經濟數學（第六版）第4章導數的應用

1、經濟數學 （第六版）1第1章函數2第2章極限與連續(xù)3第3章導數與微分4第4章導數的應用5第5章不定積分6第6章定積分目錄CONTENTS7第7章多元函數的微積分CHAPTER04第4章導數的應用如果沒有一些數學知識,那么就是對最簡單的自然現象也很難理解,而要對自然的奧秘作更深入的探索,就必須同時地發(fā)展數學。J.W.A.Young01學習目標知識目標了解函數的極值與最大(小)值、函數的凹性以及拐點的概念.0102掌握應用羅必達法則求未定型極限,掌握討論函數單調性、凹性及極值的方法,并能利用Mathematica軟件求函數的極值；能利用導數對經濟問題作邊際分析、彈性分析及解決經濟活動中的優(yōu)化問題.

2、03弘揚社會主義核心價值觀，培養(yǎng)學生不怕困難、勇敢面對挫折的樂觀精神.技能目標素養(yǎng)目標04PART4.1羅必達法則點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本在開始接觸函數的極限時,我們第一個碰到的重要極限是lim(x0) sinx/x=1當x0時,分子sin x、分母x都趨向于零,我們記這種極限的形式為“0/0”型(兩個無窮小量之比),如:這三個極限形式都是“0/0”型.點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本定理4-1(LHospital法則)設函數f(x)和g(x)在點x0的某一鄰域內(點x0可除外)有定義,且滿足下列條件:(1)lim(xx0 ) f(x)=0,lim(xx

3、0 ) g(x)=0;(2)f(x)和g(x)都存在,且g(x)0;(3)lim(xx0 )(f(x)/(g(x)存在(或為).則:lim(xx0 )(f(x)/(g(x)=lim(xx0)(f(x)/(g(x)(或為).0/0 型未定式4. 1. 1點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本【例4-1】求極限lim(x0) sinax/sinbx .解:lim(x0) sinax/sinbx=lim(x0) (sinax)/(sinbx)=lim(x0) acosax/bcosbx=a/b.【例4-2】求極限lim(x0) (cosx-1)/sinx.解:lim(x0) (cosx-1

4、)/sinx=lim(x0) (cosx-1)/(sinx)=lim(x0) (-sinx)/cosx=0.0/0 型未定式4. 1. 1點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本定理4-2(LHospital法則)設函數f(x)和g(x)在點x0的某一鄰域內(點x0可除外)有定義,且滿足下列條件:(1)lim(xx0)f(x)=,lim(xx0 )g(x)=;(2)f(x)和g(x)都存在,且g(x)0;(3)lim(xx0 ) f(x)/g(x)存在(或為).則:lim(xx0) f(x)/g(x)=lim(xx0) f(x)/g(x)(或為)./型未定式4. 1. 2點擊添加文本點

5、擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本/型未定式4. 1. 2【例4-5】求極限lim(x+) lnx/xn (n0).解:lim(x+) lnx/xn =lim(x+) (lnx)/(xn)=lim(x+) (1/x)/(nx(n-1) )=lim(x+) 1/(nxn )=0.【例4-6】求極限lim(x) x/ex .解:lim(x+) x/ex =lim(x+) (x)/(ex )=lim(x+) 1/ex =0.【例4-7】求極限lim(x) (x2-3x+2)/(2x2+2x+1).解:lim(x) (x2-3x+2)/(2x2+2x+1)=lim(x) (2x-3)/(4x+2)=l

6、im(x) 2/4=1/2 .點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本當xx0(或x)時,還可能出現0型、-型、1型、00型、0型等,對于這類未定型的極限可以化為0/0型或/型的極限來計算.【例4-8】求極限lim(x0+ ) x ln x.解:這是一個0型的極限,不能直接使用羅必達法則,但我們可以通過對函數的變形將它轉化為/型的極限,然后再使用羅必達法則.其他未定式4. 1. 3點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本【例4-9】求極限 .解:這是一個-型的極限,也不能直接使用羅必達法則,通過通分將它轉化為0/0型的極限,然后再使用羅必達法則.其他未定式4. 1. 3點擊添加

