)用最廣的辦法就是把原變量場分解為正交函數(shù)的線性組合，構(gòu)成為數(shù)較少的不相關(guān)典型模態(tài)，代替原始的氣候變量場。每個典型模態(tài)都含有盡量多的原始場的信息。一、主分量(主成分)分析的原理 ( Principal C

3、omponent Analysis , PCA)把隨時間變化的氣象場分解為空間函數(shù)和時間函數(shù)部分?？臻g函數(shù)部分不隨時間變化；時間函數(shù)部分由空間點(diǎn)(變量)的線性組合所構(gòu)成，稱為主分量 (主成分)。研究主分量隨時間變化的規(guī)律可以代替對場的隨時間變化的研究.第一節(jié) 主分量分析（PCA）二、兩個變量的主成分設(shè)所分析的氣象要素場僅有兩個空間點(diǎn)，記為x1、x2，抽取容量為n=25的樣本，計(jì)算其中x1、x2變量的方差與協(xié)方差，得到如果有一種方法找到由這兩個變量線性組合構(gòu)成的兩個新變量。 y1=0.66x1+0.75x2 y2=0.75x1-0.66x2新變量的總方差與原變量的總方差相等。x1的解釋方差為46

4、%， x2的解釋方差為54%如果要減少變量，如何取舍x1和x2？y1的解釋方差為86%，y2的僅為14%如果要減少變量，去掉y2不會使總的方差受很大影響?？捎脃1的變化代替x1和x2的變化。y1與y2稱為主成分。如何用一個變量來反映兩個變量的主要信息？在一般情況下，又如何用p個變量來反映m個變量的信息呢？(pm) -主成分分析所要解決的問題解釋方差：單個變量的方差與總方差的比值。三、主成分的導(dǎo)出原則：1、新變量能最大限度、集中地反映原m個變量的總方差。2、新變量相互獨(dú)立，可以用較少的新變量描述原氣象要素場的主要特征。以原變量x1,x2組成一個新變量 y=v1x1+v2x2 極大方差極大原則極大

5、問題約束條件：極大值問題可轉(zhuǎn)換為：根據(jù)微積分求極值有：即：S為x1及x2的協(xié)方差陣，I為單位陣， 為組合系數(shù)向量， 為矩陣S的特征值，v為對應(yīng)的特征向量。四、主成分的性質(zhì)各主分量的方差分別為原m個變量的協(xié)方差矩陣的特征值，不同的主成分量彼此是無關(guān)的.各主分量的方差貢獻(xiàn)大小按矩陣S特征值大小順序排列.m個主分量的總方差與原m個變量的總方差相等.一、引言 經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)分解（EOF）方法最早由統(tǒng)計(jì)學(xué)家pearson在1902年提出，由Lorenz（1956）引入氣象問題分析中。該方法以場的時間序列為分析對象，對計(jì)算條件要求甚高，故直到20世紀(jì)60年代后期才在實(shí)際工作中得到廣泛應(yīng)用（Craddock，

6、1969；Kutzback，1970；Kidson，1975）。第二節(jié) 經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)分解（EOF）近30年來，出現(xiàn)了適合于各種分析目的的EOF分析方法，如擴(kuò)展EOF（EEOF）方法，旋轉(zhuǎn)EOF（REOF）方法，風(fēng)場EOF（EOFW）方法，復(fù)變量EOF（CEOF）方法。EOF方法不但用于觀測資料的分析，還用于GCM資料的分析和數(shù)值模式的設(shè)計(jì)。現(xiàn)在，EOF方法已作為一種基本的分析手段頻繁地出現(xiàn)在大氣科學(xué)研究的文獻(xiàn)中。二、EOF 分析方法的原理設(shè)某氣候要素在m個站點(diǎn)（格點(diǎn)）上有n次觀測資料X，為消除各站氣候態(tài)不同的影響，習(xí)慣上要素場采用距平值。以矩陣形式給出如下：利用經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)展開，就是把X分解成

