初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題復(fù)習(xí) 第二篇 平面幾何 第8章 線段與角試題 新人教版

1、中小學(xué)最新教育資料第二篇平面幾何第8章線段與角81線段與角度811在線段AB上有P、Q兩點(diǎn)，AB26，AP14，PQ11，求BQ的長(zhǎng)解析有兩種情況：點(diǎn)P相鄰于點(diǎn)A，或點(diǎn)P相鄰于點(diǎn)B(1)當(dāng)點(diǎn)P相鄰于點(diǎn)A時(shí)，如圖(a)所示，此時(shí)BQABAPPQ2614111APQ圖(a)BAQP圖(b)B812如圖，已知ACCB，ADCB，AB的長(zhǎng)是66厘米，求CD之長(zhǎng)ABCBCBCB（厘米），ADCB（厘米），因此(2)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B相鄰時(shí)，如圖(b)所示，此時(shí)BQABAPPQ2614112355711解析由于CDACAD，AC、AD又與BC有關(guān)，所以，只要求出BC的長(zhǎng)即可ADCB因?yàn)锳BACCB，所以5127

2、7因?yàn)锳B66（厘米），所以，CB77（厘米），2555535ACCB7211210（厘米）CDACAD553522813如圖，B、C、D依次是線段AE上的三點(diǎn)，已知AE8.9厘米，BD3厘米，則圖中以A、B、C、D、E這5個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的所有線段長(zhǎng)度之和等于多少厘米？ABCDE解析以A、B、C、D、E為端點(diǎn)的線段共十條，所以所有線段長(zhǎng)度之和為ABACADAEBCBDBECDCEDE4AB6BC6CD4DE4ABDE6BCCD4(AEBD)6BD4AE2BD48.92341.6（厘米）814將長(zhǎng)為10厘米的一條線段用任意方式分成5小段，以這5小段為邊可以圍成一個(gè)五邊形問(wèn)其中最長(zhǎng)的一段的取值范圍解析

3、設(shè)AB是所圍成的五邊形ABCDE的某一邊（如圖），而線段BC、CD、DE、EA則可看成是點(diǎn)A、B之間的一條折線，因此，中小學(xué)最新教育資料中小學(xué)最新教育資料DCEBAABBCCDDEEA設(shè)最長(zhǎng)的一段AB的長(zhǎng)度為x厘米，則其余4段的和為10 x厘米由線段基本性質(zhì)知x10 x，所以x5，又10ABBCCDDEEA5x，所以x2即最長(zhǎng)的一段AB的長(zhǎng)度必須小于5厘米且不小于2厘米815若一個(gè)角的余角與這個(gè)角的補(bǔ)角之比是27，求這個(gè)角的鄰補(bǔ)角解析設(shè)這個(gè)角為，則這個(gè)角的余角為90，這個(gè)角的補(bǔ)角為180依照題意，這兩個(gè)角的比為9018027所以36026307，5270，所以54從而，這個(gè)角的鄰補(bǔ)角為1805

4、4126816如圖，AOB是鈍角，OC、OD、OE是三條射線，若OCOA，OD平分AOB，OE平分BOC求DOE的度數(shù)ADOCEB解析設(shè)AOB，則2，DOC902AOD因?yàn)镃OB90，所以COE245因此，DOEDOCCOE90224545817ABC中，A是最小角，B是最大角，且2B5A，若B的最大值是m，最小值是n，求mn的值解析根據(jù)題意，得ACB因?yàn)锳BC180，2B5A，所以25BBC180，即BC18075中小學(xué)最新教育資料C180BB，又因?yàn)锳BC，所以BBCB180，即B180，所以B100中小學(xué)最新教育資料75由此得12B180，B7552527755595所以75B100，故

5、mn10075175818在平面上，一個(gè)凸n邊形的內(nèi)角和小于1999，求n的最大值，解析因?yàn)橥筺邊形的內(nèi)角和為n2180，所以n21801999，n212，所以，n14又凸13邊形的內(nèi)角和為13218019801999，故n的最大值是13819如圖所示，求ABCDEFGAGBFCMNED解析如圖所示，可得BBMNEG360，F(xiàn)NMFAC360，而RMNFNMD180，所以ABCDEFG5408110如圖所示，ABCDEFGn90，則n_ABCyxQGDRFE解析設(shè)AF與DG相交于點(diǎn)Q，CE與DG相交于點(diǎn)R，記AQRx，CRGy，則ADx180，BCGy360，EFxy中小學(xué)最新教育資料中小學(xué)最

