初識極值點偏移

1、素材來源于網(wǎng)絡(luò)，林老師編輯整理專題04和識極值點偏移一、極值點偏移的含義眾所周知，函數(shù)f(x)滿足定義域內(nèi)任意自變量X都有f(x)=f(2m-x)，則函數(shù)f(x)關(guān)于直線x二m對稱；可以理解為函數(shù)f(x)在對稱軸兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，且若f(x)為單峰函數(shù)，則x=m必為f(x)的極值點.如二次函數(shù)f(x)的頂點就是極值點xo，x+xx+x若f(x)=c的兩根的中點為12，則剛好有12二x，即極值點在兩根的正中間，220也就是極值點沒有偏移.若相等變?yōu)椴坏?，則為極值點偏移：若單峰函數(shù)f(x)的極值點為m，且函數(shù)f(x)滿足定義域內(nèi)x二m左側(cè)的任意自變量x都有f(x)f(2m-x)或f(x)f

2、(2m-x)，則函數(shù)f(x)極值點m左右側(cè)變化快慢不同.故單峰函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意不同的實數(shù)x,x12x+x滿足f(x)二f(x)，則12與極值點m必有確定的大小關(guān)系：122TOC o 1-5 h zx+xx+x若m飛2,貝y稱為極值點右偏.xx+x如函數(shù)g(x)=的極值點x=1剛好在方程g(x)=c的兩根中點1c2的左邊，我們稱ex02之為極值點左偏.二、極值點偏移問題的一般題設(shè)形式:若函數(shù)f(x)存在兩個零點x,x且x豐x，求證：x+x2x(x為函數(shù)f(x)的12121200極值點)；若函數(shù)f(x)中存在x,x且x豐x滿足f(x)=f(x)，求證：x+x2x(x為1212121200函

3、數(shù)f(x)的極值點)；x+x若函數(shù)f(x)存在兩個零點x,x且x豐x，令x=T2，求證：f(x)0；1212020 x+x若函數(shù)f(x)中存在x,x且x豐x滿足f(x)二f(x)，令x=T2，求證：12121202f(x)0.0三、問題初現(xiàn)，形神合聚函數(shù)f(x)二x2-2x+1+aex有兩極值點x,x，且x4.12【解析】令=/(x)=2x-2+iMIJ則碼.眄是函數(shù)gO)的兩個霧點-令的)二0,得應(yīng)二令內(nèi)(x)=空，則風(fēng)砧=畑,ehx)=2x-4,可得楓x)在區(qū)間(一辺里調(diào)遞減，在區(qū)間口出巧單調(diào)遞増,今J7O)=2+x)-h(2-x),貝ijIT(x)=h(2+x)-用(2-x)=32+r當(dāng)

4、Q2HLHx)Q?H(力單調(diào)遞減有所以h(2+x)h(2-x)所以h(x)=h(x)=h2+(x一2)h2一(x一2)=h(4一x)12222因為x2,4x4一x，即x+x4.1212已知函數(shù)f(x)=Inx的圖象C與函數(shù)g(x)=ax2+bx(a豐0)的圖象C交于P,Q，122過PQ的中點R作x軸的垂線分別交C，C于點M,N，問是否存在點R，使C在M處121的切線與C在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.2【分析】15此卷j,沁（xi豐，則衛(wèi)（西;可“;，點MN的橫坐標(biāo)兀=抵-jq4-JC,珂,在是函數(shù)FG）二蝕一如）的兩個零點原問題即探究_r（玉存）,m（丑導(dǎo)）的

5、大小關(guān)系JL-JL-即叭葦遹=f（葦?shù)?貞音玉）的符昱JL-JL-實岳也是探究F（功的按值點是否偏稼中點一四、招式演練過點!：I、）作曲線二=的切線.（1）求切線的方程；（2）若直線與曲線匚交于不同的兩點y,，求證：.fz【答案】（1）廠：+】見解析【解析】試題分析：（1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線斜率1，再根據(jù)點斜式求切線方程-X卜1.（2）本題是極值平移問題，先根揚極值點-2構(gòu)造囲數(shù)；=利用導(dǎo)數(shù)研究雷數(shù)曹阿單調(diào)性;在單調(diào)遞増，及最小值丈于霧，即得不等式嘰）-乩再根拐等量轉(zhuǎn)換及單調(diào)性可得不等式:f（珂）珂4宀Xj+1依題竜有經(jīng),所以阿+1）曲=恢+腫1=叫十1ix）=（x+i）e則H呻旳）f（x）=lx+2eS當(dāng)寓*2時我“當(dāng)2時訕g所臥f在卜吧-即單調(diào)邊涮ffl-Z+吋里調(diào)邊增-因為:-,不妨設(shè)設(shè)?。?則口二；、.、.心:I當(dāng):時，在:二十：-單調(diào)遞增，所以-:1:-1，所以當(dāng)-時!因為所以-.1一從而i-；：r-!-、，因為-4-_-，1在單調(diào)遞減，所以、11,即艾1H叫一斗.極值點偏移問題在近幾年高考及各種?？?，作為熱點以壓軸題的形式給出，