平面解析幾何末大盤點

1、一、函數(shù)與方程思想1方程思想：解析幾何的題目大部分都以方程形式給定直 線或圓錐曲線因此可以用方程思想討論直線和圓錐 曲線的位置關(guān)系問題可以把直線與圓錐曲線相交的 弦長問題利用根與系數(shù)的關(guān)系進行整體處理從而減 少解題過程的運算量2函數(shù)思想：對于圓錐曲線上一動點，在變化過程中，會 引入一些相互聯(lián)系、相互制約的量，從而使有些線段 長度及a、b、c、k、e之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，函數(shù)思想在 處理這類問題時非常有效【示例1】已知直線y 2和橢圓 (ab0)相交于A，B兩點，M為線段AB的中點，若|AB|2 直線OM的斜率為 ，求橢圓的方程解由 消去y整理得(a24b2)x28a2x16a24a2b20.設(shè)A(

2、x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2又設(shè)M(xM，yM)，則xM=因為kOM = 即a24b2.從而x1x2又|AB|2 所以 即 解得b24.所以a24b216，故所求橢圓方程為領(lǐng)悟待定系數(shù)法是求直線或曲線方程的常用方法，而用待定系數(shù)法解題時，在題目中尋找等量關(guān)系，建立方程是關(guān)鍵二、數(shù)形結(jié)合思想 圓錐曲線的相關(guān)問題中，許多表達式都具有一定的 幾何意義挖掘題目中隱含的幾何意義，然后采用數(shù)形 結(jié)合的思想方法進行推理，可以直觀地解決一些最值問 題另外，在解題中還要善于將數(shù)形結(jié)合的思想運用于 對圓錐曲線的性質(zhì)和關(guān)系的研究中【示例2】當函數(shù)y1 與函數(shù)yk(x2)4的圖象有兩個相

3、異交點時，實數(shù)k的取值范圍是 ()解析曲線y=1+ 是以(0,1)為圓心、2為半徑的半圓(如圖)，直線y=k(x-2)+4是過定點(2,4)的直線設(shè)切線PC的斜率為k0，切線PC的方程為y=k0(x-2)+4.圓心(0,1)到直線PC的距離等于半徑2，即設(shè)直線PA的斜率為k1，則所以實數(shù)k的范圍是答案C領(lǐng)悟平面解析幾何本身就是“以數(shù)解形”的一門學(xué)科，是數(shù)形結(jié)合思想的直接體現(xiàn)本例借助于數(shù)的幾何意義，利用形的直觀進行解題，又體現(xiàn)了“以形助數(shù)”的思想三、化歸與轉(zhuǎn)化思想 解決有關(guān)直線與圓錐曲線相交的問題，若要證明線數(shù)相等或求弦長，或求某些與曲線上的點有關(guān)的題目時，直接求交點坐標往往理論上可行，而實際運

4、算卻繁瑣復(fù)雜很難得出結(jié)果，若合理轉(zhuǎn)化，可使運算簡化，事半功倍【示例3】從圓C：x2y24x6y120外一點P(x1，y1)向圓引切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|PO|，求使|PM|最小的P點坐標解將方程x2y24x6y120配方后，得(x2)2(y3)212，圓心為C(2,3)，半徑r1.切線PM與半徑CM垂直(如圖所示)，由|PM|=|PO|，得化簡整理，得2x1+3y1=6，故滿足|PM|=|PO|的P點軌跡是方程2x+3y-6=0表示的直線|OP|的最小值為O點到此直線的距離，即 從而解方程組即滿足題設(shè)條件的P點為領(lǐng)悟解析幾何是將“形”的問題轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的問題解決的學(xué)科，如在解

5、題中常將交點問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題，將最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決四、分類討論思想 分類討論思想在解析幾何中應(yīng)用廣泛，主要表現(xiàn)的方面有：(1)過定點的直線的斜率是否存在問題(2)與截距有關(guān)的直線問題要分零截距與非零截距情形討論(3)直線與圓錐曲線的交點問題(4)含參數(shù)的方程表示的曲線的討論問題(5)圓與圓的位置關(guān)系判斷問題(6)橢圓、雙曲線、拋物線焦點位置與標準方程間關(guān)系的問題等等【示例4】已知向量 動點M到定直線y1的距離等于d，并且滿足 d2)，其中O為坐標原點，k為參數(shù)(1)求動點M的軌跡方程，并判斷曲線類型；(2)如果動點M的軌跡是一條圓錐曲線，其離心率e滿足 e ，求實數(shù)k的取值范圍=

6、(2,0),=(0,1),解(1)設(shè)M(x，y)，則由 且O為原點，知A(2,0)，B(2,1)，C(0,1)從而 2，y1)，d|y1|.代入 得(1k)x22(k1)xy20為所求的軌跡方程當k1時，得y0，軌跡為一條直線；當k1時，得(x1)2 若k0，則軌跡為圓；若k1，則軌跡為雙曲線；若0k1或k0，則軌跡為橢圓=(2,0),=(0,1),(2)因為 所以方程表示橢圓對于方程(x1)2當0k1時，a21，b21k，c2a2b21(1k)k，此時當k0時，a21k，b21，c2k，所以所以領(lǐng)悟在圓錐曲線的定義中，都是有一定的限制條件的，滿足不同的條件就得到不同的曲線(如本例(1)，另外

