2021-2022學年高二物理競賽課件：金 屬 電 子 論

1、金 屬 電 子 論Electron theory of Metals前面幾章中, 我們介紹了晶體的結(jié)構(gòu)、晶體的結(jié)合、晶格振動及熱學性質(zhì), 其內(nèi)容涉及固體中原子（或離子）的狀態(tài)及運動規(guī)律, 屬于固體的原子理論. 但要全面深入地認識固體, 還必須研究固體中電子的狀態(tài)及運動規(guī)律, 建立與發(fā)展固體的電子理論. 在本章中, 我們將集中討論金屬, 金屬在固體性質(zhì)的研究和應用中占據(jù)著重要位置: 100余個化學元素中, 在正常情況下, 約有75種元素晶體處于金屬態(tài), 人們經(jīng)常使用的合金更是不計其數(shù)；金屬因具有良好的電導率、熱導率和延展性等特異性質(zhì), 最早獲得了廣泛應用和理論上的關注. 引言1900年左右, 特

2、魯?shù)率紫忍岢? 金屬中的價電子可以在金屬體內(nèi)自由運動, 如同理想氣體中的粒子, 電子與電子、電子與離子之間的相互作用都可以忽略不計. 平衡時電子的速度服從麥克斯韋玻耳曼茲分布律. 經(jīng)典的自由電子氣模型經(jīng)典的自由電子氣模型成功之處解釋電導的微觀機理不足之處理論計算的電子比熱與實驗不符自由電子的量子理論1925年, 費米和狄拉克提出量子系統(tǒng)新的統(tǒng)計方法. 費米-狄拉克統(tǒng)計引言1928年, 索末菲提出: 電子不服從經(jīng)典統(tǒng)計分布而遵守費米狄拉克統(tǒng)計分布自由電子的量子理論 成功之處解釋了電子對晶體熱容的貢獻是很小的事實 不足之處不能解釋固體有絕緣體, 半導體和導體之分引言一. 特魯?shù)履Ｐ?Drude m

3、odel)1. 特魯?shù)聦饘俚慕Y(jié)構(gòu)的描述: 原子核+內(nèi)層電子 = 原子實外層電子 = 價電子價電子可以脫離原子實在金屬中自由移動第一節(jié) 費米統(tǒng)計和電子熱容量P. Drude (1867-1906) 第一節(jié) 費米統(tǒng)計和電子熱容量2. 特魯?shù)履Ｐ偷幕炯僭O: 1. 獨立電子假設 忽略電子-電子之間的相互作用(庫侖斥力).2. 自由電子假設除了在碰撞瞬間, 忽略電子-原子實之間的相互作用. 3. 碰撞假設傳導電子在金屬內(nèi)運動時, 忽略了電子之間的碰撞, 只與原子實碰撞. 且碰撞前后速度毫無關聯(lián), 僅與碰撞處溫度相適應. 4. 弛豫時間近似單位時間內(nèi)電子發(fā)生碰撞的幾率為1/, 弛豫時間與電子的位置及溫

4、度無關. 5. 電子如同理想氣體分子，服從玻爾茲曼統(tǒng)計規(guī)律.3. 特魯?shù)履Ｐ偷某删团c困難: 1) 成就 能解釋電導的微觀機理2) 困難 理論計算的電子比熱與實驗不符 但實驗表明: 金屬中自由電子對熱容的貢獻很小, 只是有理論值的百分之一. 顯然, 特魯?shù)码娮幽Ｐ偷挠嬎憬Y(jié)果與實驗不相符合.第一節(jié) 費米統(tǒng)計和電子熱容量二. 索末菲自由電子氣模型(Sommerfeld model)1925年, 泡利提出不相容原理, 1926年出現(xiàn)了費米-狄拉克量子統(tǒng)計, 1927年9月索末菲拋棄了特魯?shù)履Ｐ椭械牟柶澛y(tǒng)計, 提出了金屬的半經(jīng)典電子論, 認為金屬中的電子是服從費米-狄拉克量子統(tǒng)計的電子氣, 由此得出

