初等模型數(shù)學(xué)建模

1、初等模型數(shù)學(xué)建模第1頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一多元函數(shù)模型問題5【居民電費(fèi)模型】 在中國有些地區(qū)，由于電力緊張，政府鼓勵(lì)“錯(cuò)峰”用電。四川省電網(wǎng)居民生活電價(jià)表（單位：元/kwh）規(guī)定“一戶一表”居民生活用電收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：1.月用電量在60kwh及以下部分，每日7:0023:00期間用電， 每千瓦時(shí)0.4724元；23:00次日7:00期間用電，每千瓦時(shí)0.2295元。2.月用電量在61至100kwh部分，每千瓦時(shí)提高標(biāo)準(zhǔn)0.08元。3.月用電量在100至150kwh部分，每千瓦時(shí)提高標(biāo)準(zhǔn)0.11元。4.月用電量在150kwh及以上部分，每千瓦時(shí)提高標(biāo)準(zhǔn)0.16元

2、。 根據(jù)以上規(guī)定，建立該地“一戶一表”居民用電量與電費(fèi)之間的函數(shù)關(guān)系模型。若某戶居民6月份的用電量為：7:0023:00期間用了200kwh，23:00次日7:00期間用了100kwh，請計(jì)算這戶居民6月份應(yīng)繳納的電費(fèi)。根據(jù)所建立的模型為居民提供一個(gè)合理化的用電建議。第2頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一一 模型的假設(shè)1.電表能準(zhǔn)確地顯示每戶居民各時(shí)段的月用電量，且無公攤。2.假設(shè)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)按月執(zhí)行第3頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一二 變量說明Z 一戶一表居民的月電費(fèi)x 居民一個(gè)月內(nèi)在時(shí)段7：0023：00的用電量y 居民一個(gè)月內(nèi)在時(shí)段23：0

3、0次日7：00的用電量第4頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一三 模型的分析和建立第5頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一四 模型的求解這里x=200，y=100,因x+y=300150，所以將x=200，y=100代入電費(fèi)模型中第四個(gè)得Z=150.13元第6頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一五 模型的結(jié)果第7頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一六 模型的推廣第8頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一問題6 手機(jī)資費(fèi)模型第9頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一一

4、模型的假設(shè)1.假設(shè)北京移動公司全球通“暢聽99”共推出了4種手機(jī)套餐方案。第i種（i=1,2,3,4）依次對應(yīng)表中從上到下的第i種方案。2.假設(shè)套餐費(fèi)用按月計(jì)算，不累計(jì)到下月。第10頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一二 變量說明yi 北京移動公司全球通“暢聽99”第i種方案的資費(fèi)x 手機(jī)的本地主叫時(shí)間ai 第i種方案的月基本費(fèi)bi 第i種方案中包含本地主叫分鐘數(shù)ci 第i種方案中超出套餐部分本地主叫資費(fèi)fi 第i種方案中除去月基本費(fèi)和超出套餐部分本地 主叫費(fèi)的費(fèi)用第11頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一三 模型的建立第12頁，共48頁，2022年

5、，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一四 模型的求解第13頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一四 模型的推廣第14頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一幾何模型問題7 切割鋼板的優(yōu)化模型一道生產(chǎn)工序是用沖床從1m*1m的鋼板上壓切下100塊直徑為0.1m的小圓板，請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)切割方案，盡量減少損耗。請問該圓板還能壓切出更多的小圓板嗎？第15頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一一 模型的準(zhǔn)備在生產(chǎn)車間，如何下料使浪費(fèi)最少主要取決于下料的方式本問題等同于在一正方形的紙板上裁剪一些大小相同的圓，使剩余的紙屑面積最小。我們可以先用圓規(guī)在紙上畫圓

6、的方法幫助分析。事實(shí)上有多種裁剪方式，方式（1）如圖2-3所示，方式（2）如圖2-4所示，以及更多方式。但要使浪費(fèi)的材料最少，我們可以只考慮這兩種方式。第16頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一第17頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一二 模型的假設(shè)1.假設(shè)沖床能高精度的切割，使圓與圓彼此相切。2.假設(shè)不考慮鋼板大小和圓的大小誤差。3.假設(shè)各種切割方式都不產(chǎn)生廢品4.假設(shè)圓與圓的接觸形式為以下兩種，且方式不混合：（1）4圓相切，呈正方形排列（2）6圓相切，呈三角形排列第18頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一三 變量說明l 鋼板

7、的長d 鋼板的寬D 圓板的直徑r 圓板的半徑N 圓板的數(shù)量S1 圓板的總面積S 鋼板的面積W 損耗第19頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一四 模型的建立及求解此時(shí).先考慮圓成正方形排列的情形,如圖一所示.通過粗略的測算和分析,可知這時(shí)橫、縱方向均可壓切10個(gè)半徑為0.05m的圓，共可壓切1010=100個(gè)小圓板。100個(gè)小圓板的面積為鋼板面積為損耗為第20頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一第21頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一利用圖2-5可以計(jì)算切割圓板的層數(shù)。此時(shí)，中間每層圓板的高度為 ，邊上第一層圓心與最后一層圓板圓