6、新教育資料把此三式相加得ABCDEFG540，所以n68111如圖所示平面上六個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、E、F構(gòu)成一個(gè)封閉折線圖形求ABCDEF的度數(shù)ABPFERQCD解析所求的六個(gè)角中任意三個(gè)都不在同一個(gè)三角形中；兩個(gè)在同一個(gè)三角形中，而該三角形的第三個(gè)角的對(duì)頂角（共三個(gè)）在一個(gè)三角形中，于是，我們反復(fù)利用內(nèi)角和定理可得ABAPB180，EFFRE180，CDDQC180，而PRQPQRQPR180，所以APBFREDQC180，故ABCDEF3608112如圖，在ABC中，M為AB的中點(diǎn)，D為AB上任一點(diǎn)N、P分別為CD、BC的中點(diǎn)，Q為MN的中點(diǎn)，直線PQ與AB相交于E，則AEEDAEMDQN

7、BPC解析連結(jié)PN，則BD2PN2ME于是ABBDAEAMEM111AD，222所以AEED，8.1.13如圖，求圖中ABCDE的大小解析1如圖(a)，連結(jié)BE在DOC中，DCDOC180，在eqoac(,O)BE中，OBEOEBBOE180，又DOCBOE，所以DCOBEOFB因此ABCDEABEDCAABOAEOOBEOEBAABEAEB180中小學(xué)最新教育資料中小學(xué)最新教育資料DAOCDP21AOCEEBB圖(a)圖(b)解析2如圖(b)，在DOC中，由三角形外角的性質(zhì)，得1DC，2AE所以ABCDEBDCAEB12180評(píng)注由解析2可以看出，三角形外角的性質(zhì)雖很簡(jiǎn)單，卻很有用，它能把許

8、多分散的角集中到一個(gè)三角形（或多邊形）中來(lái)8114如圖，BE平分ABD，CF平分ACD，BE與CF相交于G，若BDC140，BGC100，求A的度數(shù)AFGE1D53642BC解析連結(jié)BC在BDC中D12180，所以12180D18014040在BGC中，1324BGC180，所以3418012BGC1804010040又因?yàn)锽E、CF分別為ABD、ACD的平分線，所以563440在ABC中A135246180，即A(404040)180所以A608115在ABC中，ABAC，D、E、F分別在AB、BC、CA上，且DEEFFD求證：中小學(xué)最新教育資料中小學(xué)最新教育資料AFDBECDEB1ADFC

9、FE2此即DEB(CFE+ADF)解析如圖，易知BC因?yàn)镈EBCFEFEBCFE60C60，又ADFDEBADEDEB60B60，于是DEBCFEADFDEB128116如圖，DC平分ADB，CE平分AEB，若DAE，DBE，求DCE的度數(shù)（用、表示）ACDBEADBAEB360DCE360，1解析如圖，由ACD與ACE的內(nèi)角和是360可得1122由ABD與ABE的內(nèi)角和是360可得ADBAEB360360，所以DCE1ADBAEB21228.1.17如圖，求ACDFGIJLBEHK的大小，此處B即ABC，余類推，中小學(xué)最新教育資料中小學(xué)最新教育資料LJABKHCEDFIG解析連結(jié)BK、BE、

10、EH、KH由四邊形內(nèi)角和是360可知，ALLKBABK360CDCBEDEB360，F(xiàn)GGHEHEF360，JIIHKJKH360，HKBKBEBEHEHK360，因此ACDFGIJL3604(LKBABKCBEDEBGHEHEFIHKJKH)而LKBABKCBEDEBGHEHEFIHKJKH(HKBKBEBEHEHK)(BEHK)3604，所以LKB3A6B0K，從而ACDFGIJL36043604BEHK360360(BEHK)，所以ACDFGIJL(BEHK)3608118若時(shí)鐘由2點(diǎn)30分走到2點(diǎn)50分，問(wèn)：時(shí)針和分針各轉(zhuǎn)過(guò)多大的角度？解析在2點(diǎn)30分，分針指向教字6，在2點(diǎn)50分，分