7、正交的空間函數(shù)V與正交的時間函數(shù)Z的乘積。即：寫成矩陣形式為:第j個實(shí)際空間場可表示為:含義:第j個實(shí)際空間場xj可表示為m個空間典型場按 不同的權(quán)重線性疊加而成. 空間函數(shù)矩陣V的每一列表示一個空間典型場，它只與空間點(diǎn)有關(guān)，不隨時間變化；但每一典型場和其對應(yīng)的時間權(quán)重系數(shù)均不是固定不變的，而是由實(shí)際資料確定的，所以這一分析方法稱為經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)分解。當(dāng)kl時: 當(dāng)k=l時: 空間函數(shù)矩陣V是標(biāo)準(zhǔn)正交陣，即：展開：EOF分解要求 時間函數(shù)矩陣Z中各不同行向量也是正交的，即要求 是個對角陣，即： 或 下面的任務(wù)就是求解V與Z。 先觀察一下X場的協(xié)方差矩陣S，有 , 所以， 由線性代數(shù)的知識知道S是

8、一個m階實(shí)對稱矩陣。 根據(jù)實(shí)對稱矩陣分解定理，一定有：三、分解方法或或:這實(shí)際上是關(guān)于1 2 m的m次方程組，若只考慮第k 個方程組，則有：這其實(shí)是矩陣S的特征方程， 是其特征值，而 是對應(yīng)的特征向量?；?這是一個線性齊次方程組，根據(jù)線性代數(shù)的知識，它有非零解的充要條件是：系數(shù)行列式為零。由此可得到m 個特征值 ，及其對應(yīng)的m個特征向量，每個特征向量就是我們所要求得的V的一列，所有特征向量放在一起就是所要求的空間函數(shù)矩陣V，它是m 個互相獨(dú)立、互不相關(guān)的空間模態(tài). 求出了V，對應(yīng)的Z 就很容易得到了： 四、X場的誤差估計(jì)和計(jì)算經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)具有收斂快的特點(diǎn)，一般特征值較大的前幾個模態(tài)就能反映出氣

9、候場X的主要特征。因此，我們只取pm個特征向量場（V的前p列）就能近似反映X場，即pn時，我們不直接求 的特征值，而是先求出 的特征值，然后求 的特征向量，這種方法叫時空轉(zhuǎn)換。令 是 和 的特征值，它們的特征向量分別為ui 和 vi，則： 六、 EOF的計(jì)算步驟（1）對原始資料矩陣X作距平或標(biāo)準(zhǔn)化處理。然后計(jì)算其協(xié)方差陣或相關(guān)陣 。（2）用求實(shí)對稱矩陣的特征值和特征向量的方法（最常用的是Jacobi 方法）求出S 陣的特征向量V和特征值 ，并由大到小排序。（3）利用 的關(guān)系求出時間系數(shù)矩陣Z。（4）計(jì)算每個特征向量所占的方差貢獻(xiàn)，前p個特征向量所占的累積方差貢獻(xiàn) 。（5）對前幾項(xiàng)有意義的典型空

10、間模態(tài)以及對應(yīng)的時間系數(shù)作分析。EOF分析的前幾項(xiàng)特征向量最大限度地表征了該氣候變量場的主要結(jié)構(gòu)特征。每個特征向量所對應(yīng)的時間系數(shù)反映了X的空間區(qū)域中由此特征向量所表示的空間型的時間變化特征。系數(shù)絕對值越大表明對應(yīng)時刻這種空間分布型（模態(tài)）越明顯（典型）。從特征值的方差貢獻(xiàn)和累積方差貢獻(xiàn)了解所分析的特征向量的方差占總方差的比例及前幾項(xiàng)特征向量共占總方差的比例。分析該氣候場的收斂速度。七、結(jié)果分析(1) 它沒有固定的函數(shù)，不像有些分解需要有一種特殊的函數(shù)作基函數(shù)，如球諧函數(shù)。(2) 它能在有限的區(qū)域內(nèi)對不規(guī)則分布的站點(diǎn)進(jìn)行分解。(3) 它的展開收斂速度快，很容易將變量場的信息集中在幾個模態(tài)上。(

11、4) 分離出的空間模態(tài)具有一定的物理意義。八、EOF的優(yōu)點(diǎn)九、實(shí)例分析西北干旱區(qū)不同季節(jié)地面感熱通量前10個載荷向量場的方差貢獻(xiàn)率和累積方差EOFLV1LV2LV3LV4LV5LV6LV7LV8LV9LV10冬解釋方差38.79 9.73 7.73 5.93 4.93 3.89 3.31 2.88 2.56 2.45 累積方差38.79 48.52 56.25 62.18 67.11 71.00 74.31 77.19 79.75 82.20 春解釋方差19.78 14.96 10.37 7.76 6.47 4.61 4.58 3.96 3.49 3.15 累積方差19.78 34.74 45