7、文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本【例4-10】求極限 .解:這是一個00型的未定型極限,注意到xx是一個冪指函數,設y=xx,兩邊取對數得ln y=xln x.當x0+時,右端是0型的極限.由例4-8可得lim(x0+ ) ln y=lim(x0+ ) x ln x=0,所以:其他未定式4. 1. 304PART4.2函數的單調性點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本我們先來看一個實際問題.假設某生產商每月銷售MP3播放器獲得的利潤可由函數L(x)=400(5-x)(x-2)表示,其中x為每臺MP3播放器的售價.圖4-1是利潤函數L(x)的圖形,從中可看出一個最優(yōu)的銷售價格x

8、,此時該生產商可獲得最大收益.從幾何上看,這個最優(yōu)價格x對應的是該圖形的頂點.點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本定理4-3設函數y=f(x)在a,b上連續(xù),在(a,b)內可導,那么:注意:如果f(x)0,只要在a,b內使f(x)=0的x是個別點,上述結論仍成立.0201定理4-303如果在(a,b)內f(x)0,則函數y=f(x)在a,b上單調增加;如果在(a,b)內f(x)=0,則函數y=f(x)在a,b內是常數,即f(x)=C(C為常數).點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本【例4-11】判定函數y=x-sin x在0,2上的單調性.解:y=1-cos x0,x(

9、0, 2),所以,函數y=x-sin x在0, 2上單調增加.由于在(-,+)上,y=1-cos x0,使y=0的點是個別點,因此在(-,+)上函數y=x-sin x是單調增加的.【例4-12】討論函數y=ex-x-1的單調性.解:函數y=ex-x-1的定義域是(-,+),并且y=ex-1,而y的符號取決于x的取值,顯然x=0是導數符號的一個分界點.我們將函數的單調性通過表4-1表示出來:04PART4.3函數的極值與最大(小)值點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本在討論函數的單調性時,我們發(fā)現,如果函數從單調增加變化到單調減少,一定會經過某一類點,而這一類點實際上就是使函數單調性

10、發(fā)生變化的分界點(如例4-13中的點x=-2和x=1).這樣的點在實際問題中有著很重要的意義,也正是我們要引入的函數極值的概念.點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本1) 極值的定義定義4-1設函數f(x)在點x0的某鄰域內有定義,且對此鄰域內的任意一點x(xx0),均有f(x)f(x0)成立,則稱f(x0)是函數f(x)的一個極小值.極大值、極小值統稱為極值,使函數f(x)取得極值的點稱為極值點.函數的極值4.3.1點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本1) 極值的定義如圖4-2所示,函數f(x)有兩個極大值f(x2),f(x4),三個極小值f(x1),f(x3),f(x

11、5),但這并不意味著f(x2)或f(x1)是函數f(x)在定義域中的最大值或最小值,而只是對xi附近局部范圍來說的,如圖4-2所示的函數f(x),其極小值f(x5)甚至比極大值f(x2)大.函數的極值4.3.1點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本2) 極值的必要條件定理4-4設函數f(x)在點x0處具有導數,且在點x0處取得極值,則f(x0)=0.通常稱使函數f(x)的導數值為零的點為駐點.即若f(x0)=0,則x0為駐點.因此,可導函數的極值點必定是它的駐點,但是函數的駐點卻不一定是它的極值點.例如,對函數f(x)=x3而言,點x0=0是它的駐點.但是在定義域(-,+)內函數是單

12、調增加的,即在點x0=0的某個鄰域內既有大于f(0)=0的值,又有小于f(0)=0的值,所以點x0=0不是它的極值點,可見函數的駐點只是可能的極值點.此外,函數在它的導數不存在的點處也可能取得極值.例如,我們知道函數f(x)=|x|在點x=0處的導數是不存在的,但是在該點取得極小值.由此可知,對于連續(xù)函數,可能成為函數極值點的,一定是函數的駐點與導數不存在的點,我們把它叫做極值可疑點.那么如何判定極值可疑點是否為極值點呢?函數的極值4.3.1點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本3) 極值的判別法定理4-5(第一充分條件)設函數f(x)在點x0的某鄰域內連續(xù)并且可導(導數f(x0)也

13、可以不存在):函數的極值4.3.101若x(x0-,x0)時,f(x)0,而x(x0,x0+)時,f(x)0,則f(x)在點x0處取得極大值;02若x(x0-,x0)時,f(x)0,則f(x)在點x0處取得極小值;03若x(x0-,x0)和(x0,x0+)時,導數f(x)的符號不變,則函數f(x)在點x0處沒有極值.點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本函數的極值4.3.1【例4-15】求函數f(x)=2x3+3x2-12x-7的極值.解:函數f(x)=2x3+3x2-12x-7的定義域是(-,+),并且f(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1),令f(x)=0,得極值可疑

