高中數(shù)學(xué)選擇性必修一 2.4.2圓一般方程

1、2.4.2 圓的一般方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程: (x-a)2+(y-b)2=r2指出下面圓的圓心和半徑： (x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5 (x+a)2+(y-2)2=a2 (a0) 特征：直接看出圓心與半徑 復(fù)習(xí)圓心半徑(1,-2)(-2,2)(-a,2) x2 y 2DxEyF0把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-a)2+(y-b)2=r2展開，得-22222202=-+-+rbabyaxyx由于a, b, r均為常數(shù)結(jié)論：任何一個(gè)圓方程可以寫成下面形式 動(dòng)動(dòng)手1.是不是任何一個(gè)形如 x2 y 2DxEyF0方程表示的曲線都是圓呢？ 思考2.下列方程表示什么圖形？（1）x2+y2-2

2、x+4y+1=0； （2）x2+y2-2x+4y+5 =0；（3）x2+y2-2x+4y+6=0.答案：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定是圓的方程.配方可得：把方程：x2 y 2DxEyF0 (1) 當(dāng)D2+E2-4F0時(shí),表示以（ ）為圓心，以 （ ）為半徑的圓. 動(dòng)動(dòng)腦(3) 當(dāng)D2+E2-4F0時(shí),方程無實(shí)數(shù)解,所以不表示任何圖形.x2 y 2DxEyF0（D2+E2-4F0）沒有xy這樣的二次項(xiàng)； x2與y2系數(shù)相同并且不等于0； 圓的一般方程:探究新知說明：思考：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程各有什么特點(diǎn)？標(biāo)準(zhǔn)方程易于看出圓心與半徑.一般方程突出形式上的特點(diǎn).(x-a)2+(y

3、-b)2=r2 1.判斷下列方程能否表示圓的方程,若能寫出圓心與半徑(1) x2+y2-2x+4y-4=0(2) 2x2+2y2-12x+4y=0(3) x2+2y2-6x+4y-1=0(4) x2+y2-12x+6y+50=0(5) x2+y2-3xy+5x+2y=0是圓心（1，-2）半徑3是圓心（3，-1）半徑不是不是不是 小試牛刀2.已知圓 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圓心坐標(biāo)為(-2,3),半徑為4,則D,E,F分別等于（ ）3. 若 x2+y2-2ax-y+a=0 表示圓，則a的取值范圍是（ ） 小試牛刀DD例1判斷方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圓.若能

4、表示圓,求出圓心和半徑.思路分析:可直接利用D2+E2-4F0是否成立來判斷,也可把左端配方,看右端是否為大于零的常數(shù).典型例題解:(方法1)由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0可知D=-4m,E=2m,F=20m-20,D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2.因此,當(dāng)m=2時(shí),它表示一個(gè)點(diǎn);當(dāng)m2時(shí),原方程表示圓,此時(shí),圓的圓心為(2m,-m),例1判斷方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圓.若能表示圓,求出圓心和半徑.思路分析:可直接利用D2+E2-4F0是否成立來判斷,也可把左端配方,看右端是否為大于零的常數(shù).典型例題解:(方

5、法2)原方程可化為(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,因此,當(dāng)m=2時(shí),它表示一個(gè)點(diǎn);當(dāng)m2時(shí),原方程表示圓,此時(shí),圓的圓心為(2m,-m),小結(jié)1：二元二次方程表示圓的判斷方法任何一個(gè)圓的方程都可化為x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定表示圓.判斷它是否表示圓可以有以下兩種方法:(1)計(jì)算D2+E2-4F的值, 若其值為正,則表示圓; 若其值為0,則表示一個(gè)點(diǎn); 若其值為負(fù),則不表示任何圖形.方法：待定系數(shù)法解：設(shè)所求圓的方程為：因?yàn)锳(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圓上所求圓的方程為例2：求過三點(diǎn)A(5,1),B (

6、7,-3),C(2,-8)的圓的方程待定系數(shù)法典型例題(1)依題意設(shè)出待定系數(shù)方程;(2)列出關(guān)于待定系數(shù)的方程（組）;(3)解方程（組）得出系數(shù)，寫出所求方程.小結(jié)2:待定系數(shù)法步驟：注意:求圓的方程時(shí),要學(xué)會(huì)根據(jù)題目條件,恰當(dāng)選擇圓的方程形式:若知道或涉及圓心和半徑,我們一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程較簡(jiǎn)單.若已知三點(diǎn)求圓的方程,我們常常采用圓的一般方程用待定系數(shù)法求解. (特殊情況時(shí),可借助圖象求解更簡(jiǎn)單)例3.已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3)，端點(diǎn)A在圓(x+1)2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.相關(guān)點(diǎn)法.Oxy.B(4,3).A(x0,y0).M(x,y)分析：點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)引起點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)A在已知圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足圓的方程.建立點(diǎn)M與點(diǎn)A坐標(biāo)之間的關(guān)系,就可以建立點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足的條件,從而求出點(diǎn)M的軌跡方程.典型例題小結(jié)3：相關(guān)點(diǎn)法步驟：變式：已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3)，端點(diǎn)A在圓(x+1)2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)M的 .Oxy.B(4,3).A(x0,y0).M(x,y)注意：“軌跡”與“軌跡方程”的區(qū)別.所以點(diǎn)M的軌跡是以 為圓心,半徑長(zhǎng)是1的圓.課堂小結(jié)1.任何一個(gè)圓的方程可以寫成x2 +y2+Dx+Ey+F=0（1）的形式，但方程（1）表示的不一定是圓，只有D2+