分段插值與最小二乘法

1、分段插值與最小二乘法第1頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一龍格現(xiàn)象第2頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一第3頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一分段插值第4頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一分段線性插值第5頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一分段基函數(shù)與圖像第6頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一 第7頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一 第8頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一分段線性插值第9頁，共78頁，202

2、2年，5月20日，10點57分，星期一分段線性插值第10頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一 缺點：I(x)連續(xù)，但不光滑，精度較低,僅在第11頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一分段三次Hermite插值上述分段線性插值曲線是折線，光滑性差，如果交通工具用這樣的外形，則勢必加大摩擦系數(shù)，增加阻力，因此用hermite分段插值更好。第12頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一分段三次Hermite插值第13頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一分段三次Hermite插值第14頁，共78頁，2022年，5月20日

3、，10點57分，星期一分段三次Hermite插值第15頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一分段三次Hermite插值第16頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一分段三次Hermite插值第17頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一分段三次Hermite插值算法第18頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一例題第19頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一例題第20頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一三次樣條插值第21頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一三

4、次樣條插值第22頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一三次樣條插值第23頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一三次樣條插值第24頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一三次樣條插值第25頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一三次樣條插值第26頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一三次樣條插值第27頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一三次樣條插值第28頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一第29頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一三次樣

5、條插值第30頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一三次樣條插值第31頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一三次樣條插值第32頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一三次樣條插值第33頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一例題例4.4.1 已知函數(shù)y=f(x)的數(shù)表如下表所示。 求滿足邊界條件x00.150.300.450.60f(x)10.978000.917430.831600.73529第34頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一 解 做差商表(P111),由于是等距離節(jié)點,第35頁，共78頁

6、，2022年，5月20日，10點57分，星期一 由第二類邊界條件得第36頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一 解方程得將Mi代入式4.4.14)得第37頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一 由于 故 第38頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一45 曲線擬和的最小二乘法插值法是用多項式近似的表示函數(shù),并要求在他們的某些點處的值相擬合.同樣也可以用級數(shù)的部分和作為函數(shù)的近似表達(dá)式.無論用那種近似表達(dá)式,在實際應(yīng)用中都要考慮精度,所以我們給出最佳逼近的討論.第39頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一4.5.1 最

7、佳平方逼近定義4.5.1 設(shè) 稱 為函數(shù) 在區(qū)間a,b上的內(nèi)積. 其中 為區(qū)間a,b上的權(quán)函數(shù),且滿足下面兩個條件:第40頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一容易驗證,上述定義的函數(shù)內(nèi)積滿足一般內(nèi)積概念中四條基本性質(zhì).第41頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一內(nèi)積的性質(zhì)第42頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一函數(shù)的歐幾里得范數(shù)定義4.5.2 設(shè) 稱 為函數(shù)f(x)的歐幾里得范數(shù),或2范數(shù).第43頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一函數(shù)的歐幾里得范數(shù)性質(zhì)第44頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57

8、分，星期一線性相關(guān)的函數(shù)系定義4.5.3 設(shè)函數(shù) ,如果存在一組不全為零的數(shù) 使成立,則稱函數(shù)系 是線性相關(guān)的,否則稱 是線性無關(guān)的.第45頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一線性相關(guān)的函數(shù)系的判定定理4.5.1 函數(shù) 在區(qū)間a,b上線性相關(guān)的充分必要條件是Gramer行列式第46頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一 不難證明 在R上線性無關(guān).定理的等價說法是:函數(shù)系 線性無關(guān)的充分必要條件是Gramer行列式 .第47頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一最佳平方逼近定義4.5.4 設(shè)函數(shù) 及函數(shù)系 且線性無關(guān).記 為連續(xù)函數(shù)空

9、Ca,b的子空間,如果存在元素 滿足第48頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一 則稱 為f(x)在 上的最佳平方逼近函數(shù).且其中 是法方程唯一的一組解.第49頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一 令 則誤差為第50頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一特例取則法方程為其中第51頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一例題例4.5.1 設(shè) 求f(x)在區(qū)間0,1上的一次最佳平方逼近多項式.解 設(shè) 由于第52頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一 故法方程為解得第53頁，共78頁，2022年，5月