8、心到鋼板邊緣的高度之和為2r.設(shè)切割圓板的層數(shù)為n，則它應(yīng)滿足將d=1,r=0.05代入上式，得n=11.從而可從鋼板上壓切106+95=105個(gè)小圓板，大于按正方形排列時(shí)壓切100個(gè)小圓板的數(shù)量.105個(gè)圓的面積為鋼板面積不變,損耗為 第22頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一五 模型的結(jié)果要切出100塊小圓板，可以按四圓相切，呈正方形排列的方式切割，一排十個(gè)，十排。一共一百個(gè)。如果按六圓相切，呈三角形排列的方式切割，可切出更多的圓（105個(gè)）。第23頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一六 模型的推廣第24頁，共48頁，2022年，5月20日，20

9、點(diǎn)23分，星期一第25頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一排列組合及其他模型基本計(jì)數(shù)原理 這里我們先簡要復(fù)習(xí)一下計(jì)算古典概率所要用到的1. 加法原理設(shè)完成一件事有m種方式，第一種方式有n1種方法，第二種方式有n2種方法,； 第m種方式有nm種方法,無論通過哪種方法都可以完成這件事，則完成這件事總共有n1 + n2 + + nm 種方法 .第26頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一例如，某人要從甲地到乙地去,甲地乙地可以乘火車,也可以乘輪船.火車有兩班輪船有三班乘坐不同班次的火車和輪船，共有幾種方法?3 + 2 種方法回答是第27頁，共48頁，2022

10、年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一則完成這件事共有種不同的方法 .2. 乘法原理設(shè)完成一件事有m個(gè)步驟，第一個(gè)步驟有n1種方法，第二個(gè)步驟有n2種方法,； 第m個(gè)步驟有nm種方法,必須通過每一步驟,才算完成這件事，第28頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一例如，若一個(gè)男人有三頂帽子和兩件背心，問他可以有多少種打扮？可以有 種打扮第29頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一第30頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一一 模型的假設(shè)1.線路一與線路二不能交叉2.只能在旅行社提供的線路中考慮，3.在西安轉(zhuǎn)機(jī)到北京的航班可以考慮不在同一天

11、。第31頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一二 模型的分析和建立第32頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一第33頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一三 模型的結(jié)果如果小張必選北京，則他有八種選擇方案如果成都到北京必須在西安轉(zhuǎn)機(jī)，且成都到西安有2個(gè)航班，西安到北京有3個(gè)航班，則小張從成都到北京有6種不同的航班安排方式。第34頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一問題9【比賽場次模型】某次網(wǎng)球單打比賽分兩個(gè)階段進(jìn)行.第一階段為預(yù)賽,按分組單循環(huán)賽進(jìn)行,共分成四組,每組n個(gè)人。第二階段為決賽，實(shí)行淘汰賽，由各小組的

12、前二名參加，最終決出冠軍。問冠軍至少要打多少場比賽？第35頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一一問題的分析第36頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一二 模型的假設(shè)假設(shè)無運(yùn)動員缺賽第37頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一三 模型的建立和求解第38頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一第39頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一四 模型的推廣如果這次比賽的初賽和決賽均實(shí)行淘汰賽，問冠軍至少要打多少場比賽？第40頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一問題10【排隊(duì)打水模型】

13、每天下午5:00至5:30之間開水房的擁塞每位同學(xué)都深有感觸，有些人喜歡一個(gè)人占幾個(gè)水龍頭，對每個(gè)人來講，最好的辦法是在不違反排隊(duì)順序的前提下盡可能早的接觸水龍頭。事實(shí)上大家也基本上是這樣做的。試分析最節(jié)省時(shí)間的打水方案。第41頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一一 模型的假設(shè)1.假設(shè)有2個(gè)水龍頭，有2n個(gè)人來打水，每人兩個(gè)壺。2.假設(shè)每打一壺水需要的時(shí)間固定。第42頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一二 變量說明t 打一壺水需要的時(shí)間第43頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一三 模型的建立下面考慮兩種排隊(duì)打水方式：方式A（經(jīng)驗(yàn)

14、方法）：兩個(gè)人同時(shí)各用一個(gè)水龍頭。相當(dāng)于有2列，每列的情況為：第1人需要2t min,則n個(gè)人都花了2t min 第二人的打水時(shí)間為2t，則一共有(n-1)個(gè)人花了2tmin,以此類推，其中一列打完需要的時(shí)間為：2t*n+2t*(n-1)+.+2t=2t(1+2+。+n)=tn(n+1)則2n個(gè)全打完。共需要時(shí)間2tn(n+1) 第44頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一 方式B：只有1列，每次分配水龍頭時(shí)都優(yōu)先滿足最前面的一個(gè)人。這樣，第一個(gè)人先用兩個(gè)水龍頭，要t min,等他打完了第二個(gè)人再用。第2個(gè)人的等待時(shí)間和打水的時(shí)間共為t+t=2t min，以此類推，將2n個(gè)水壺打滿水，共需要的時(shí)間為 t(1+2+3+2n)=tn(n+1)/2.第45頁，共48頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)23分，星期一四 模型的求解如果n=5.t=1方式A需要的時(shí)間為：2*1*5*(5+1)=60（min）方式B需要的時(shí)間為:1+2+3+4+5+6+7+