11、針指向數(shù)字10，因此，分針轉(zhuǎn)過(guò)了4“格”，而每1“格”為30，所以，分針共轉(zhuǎn)過(guò)了430120，所以，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)了12010由于時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是分針轉(zhuǎn)動(dòng)速度的111212評(píng)注在鐘表問(wèn)題中，有許多有關(guān)時(shí)針、分針的轉(zhuǎn)角問(wèn)題，解這類問(wèn)題的關(guān)鍵是：時(shí)針的轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是分針轉(zhuǎn)動(dòng)速度的112，鐘面上每1“格”是308.1.19時(shí)鐘里，時(shí)針從5點(diǎn)整的位置起，順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)多少度時(shí)，分針與時(shí)針第一次重合？解析在開(kāi)始時(shí)，分針“落后”于時(shí)針150設(shè)分針與時(shí)針第一次重合時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)了角，那么，分針轉(zhuǎn)動(dòng)了(150)因?yàn)榉轴樲D(zhuǎn)速是時(shí)針的12倍，所以中小學(xué)最新教育資料中小學(xué)最新教育資料10911121215038765413即時(shí)

12、針順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)13時(shí)，分針與時(shí)針重合15012注鐘表里的分針與時(shí)針的轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題本質(zhì)上與行程問(wèn)題中的兩人追趕問(wèn)題非常相似行程問(wèn)題中的距離相當(dāng)于這里的角度；行程問(wèn)題中的速度相當(dāng)于這里時(shí)（分）針的轉(zhuǎn)動(dòng)速度8120在4點(diǎn)與5點(diǎn)之間，時(shí)針與分針在何時(shí)(1)成120；(2)成900解析(1)如圖(a)，在4點(diǎn)整時(shí)，時(shí)針與分針恰成120由于所問(wèn)的時(shí)間是介于4點(diǎn)到5點(diǎn)之間，因此，這個(gè)時(shí)間不能計(jì)入，從4點(diǎn)開(kāi)始，分針與時(shí)針之間的角度先逐步減少，直至兩針重合（夾角為）之后，分針“超過(guò)”時(shí)針，兩針之間的夾角又逐漸增大（此時(shí)，分針在時(shí)針的前面）直到兩針夾角又一次成為120，這個(gè)時(shí)間正是我們所要

13、求的111211091202384765圖(a)設(shè)時(shí)針順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)角后，時(shí)針與分針（分針在時(shí)針前）成120，則1212012021所以24091111相當(dāng)于經(jīng)過(guò)2分鐘，21相當(dāng)于經(jīng)過(guò)了21243（分鐘）由于時(shí)針每轉(zhuǎn)過(guò)30（如從指向數(shù)字4轉(zhuǎn)到指向數(shù)字5）相當(dāng)于1小時(shí)（60分鐘）所以時(shí)針每轉(zhuǎn)過(guò)1911971111因此，在4點(diǎn)43711分時(shí)，時(shí)針與分針成120角(2)如圖(b)、(c)所示，由于在整4點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與分針夾角為120，因此，在4點(diǎn)與5點(diǎn)之間，時(shí)針與分針成90有兩種情況：中小學(xué)最新教育資料中小學(xué)最新教育資料1211121101011122129393658765481247圖(b)圖(c)(

14、i)時(shí)針在分針之前(如圖(b)設(shè)時(shí)針轉(zhuǎn)了角，分針轉(zhuǎn)了12角，有1209012，所以1130，即301125（分鐘）用時(shí)3065111111(ii)時(shí)針在分針之后(如圖(c)，此時(shí)，有關(guān)系1212090，11210，所以21011238（分鐘）分與4點(diǎn)38分兩個(gè)時(shí)間時(shí)，時(shí)針與分針成90用時(shí)2104202111111綜上所述，在4點(diǎn)到5點(diǎn)之間，在4點(diǎn)5521111評(píng)注由于時(shí)針與分針?biāo)山且罆r(shí)針與分針的“前”后”次序有兩種情況，因此，按兩針夾角情況會(huì)出現(xiàn)一解或兩解8121如圖所示，在ABC中，ABAC，A45，點(diǎn)P、Q分別在邊AC、AB上，且APPQQBBCAQ，求A的大小AxP2xQ3x2xBRC

15、解析在線段PC上取點(diǎn)R，使得QRQP（事實(shí)上，只要以點(diǎn)Q為圓心，QP為半徑作圓，與CP交于點(diǎn)R即可）設(shè)Ax，則PQAx，QPR2x，QRP2x，于是BQRAQRA3x中小學(xué)最新教育資料中小學(xué)最新教育資料又QRQB，所以QBR1803x，于是2BRCABRAx1803x2180 x2，而B(niǎo)CR180 x2，所以BRBC故BQR為正三角形，所以3x60，x20，即A208122如圖(a)，在四邊形ABCD中，ABBCCD，ABC70，BCD170，求BAD的度數(shù)ADBC(a)解析作點(diǎn)M，如圖(b)其與點(diǎn)A在邊BC的同側(cè)，使得BMC是正三角形，則ABM與MCD是等腰三角形，其中ABM10，MCD11