14、點為x=-2和x=1.列表討論如表4-4所示(判別它們是否為極值點的過程).所以, 函數在x=-2處取得極大值f(-2)=13, 在x=1處取得極小值f(1)=-14.函數圖形如圖4-3所示.點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本定理4-6(第二充分條件)設函數f(x)在點x0處具有二階導數,且f(x0)=0,f(x0)0,那么(1)當f(x0)0時,函數f(x)在點x0處取得極小值.定理4-6告訴我們,如果函數f(x)在駐點x0處的二階導數f(x0)0,那么該駐點x0一定是極值點,并可按f(x0)的符號來判定f(x0)是極大值還是極小值,但當f(x0)=0時,該方法就失效.這時f(

15、x0)=0,f(x0)=0,x0處可能有極值,可能無極值,可用定理4-5來判別.函數的極值4.3.1點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本函數的極值4.3.1【例4-17】求函數f(x)=x2(x4-3x2+3)的極值.解:函數f(x)=x2(x4-3x2+3)的定義域為(-,+),且二階導數存在.f(x)=2x(x4-3x2+3)+x2(4x3-6x)=6x(x2-1)2f(x)=6(x2-1)2+6x2(x2-1)2x=6(x2-1)(5x2-1)點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本在第2章中我們曾經指出,閉區(qū)間上的連續(xù)函數一定存在最大值和最小值.與極值概念不同的是,

16、極值是一個局部性的概念,而最大值(或最小值)是全局性的概念.最大值(或最小值)是函數在所考察的區(qū)間內全部函數值中的最大者(或最小者),而極值只是函數在極值點的某個鄰域內的最大值或最小值.一般地,函數在給定的區(qū)間上的最大值與最小值可能在區(qū)間內部的點處取得,也可能在區(qū)間的端點處取得.如果函數的最大值與最小值是在區(qū)間內部的點處取得,那么這個最大值(或最小值)一定也是極大值(或極小值).因此,對于在給定區(qū)間上的函數,可直接求出極值可疑點(駐點和導數不存在的點)及區(qū)間端點處的函數值,比較這些數值的大小,即可求出函數的最大值與最小值.函數的最大(小)值4.3.2點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加

17、文本【例4-18】求函數f(x)=2x3+3x2-12x+14在-3,4上的最大值和最小值.解:f(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1),令f(x)=0,得x1=1,x2=-2.由于f(1)=7,f(-2)=34,f(4)=142,f(-3)=23,因此函數f(x)在區(qū)間-3,4上的最大值為f(4)=142,最小值為f(1)=7.函數的最大(小)值4.3.2點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本對于最大值和最小值有兩個特殊情況:(1)如果函數f(x)在a,b上單調增加,則f(a)就是f(x)在a,b上的最小值,f(b)就是f(x)在a,b上的最大值;如果函數f(x)在a,

18、b上單調減少,則f(a)就是f(x)在a,b上的最大值,f(b)就是f(x)在a,b上的最小值.(2)如果連續(xù)函數在區(qū)間(a,b)內僅有一個極大值,而沒有極小值,則此極大值就是函數在區(qū)間a,b上的最大值;如果連續(xù)函數在區(qū)間(a,b)內僅有一個極小值,而沒有極大值,則此極小值就是函數在區(qū)間a,b上的最小值.很多實際問題中的最大值和最小值,就是屬于這種類型.函數的最大(小)值4.3.204PART4.4函數的凹性與拐點點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本考察曲線弧(如圖4-6所示),圖4-6(a)中的兩條曲線所表示的函數都是單調增加函數,而圖4-6(b)中的兩條曲線所表示的都是單調減少

19、函數,但是從我們的視覺上講,圖中的兩條曲線弧有明顯的不同:位于上側的兩條曲線給我們向上凸起的感覺,而位于下側的兩條曲線則給我們向下凹陷的感覺.我們把前者稱為凸曲線,后者稱為凹曲線.函數的凹性4.4.1點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本定義4-2在某個區(qū)間內,若曲線弧位于其上每一點處切線的上方,則稱此曲線弧在該區(qū)間內是凹的(或稱為上凹);若曲線弧位于其上每一點處切線的下方,則稱此曲線弧在該區(qū)間內是凸的(或稱為下凹)(如圖4-7所示).函數的凹性4.4.1點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本定理4-7設函數f(x)在區(qū)間(a,b)內具有二階導數,則在該區(qū)間內:(1)當f(