10、20日，10點57分，星期一 平方誤差為第54頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一4.5.2 對離散數(shù)據(jù)的曲線擬合最小二乘法曲線擬合問題 對于f(x)插值問題,要想提高精度,就要增加節(jié)點,因此多項式的次數(shù)也就太高,計算量過大,而節(jié)點少,多項式的次數(shù)低,但誤差精度不能保證,為了消除誤差干擾,取多一些節(jié)點利用最小二乘法確定低次多項式近似表示f(x),這就是曲線擬合問題.第55頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一 在科學(xué)實驗中,得到函數(shù)y=f(x)的一組實驗數(shù)據(jù): ,求曲線 與實驗數(shù)據(jù)誤差在某種度量意義下最小.第56頁，共78頁，2022年，5月20日，1

11、0點57分，星期一 設(shè) 是a,b上一組線性無關(guān)的連續(xù)函數(shù)系,令記誤差 .為尋求 我們常以誤差 加權(quán)平方和最小為度量標(biāo)準(zhǔn),即第57頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一 達(dá)到極小值,這里 是a,b上的權(quán)函數(shù).類似前述最佳平方逼近方法,有多元函數(shù)極值必要條件有第58頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一 用向量內(nèi)積形式表示,上式可記 上式為求 的法方程組,其矩陣的形式為第59頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一 其中由于向量組 是線性無關(guān),故式(4.5.14)的系數(shù)行列式 第60頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一

12、 故式(4.5.14)存在唯一解 ,于是得到函數(shù)f(x)的最小二乘解其平方誤差為第61頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一特例第62頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一例題例4.5.2 設(shè)函數(shù)y=f(x)的離散數(shù)據(jù)如下表所示 試用二次多項式擬和上述數(shù)據(jù),并求平方誤差.01234500.20.40.60.811.0001.2211.4921.8222.2262.718第63頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一 解 由式(4.5.16)可得解方程組得所以擬合二次函數(shù)為第64頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一

13、平方誤差為第65頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一 例4.5.3 地球溫室效應(yīng)問題下表統(tǒng)計了近100年內(nèi)地球大氣氣溫上升的數(shù)據(jù).試根據(jù)表中數(shù)據(jù)建立一數(shù)學(xué)模型即擬和曲線,并根據(jù)這一模型,預(yù)報地球氣溫何年會比1860年的平均溫度高第66頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一 年份N1860年后地球氣溫增加值年份N1860年后地球氣溫增加值18800.0119400.1018900.0219500.1319000.0319600.1819100.0419700.2419200.0619800.3219300.08第67頁，共78頁，2022年，5月20日，

14、10點57分，星期一 解 為簡化數(shù)據(jù),從1880年起年份記N,其變換n=(N-1870)/10.將地球氣溫增加值改記為t=1,2,3,4,6,8,10,13,18,24,32,也就是將原氣溫增加值擴(kuò)大100倍,根據(jù)新數(shù)據(jù)繪制圖4.5.1 (P119)第68頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一 從圖4.5.1可以看出,氣溫t與變換n大致服從指數(shù)函數(shù)增長過程,因此,可以假設(shè)t與n滿足指數(shù)函數(shù)關(guān)系為決定參數(shù),將上式改寫成第69頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一 記 則有這是已知數(shù)據(jù)相應(yīng)地變?yōu)槿缦卤硭緉1234567891011ln1ln2ln3ln4l

15、n6ln8ln10ln13ln19ln24ln32第70頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一 由式(4.5.16),取n=1,m=10,并將上表已知數(shù)據(jù)帶入得解方程組得:第71頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一 相應(yīng)的t 與 n 的指數(shù)型擬合曲線關(guān)系為就是所求地球溫室效應(yīng)的指數(shù)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型,以此進(jìn)行預(yù)報,即已知t值求第72頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一 以地球氣溫比1860年上升 為例,即以t=700代入上式可得: N(7)=2078(年)第73頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一4.5.3 矛盾方程組的最小二乘解設(shè)矛盾方程組這里mn,記第74頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一 則上式可簡記為Ax=b.矛盾方程組的最小二乘解x*是指滿足第75頁，共78頁，2022年，5月20日，10點57分，星期一 引理 設(shè) 則B為半正定對稱方陣,當(dāng)R(A)=n,則B是正定對稱方