16、0，AMDBC(b)因此AMB85，CMD35，故AMD360AMBBMCCMD360856035180，所以，點(diǎn)M在線段AD上，所以BADBAM858.2特殊角821以ABC的邊AB為直徑作圓，與邊AC交于M，與BC交于N(M、N不與A、B重合)，eqoac(,S)ABC4eqoac(,S)MNC，ABC中有一內(nèi)角是另一個(gè)的2倍，求ABC的3個(gè)內(nèi)角CMANB解析BM、AN為ABC的高，在ABC內(nèi)部，故ABC為銳角三角形如圖，由于CMBCNA，故cosCCNCMCMCNACBCACBCS1eqoac(,S)CMNABC2，故C60剩下的角中，不可能有30或120，故只可能是一個(gè)為40，另一個(gè)為

17、80中小學(xué)最新教育資料中小學(xué)最新教育資料822ABC中，B70，A80，點(diǎn)P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，CBPBCP10，求BAPAPBC解析如圖，BPC1602BAC，又BPCP，故P為ABC的外心，PAPB又ACB30，故APB60，ABP為正三角形，所以BAP60823將一個(gè)等腰三角形ABC劃分成兩個(gè)較小的等腰三角形，問(wèn)這樣的ABC有幾種形狀？并將所有形狀都列出來(lái)ABDC解析如圖，設(shè)等腰三角形ABC分成ABD與ACD不妨設(shè)ADB90，于是，等腰三角形ABD中，只能有ADBD這時(shí)RACB，而ACD有三種情況(1)ADCD，則RAC90，ABC為等腰直角三角形(2)CDAC設(shè)B，則ADB1802，BAC

18、3，C1804，由于ADB90，141445若BC，則80，得36；若BACC，則380得1807，、36,72,72180540540,777這兩種情況都是解(3)ADAC，C2，BAC1803，顯然BC由BACC得21803，故36綜上，總共有4組解，所求等腰三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為(45，45，90)、(36，36，108)、824設(shè)ABC內(nèi)有一點(diǎn)M，MBA30，MAB10，又ACB80，ACBC，求AMCCAMDB2sin40，解析如圖，作CDAB，則AB2AD2ACsin40又由正弦定理，ABsin40AMsin30中小學(xué)最新教育資料中小學(xué)最新教育資料于是ABABAMAC，ACAM而C

19、AM40，所以AMC70825已知ABC中，ABAC，A20，D在AB內(nèi)，且ADBC，求DCA的大小解析如圖，在ABC外作正三角形ADE，則EAC80ACB，AEADBC，ACAC，故DCAECABAC10DCFACBAC，ECABAC，又EDA，CDCD，有eqoac(,E)Deqoac(,)1122AEDDA，故BC826已知ABC中，B18，C36，求證：BCAC為ABC外接圓半徑解析如圖，延長(zhǎng)CA至E，使BEBC，則E36，ABE90取AE中點(diǎn)D，則DEDBAD，EDB108，又作ABC的外心O，則COBO為ABC外接圓半徑，COB2DAB108CAODBE故COBEDB，COBDAD

20、而CDBCBD72，故COCDACBCAC評(píng)注證明四邊形CDBO為等腰梯形也可，這樣就無(wú)須點(diǎn)E了827已知ABC中，A100，ABAC，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D，使ADBC，求BCD解析如圖，在AB上找一點(diǎn)E，使ACE30易知AEsin30ACsin50，AB40-E4030CD中小學(xué)最新教育資料2cos40，兩式相乘，得AEAD1，303020中小學(xué)最新教育資料ADBCACAC2sin30cos40AC2sin50于是AC2AEAD，故ACEADC，DACE30，所以BCD40D10828已知等腰ABC，底角ABCACB50，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，AD、BE交于點(diǎn)P，ABE30，BAD50，連結(jié)

21、ED，求BED解析如圖，在BP上找一點(diǎn)Q，使QDB10或PQD30，連結(jié)AQA50PEQ50BCD2sin202cos70由于DAC30，故QDA801070QDsin70BDsin30QAP為正三角形，QAPQBQ，Q為ABP外心，因此PBAPQA30又BDAD，故QD2ADcos70若設(shè)A在QD上的垂足為K，則QD2DK因此AQAD，AQD70，QAD40而A、Q、D、E共圓，故BEDQAD40829ABC中，A100，ABAC，點(diǎn)P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，PACACP20，求PBA解析如圖，在ABC內(nèi)作AQBAPC，則AQBQAP，于是QAP1004060，12AQPBC8210設(shè)點(diǎn)P為ABC內(nèi)