20、x)0時,曲線弧y=f(x)是凹的;(2)當f(x)0時,曲線弧y=f(x)是凸的.【例4-20】討論函數y=x3的凹凸性.解:定義域(-,+),y=3x2,y=6x,凹凸性列表討論如表4-6所示.由上述討論可知,函數y=x3在區(qū)間(-,0)內是凸的,而在區(qū)間(0,+)內是凹的.函數的凹性4.4.1點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本拐點4.4.2【例4-20】中,在函數y=x3的曲線上,存在一個凹、凸區(qū)間的分界點,這樣的點對研究函數的性態(tài)也是很重要的,由此我們給出下面的定義:定義4-3連續(xù)曲線y=f(x)上凹弧與凸弧的分界點稱為曲線y=f(x)的拐點.如【例4-20】中的(0,0

21、)是曲線y=x3的拐點;而【例4-21】中的(0,0)卻不是曲線y=1/x的拐點,因為當x=0時函數y=1/x不連續(xù).點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本拐點4.4.2圖4-8直觀地描繪出曲線的凹凸區(qū)間與拐點.根據曲線凹凸的判定法可知,函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)內具有二階導數f(x),并且f(x0)=0,如果f(x)在點(x0,f(x0)的左右兩側符號相反,則點(x0,f(x0)是曲線y=f(x)的拐點.因此,二階可導函數的拐點的橫坐標應該在使得f(x)=0的點中去尋找.但對于二階導數不存在的點,在曲線上相應的點也可能是曲線的拐點,如圖4-8中(x*,f(x*)就是這樣一個點

22、.點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本拐點4.4.2一般地,判定曲線y=f(x)的凹凸性與拐點的步驟如下:(1)求出函數y=f(x)的定義域,求出一階導數f(x)、二階導數f(x);A(2)求出所有滿足方程f(x)=0的點及二階導數不存在的點;B(3)以(2)中找出的全部點,把函數的定義域分成若干部分區(qū)間,然后考察二階導數在各部分區(qū)間的符號,從而判定曲線在各部分區(qū)間的凹凸性及拐點.C點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本拐點4.4.2【例4-22】討論曲線y=x4-2x3+1的凹凸性與拐點.解:定義域(-,+),y=4x3-6x2,y=12x2-12x=12x(x-1),

23、令y=0,得x=0,x=1.曲線的凹凸性及拐點列表討論如表4-8所示。04PART4.5導數在經濟中的應用點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本1) 邊際分析在第1章中,我們介紹了幾個經濟中常用的函數:成本函數C(Q):給出生產Q單位產品的總成本.收益函數R(Q):給出銷售Q單位產品的總收益.利潤函數L(Q)=R(Q)-C(Q):給出生產Q單位產品并全部銷售出去后的總利潤.這三個函數中的自變量Q只能取非負整數,但對現代企業(yè)而言,產品的生產、銷售數量是一個很大的數目,一個單位的產品就顯得是一個微不足道的量.因此經濟學家通常假設以上三個函數為定義在非負實數集上的可導函數.導數的概念在經濟

24、中的應用4.5.1點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本【例4-24】設某企業(yè)生產一種產品,每天的總利潤L(x)(元)與產量x(噸)之間的函數關系為L(x)=250 x-5x2,試求x=10,x=25和x=30時的邊際利潤.解:邊際利潤為L(x)=250-10 x.當x=10時,L(10)=250-10 x=150(元).其經濟意義是:當每天的生產水平在10噸時,再多生產1噸,總利潤將增加150元.當x=25時,L(25)=250-10 x=0(元).其經濟意義是:當每天的生產水平在25噸時,再多生產1噸,總利潤幾乎沒有變化,即這1噸的產量并沒有產生利潤.當x=30時,L(30)=2

25、50-10 x=-50(元).其經濟意義是:當每天的生產水平在30噸時,再多生產1噸,總利潤將減少50元.本例說明:并非生產的產品數量越多,利潤就越高.導數的概念在經濟中的應用4.5.1點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本2) 彈性分析(1)函數的彈性。前面我們討論了函數的絕對變化率.在經濟領域里,經濟學家還要關心相對改變量和相對變化率.例如,商品甲的單位價格是500元,漲價100元;商品乙的單位價格是10 000元,漲價100元.此時,兩種商品價格的絕對改變量都是100元,但二者漲價的百分比有很大的差異,商品甲漲了20%,而商品乙漲了1%.反映在數學上,需要引入函數的相對改變量與