12、.11 52.87 59.34 63.95 68.53 72.49 75.97 79.12 夏解釋方差23.39 14.59 8.57 7.28 5.91 5.71 4.34 4.01 3.15 2.85 累積方差23.39 37.98 46.55 53.83 59.75 65.46 69.79 73.80 76.96 79.81 秋解釋方差24.87 14.46 8.44 6.79 5.50 4.61 3.99 3.81 3.61 3.40 累積方差24.87 39.33 47.77 54.56 60.06 64.67 68.66 72.47 76.08 79.48 西北干旱區(qū)夏季地面感熱通

13、量EOF分析前三個模態(tài)的空間分布(左)和時間系數(shù)(右) 23.4%14.6% 8.6%感熱異常的空間分布和時間演變北大西洋冬季（DJF）海平面氣壓EOF分析前三模態(tài)空間分布及時間演變北大西洋濤動北大西洋上兩個大氣活動中心（冰島低壓和亞速爾高壓）的氣壓變化為明顯負(fù)相關(guān)；當(dāng)冰島低壓加深時，亞速爾高壓加強(qiáng)，或冰島低壓填塞時，亞速爾高壓減弱。G.沃克稱這一現(xiàn)象為北大西洋濤動。北大西洋濤動強(qiáng)，表明兩個活動中心之間的氣壓差大，北大西洋中緯度的西風(fēng)強(qiáng)，為高指數(shù)環(huán)流。這時墨西哥灣暖流及拉布拉多寒流均增強(qiáng)，西北歐和美國東南部因受強(qiáng)暖洋流影響，出現(xiàn)暖冬；同時為寒流控制的加拿大東岸及格陵蘭西岸卻非常寒冷。反之北大西

14、洋濤動弱，表明兩個活動中心之間的氣壓差小，北大西洋上西風(fēng)減弱，為低指數(shù)環(huán)流。這時西北歐及美國東南部將出現(xiàn)冷冬，而加拿大東岸及格陵蘭西岸則相對溫暖。North Atlantic oscillation (NAO)第三節(jié) 旋轉(zhuǎn)經(jīng)驗(yàn)正交分解(REOF)EOF展開的前幾個特征向量，可以最大限度地表征氣候變量場整個區(qū)域的變率結(jié)構(gòu)，但分離出的空間分布結(jié)構(gòu)不能清晰表示不同地理區(qū)域的特征。利用旋轉(zhuǎn)EOF(REOF)分析，可以克服EOF分析中由于區(qū)域和時間取樣不一致而造成的誤差。REOF的空間分布結(jié)構(gòu)清晰，可以較好地反映不同地域的變化，及不同地域的相關(guān)分布狀況。REOF的思路： 如果EOF分析截取了前K個空間型

15、，累積解釋場得總方差已達(dá)一定要求(比如達(dá)80)，可否將這K個空間型再作調(diào)整，使得調(diào)整后得K個空間型累積解釋原場的總方差的百分率保持不變，而單個空間型盡量反映場的局部相關(guān)結(jié)果。通過極大方差旋轉(zhuǎn)，即將各因子軸旋轉(zhuǎn)到某一位置，使每個變量在旋轉(zhuǎn)后的因子軸上極大、極小兩極分化，從而使分離出的典型空間模態(tài)上只有某一較小區(qū)域上有高載荷，其余區(qū)域均接近于0，使得空間結(jié)構(gòu)簡化、清晰。m個原變量經(jīng)過EOF展開后截取前幾個模態(tài)作旋轉(zhuǎn)變換合適？即怎樣選取典型模態(tài)個數(shù)K？如果K太小，被截留的部分主要包含場的大尺度信息，含區(qū)域性結(jié)構(gòu)的信息較少。如果K很大，則截留后包含很多小尺度變化信息。K的選取方法： 1）一般使前K個模態(tài)的累積方差貢獻(xiàn)率達(dá)到一定量（比如60-80%）。