22、一點(diǎn)，PBA10，BAP20，PCB30，CBP40，求證：ABC是等腰三角形解析如圖，作AQBC，且AQAB，連結(jié)QP、QB、QCAPBCQ易知BAQ40，于是BAPQAPBAPQAP，BPQP又APB150APQ，所以BPQ60，BPQ為正三角形又BQPQ，PQB602PCB，所以Q為BPC之外心，于是BQCQAQ垂直平分BC，中小學(xué)最新教育資料中小學(xué)最新教育資料所以ABAC8211已知ABC中，ABAC，D在AC上，ADB60，E在BD上，ECB30，求AEC的大小AEDBCF解析如圖，作E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)F，連結(jié)EF、CF、BF、AF，則EFC為正三角形，EFCE2602，BECECA

23、BDC1802由于E和F關(guān)設(shè)BAC，則ECA9022的補(bǔ)角，故F在該圓上，于BC對(duì)稱，故BFCBEC180在以A為圓心、AB為半徑的圓中，BFC恰好是圓心角BAC的一半AFAC，又EFCE，故AEFAEC，AEC360FEC21508212ABC中AD是角平分線，CE為邊AB上的高，若CDA45，求BED解析BA2CDA45，故B，BAC90，E在AB上（而不是延長(zhǎng)線上）AEECB90B，ACB180BA，故ECBACB2702B180FBDCA2于是延長(zhǎng)AC后，D至AC、CE距離相等，又AD為角平分線，故D至AB、AC距離相等，因此D至EB、EC等距，ED平分BEC，BED45（本題幾條輔助

24、線用語(yǔ)言即可說(shuō)明，不添亦可）8213ABC中，A100，ABAC，點(diǎn)P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，ACP10，PAC20，求PBAAPBCQ解析如圖，與ABC在AB同側(cè)作正三角形ABQ，則QAPCAP20又AQABAC，故中小學(xué)最新教育資料中小學(xué)最新教育資料APQAPC，APQAPC150而ABQ60，ABBQ，故B為APQ外心，BPBA而B(niǎo)AP80，所以ABP208214如圖，凸四邊形ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)P，DBC60，ACB50，ABD20，ACD30，求ADBDAO20P603050BCABOCBO，則ABOABC40，OBD20ABD，解析作ADC的外心O，則AOD為正三角形，AOCO連結(jié)

25、BO，易知ABBC，故12于是sinBADBDBDsinBODsin20ADODsin20而B(niǎo)ADBOD3604060260180，故BADBOD，于是ABDBOD，所以ADBADO30128215設(shè)ABC中，ABAC，A80，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，PAB10，PBA20，求ACPAQBPC解析如圖，作CQAP，則AQACcos70又APEsin20ABsin150AD，F(xiàn)GBC故AP2ABsin202ACcos70，于是AP2AQ，CQ垂直平分AP，ACCP，APCPAC70故ACP408216ACB中，BAC40，ABC60，點(diǎn)D、E分別是邊AC、AB上的點(diǎn)，CBD40，BCE70，點(diǎn)F是直線

26、BD和CE的交點(diǎn)，證明：直線AF和BC垂直解析如圖，在BCF外作正三角形FCG，連結(jié)DGBG，則BDCABDBAC60FGC，故D、F、C、G共圓，BDG120ADB又易知BFC70BCF，于是BFBC，而中小學(xué)最新教育資料中小學(xué)最新教育資料FGGC，所以BFGBCG，于是DBG20DBA，從而GBDABD，故BGAB于是易見(jiàn)ABFGBF，AFGFCF由于ACB80，故FCA10，這樣便有CAF10，與ACB互余，因此AFBC8217已知ABC中，A108，ABAC，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)J是BD的中點(diǎn)，求證：當(dāng)ADBC時(shí)有AJJC解析如圖，取BC中點(diǎn)K，AC中點(diǎn)M，連結(jié)AK、MK、MJ、KJ在BC上取一點(diǎn)E，使CECD，則由ADBC得BEACAB(設(shè)為1)，于是AEB72，EAC36ACE，AMBKECJDKNcos72KJ，于是N為KJ中點(diǎn)，MN垂直平分KJ，MJKMAMMC，因此AJJC2KJCDAE2cos72易見(jiàn)AKBC，MK1，MK