7、在進行有關(guān)量的運算時，參數(shù)的符號往往決定著運算結(jié)果，在符號不明確時也要進行分類討論1(2009全國卷)設(shè)雙曲線 (a0，b0)的漸 近線與拋物線yx21相切，則該雙曲線的離心率等于 ()B.2解析：雙曲線的漸近線方程為y 與拋物線方程聯(lián)立得x2 10，( )240b24a2，c2a24a2，c25a2，e答案：C2(2008山東高考)若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且 與直線4x3y0和x軸都相切，則該圓的標準方程是 () A(x3)2 1 B(x2)2(y1)21 C(x1)2(y3)21 D. (y1)21解析：法一：由題意知圓心坐標為(x0,1)，排除A、C.選項B中圓心(2,1)到直

8、線4x3y0的距離即dr成立法二：由題意設(shè)圓心為(x0,1)，dr， 1x02或x0 (舍去)答案：B3(2007山東高考)設(shè)O是坐標原點，F(xiàn)是拋物線y22px(p0) 的焦點，A是拋物線上的一點， 與x軸正向的夾角為60， 則 為 ()解析：設(shè)則A又A在y22px上， p2pt，解得t2p，t (舍)，A答案：B4(2010汕頭模擬)中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的實 軸與虛軸相等，一個焦點到一條漸近線的距離為 ，則 雙曲線方程為 () Ax2y22 Bx2y2 Cx2y21 Dx2y2解析：設(shè)雙曲線方程為x2y2(0)，漸近線方程為yx，焦點到直線的距離 c2，2c24，2.答案：A5(

9、2010日照模擬)過點A(1，1)，B(1,1)且圓心在直線 xy20上的圓的方程是 () A(x3)2(y1)24 B(x3)2(y1)24 C(x1)2(y1)24 D(x1)2(y1)24解析：設(shè)圓心C(a,2a)，則|AC|BC|.(a1)2(3a)2(a1)2(1a)2，a1，r2，C(1,1)圓的方程為(x1)2(y1)24.答案：C6(2009廣東高考)已知橢圓G的中心在坐標原點，長軸在x 軸上，離心率為 ，且G上一點到G的兩個焦點的距離 之和為12，則橢圓G的方程為_解析：由題意得2a12， 所以a6，c3 ，b3，故橢圓G的方程為 =1.答案：7(2010珠海模擬)已知雙曲線

10、 =1的離心率 為 則n_.解析：若焦點在x軸上：a2n，b212n，c2a2b212，e n4.若焦點在y軸上，a2n12，b2n，c2a2b212不合題意故n4.答案：48(2009安徽高考)已知橢圓 =1 (ab0)的離心 率為 ，以原點為圓心、橢圓短半軸長為半徑的圓與直線 yx2相切 (1)求a與b； (2)設(shè)該橢圓的左、右焦點分別為F1和F2，直線l1過F2且 與x軸垂直，動直線l2與y軸垂直，l2交l1于點P.求線段PF1 的垂直平分線與l2的交點M的軌跡方程，并指明曲線 類型解：(1)由得又由原點到直線yx2的距離等于圓的半徑，得(2)法一：由c 得F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)

11、設(shè)M(x，y)，則P(1，y)由|MF1|MP|，得(x1)2y2(x1)2，y24x.此軌跡是拋物線法二：因為點M在線段PF1的垂直平分線上，所以|MF1|MP|，即M到F1的距離等于M到l1的距離此軌跡是以F1(1,0)為焦點，l1：x1為準線的拋物線，軌跡方程為y24x.9(2008北京高考)已知ABC的頂點A，B在橢圓x23y2 4上，C在直線l：yx2上，且ABl. (1)當AB邊通過坐標原點O時，求AB的長及ABC的面積； (2)當ABC90，且斜邊AC的長最大時，求AB所在直 線的方程解：(1)因為ABl，且AB邊通過點(0,0)，所以AB所在直線的方程為yx.設(shè)A，B兩點坐標分

12、別為(x1，y1)，(x2，y2)由 得x1，所以|AB|又因為AB邊上的高h等于原點到直線l的距離，所以(2)設(shè)AB所在直線的方程為yxm.由 得4x26mx3m240.因為A，B在橢圓上，所以12m2640.設(shè)A，B兩點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)則x1x2所以|AB| |x1x2|又因為BC的長等于點(0，m)到直線l的距離，即|BC|所以|AC|2|AB|2|BC|2m22m10(m1)211.所以當m1時，AC邊最長(這時12640)，此時AB所在直線的方程為yx1.10(2010南通模擬)已知橢圓x2 1(0b1)的左焦 點為F，左、右頂點分別為A、C，上頂點為B，過B、F、 C作圓P，其中圓心P的坐標為(m，n) (1)當mn0時，求橢圓離心率的取值