5、了費米能級, 費米面等一系列重要概念并成功地解決了電子比熱比經(jīng)典值小等經(jīng)典模型所無法解釋的問題. A. Sommerfeld (1868-1951 ) 1. 索末菲模型的基本假設: 1) 獨立電子假設2) 自由電子假設3) 碰撞假設4) 弛豫時間近似5) 量子統(tǒng)計: 使用費米-狄拉克統(tǒng)計第一節(jié) 費米統(tǒng)計和電子熱容量2. 單電子本征態(tài)和本征能量由于電子之間無相互作用, 各自獨立, 所有電子感受到的勢場是相同的, 運動規(guī)律也是一樣的, 在沒有外場的作用下, 電子的能量和動量不隨時間或位置改變. 我們可不必計算整個電子氣的總波函數(shù)（一般解不出）, 而僅計算一個電子的波函數(shù). 把多電子問題轉(zhuǎn)化為單電子

6、問題. EnergySurfaceWork Function第一節(jié) 費米統(tǒng)計和電子熱容量yzx勢能:令: 考慮溫度T=0K, 在體積為V=L3 (立方體)的金屬中, 設含有N個彼此無相互作用的電子, 其位矢為(x, y, z). 每一個電子波動方程滿足定態(tài)薛定諤方程: 第一節(jié) 費米統(tǒng)計和電子熱容量波矢k的取值要由邊界條件決定. 邊界條件的選取, 一方面要反映電子被局限在一個有限大小的體積中；另一方面, 由此可合理地得到金屬的性質(zhì): 固定邊界和周期性邊界(足夠大的材料). 1. 固定邊界條件: (0, 0, 0)=0, (L, L, L)=0 相應的波函數(shù)為: 把固定邊界條件公代入上式可得: 電

7、子能量E為: 第一節(jié) 費米統(tǒng)計和電子熱容量 2. 周期性邊界條件: 此時的電子能量E為: 相應的波函數(shù)為: 把邊界條件公代入上式可得: 第一節(jié) 費米統(tǒng)計和電子熱容量三. 費米-狄拉克分布(Sommerfeld model)經(jīng)典的Boltzmann統(tǒng)計: 量子統(tǒng)計: FermiDirac統(tǒng)計和BoseEinstein統(tǒng)計費米子: 自旋為半整數(shù)(n1/2) 的粒子(如: 電子、質(zhì)子、中子), 費米子遵從FermiDirac統(tǒng)計規(guī)律；玻色子: 自旋為整數(shù)n的粒子(如: 光子、聲子等), 玻色子遵從BoseEinstein統(tǒng)計規(guī)律.T 0時, N個電子在本征態(tài)上的分布由費米狄拉克統(tǒng)計分布函數(shù), 簡稱費

8、米分布函數(shù)決定: f(E): 電子占據(jù)能量是E的本征態(tài)的幾率EF: 自由電子氣系統(tǒng)的化學勢第一節(jié) 費米統(tǒng)計和電子熱容量1. 當T=0時, 費米分布函數(shù)為: 絕對零度時, 能量在EF以下的 狀態(tài)全部被電子占滿, EF以的 狀態(tài)是空的. 2. 當T0時, 電子熱運動的能量 kBT, 在常溫下kBT EF , 因此, 只有費米面附近的電子才能被激發(fā)到高能態(tài), 即只有E EF kBT的電子才能被熱激發(fā), 而能量比EF低幾個kBT的電子則仍被Pauli原理所束縛, 其分布與T0時相同. 溫度上升, 發(fā)生能量變化的范圍越寬. 第一節(jié) 費米統(tǒng)計和電子熱容量四. 自由電子模型的費米能級EF的確定N個自由電子的基態(tài)N個自由電子的基態(tài), 可從能量最低的k=0態(tài)開始, 按能量從低到高, 每個態(tài)容納兩個電子, 依次填充得到. 也就是說, N個電子, 它的最低能量狀態(tài)對應與k空間具有最低能量的N/2個點. 1. T=0K時電子的填充在k空間, 這些點充滿了以