26、相對變化率.導數的概念在經濟中的應用4.5.1點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本定義4-4設函數y=f(x)可導,函數的相對改變量自變量的相對改變量x/x之比,當x0時的極限稱為函數y=f(x)的彈性函數,記做Ey/Ex.一般地,有:導數的概念在經濟中的應用4.5.1點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本2) 彈性分析(2)需求彈性。在市場經濟中,經常要分析一個經濟量對另一個經濟量相對變化的靈敏程度,這就是經濟量的彈性.一般來說,商品的需求量對市場價格的反應是很靈敏的,反映當商品價格變動時需求量變動的強弱程度的量就是需求彈性.設需求函數Q=f(P),這里P表示產品的價格

27、,記該商品在點P0處的需求彈性或需求彈性系數為: 記需求彈性函數為:在經濟上表示,當產品的價格為P時,價格變動1%,需求量將變化%.導數的概念在經濟中的應用4.5.1點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本2) 彈性分析(3)用需求彈性分析總收益的變化。由于總收益R=PQ=Pf(P),所以:導數的概念在經濟中的應用4.5.1點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本由此我們可以得到下面的結論:若|0,R單調增加,即價格上漲,總收益增加;價格下跌,總收益減少.若|1,需求變動的幅度大于價格變動的幅度.此時R0),此時 ,所以Q=4時有極小值.又因為僅有一個極值點,所以當生產水平達到

28、4時,平均成本最小.極值在經濟中的應用4.5.2點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本1) 最小平均成本(2)邊際成本C(Q)=6Q+1,由C(Q)=C(Q),即3Q+1+48/Q=6Q+1,解得Q=4.即當生產水平為4時,單位產品的平均成本等于邊際成本.(3)畫出平均成本和邊際成本的圖形如圖4-14所示.由此我們可以得到以下結論:當邊際成本小于平均成本時,平均成本遞減;當邊際成本大于平均成本時,平均成本遞增.極值在經濟中的應用4.5.2點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本【例4-28】某公司生產數量為Q的某種商品,每件產品的平均成本由下式給出:a(Q)=0.01Q2-0

29、.6Q+13(1)生產Q件產品的總成本是多少?(2)最小邊際成本是多少?(3)生產水平為多少時,平均成本最小?最小值是多少?(4)計算Q=30時的邊際成本.將答案與(3)比較,二者有何關系?分析并定性解釋上述關系.極值在經濟中的應用4.5.2點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本2) 最大利潤設某產品的成本函數為C(Q),收益函數為R(Q),則利潤函數為L(Q)=R(Q)-C(Q).若L(Q)可導,則在其極值點處應有:L(Q)=R(Q)-C(Q)=0即R(Q)=C(Q)為使L(Q)取得極大值,還應滿足L(Q)=R(Q)-C(Q)0,即R(Q)C(Q).我們將 稱為利潤最大化原則.即當

30、邊際收益等于邊際成本,并且邊際收益的變化率小于邊際成本的變化率時利潤取得最大值.極值在經濟中的應用4.5.2點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本極值在經濟中的應用4.5.2【例4-29】設某商店以每件10元的進價購進一批襯衫,已知這種襯衫的需求函數為Q=80-2P(其中,Q為需求量,單位為件,P為銷售價格,單位為元).問該商店應將售價定為多少元,才能獲得最大利潤?最大利潤為多少?解:設總利潤函數為L,總收益函數為R,總成本函數為C,所以:L=L(P)=R(P)-C(P)總收益函數R(P)=PQ=P(80-2P)=80P-2P2,邊際收益為R(P)=80-4P.總成本函數C(P)=1

31、0Q=10(80-2P)=800-20P,邊際成本為C(P)=-20.由利潤最大化原則,R(P)=C(P),即80-4P=-20,得P=25.又因為R(25)=-4,C(25)=0,即R(25)C(25),又因為僅有一個極大值點,所以當P=25時,利潤最大.L(P)=80P-2P2-(800-20P)=100P-2P2-800最大利潤為:L(25)=10025-2252-800=450(元)點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本3) 最優(yōu)批量倉儲原料或貨物對于企業(yè)、商業(yè)流通各部門都是不可少的.存儲過多,則會導致占用流動資金過多、倉儲費用增多等問題;而存儲過少,則會導致進貨批次增多從而增加了訂貨費