淺談數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)

1、淺談數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)淺談數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)PAGEPAGE7淺談數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)PAGE淺談數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)內(nèi)容綱領(lǐng):數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界空間模式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。本文闡述數(shù)學(xué)中的很多概念都有必然的幾何意義,要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想,就要善于挖掘數(shù)學(xué)見解的幾何意義;函數(shù)圖像則是數(shù)的直觀形象的反響,在數(shù)學(xué)教育中要留神培養(yǎng)學(xué)生看見函數(shù)式馬上想到它的圖象，結(jié)合本色圖像記性質(zhì)、用性質(zhì)的好習(xí)慣;數(shù)形要結(jié)合，重點在于能依據(jù)函數(shù)式(或方程)畫出圖形和依據(jù)代數(shù)式分析其表示的幾何意義。借助數(shù)形結(jié)合的“慧眼”，研究分析問題息爭決問題的方式，變學(xué)生學(xué)會為會學(xué)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)涵養(yǎng)。在數(shù)學(xué)教育中真切達(dá)成素質(zhì)教育。重

2、點詞:幾何意義數(shù)形結(jié)合見解基本圖像運用代數(shù)三角數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界空間模式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。數(shù)和形是數(shù)學(xué)中最基本的兩大體念，是所有數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)度中的兩大支撐。數(shù)和形在客觀世界中又是不可以分開地聯(lián)系在一起的。出名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說得好：“數(shù)形結(jié)合各式好，隔裂分家萬事休”，華老平易而風(fēng)趣地告誡我們不要“歡欣失態(tài)”。大腦的思想的邏輯性,本源于邏輯的客觀性。數(shù)形結(jié)合的思想方式是客觀現(xiàn)實和數(shù)學(xué)本身所選擇的,大量的幾何問題的辦理,離不開代數(shù)方式,而代數(shù)、三角學(xué)科中的很多數(shù)量關(guān)系也是可以利用圖形去辦理的,數(shù)與形所包含內(nèi)容是格外豐富的。數(shù)學(xué)教育要提高學(xué)生分析分析問題息爭決問題的本領(lǐng)，就要看重數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)，要

3、有意識地對學(xué)生進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的訓(xùn)練。而我在多年的數(shù)學(xué)教育中對數(shù)形結(jié)合思想教育做了一些試一試，將此領(lǐng)悟介紹以下。一.從低年級起就要看重數(shù)學(xué)見解的幾何意義的教育數(shù)學(xué)中的很多見解都有必然的幾何意義,要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想,就要善于挖掘數(shù)學(xué)見解的幾何意義。剛進(jìn)入初中的學(xué)生在學(xué)習(xí)絕對值的見解時,教材對絕對值的幾何意義作了以下描繪:“一個數(shù)的絕對值是指在數(shù)軸上表示這個數(shù)的點到原點的間隔”。若是教師此時能有意識地看重講清:“x在數(shù)軸上表示數(shù)x所對應(yīng)的點到原點的間隔,而xa表示數(shù)x與a對應(yīng)的兩點間間隔”。那么關(guān)于絕對值不等式：13x46，便可以用圖解以下：Q不等式13x4142為同解不等式，6與不等式x33x

4、4142中的x在數(shù)軸上對應(yīng)的點到點43的幾何意義便知式子x的333間隔應(yīng)大于1而不大于2。(如圖中畫有陰影線的部分)3x10-3-25402133-133圖經(jīng)過認(rèn)真表達(dá)數(shù)學(xué)見解的幾何意義,溝通數(shù)與形的本色聯(lián)系,不單可以深刻對數(shù)學(xué)見解的理解,而且還為提高學(xué)生辦理問題的本領(lǐng)開辟了新路子。因此從低年級起就要看重數(shù)學(xué)見解的幾何意義的教育，知難而進(jìn)，培養(yǎng)興趣，不屈不撓，將會有極大的收益。.看重數(shù)學(xué)的的基本圖像在代數(shù)、三角上的運用若是說坐標(biāo)系是數(shù)與形結(jié)合的紐帶，那么我以為函數(shù)圖像則是數(shù)的直觀形象的反響。在數(shù)學(xué)教育中要留神培養(yǎng)學(xué)生看見函數(shù)式馬上想到它的圖像，結(jié)合本色圖像記性質(zhì)、用性質(zhì)的好習(xí)慣。初中小學(xué)三年級

5、的時候，學(xué)生學(xué)習(xí)了一元二次函數(shù)yax2bxca0的圖像和性質(zhì)，到了中專注年級上學(xué)期，在教育不等式ax2bxc0或0的解法時，便可以集“求根公式法”、“圖像法”之長而引出較為簡單直觀的“數(shù)形結(jié)合法”解一元二次不等式。下面舉例運用例1解不等式54xx2x分析：令y154xx2，y2xyy1y1,y2為兩個不同樣樣的函數(shù)-5C(-2,0)ox1畫出函數(shù)y1,y2的圖像y2圖y1的曲線是以(-2,0)為圓心,以3為半徑的上半圓,y2的曲線是,兩個象限角的均分線.當(dāng)y1y2時,有一個交點即54xx2x2142則由圖察看y1y2可知其解集為x5x1422例2.方程sinxlgx的實數(shù)根的個數(shù)是().A.1

6、B.2C.3D.大于3分析:如圖在同不斷角坐標(biāo)系內(nèi)辯白畫出函數(shù)y1sinx和y2lgx的圖像,由于y2lgxlg101,那么y2lgx中的x3.顯然知兩個y函數(shù)曲線訂交有三個交點.應(yīng)選(C)例3.在(0,2)內(nèi),使sinxcosx建立的x取值123xo圖限制是().A.,U,5B.4,424C.,5D.4,U5,34442分析:畫出單位圓,察看圖像知利用正弦函數(shù)線與余弦函4y數(shù)線比較大小找出正確的選項.ox即選C5圖4例4.圓x12y21的圓心到直線y3x3的間隔是()13C.1D.3yA.B.22分析:建立直角坐標(biāo)系,畫出圓和直線,y3x3利用圓的半徑和直線的斜率及利用平ox面幾何中的直角勾

7、股弦定理,C(1,0)使這個問題很簡單得出正確的選項即選擇(A)圖例5.設(shè)函數(shù)fx是,上的奇函數(shù),fx2fx,當(dāng)0 x1,fxx.則f7.5()時A.0.5B.-0.5C.1.5D.-1.5分析:Qfx2fxfx12fx1即fx1f1x故x1是曲線yfx的對稱軸方程y-2024678x圖又Qfx的圖像關(guān)于原點對稱，由此可知曲線yfx的圖像如上圖所示易知：取f7.50.5選(B)經(jīng)過上述五個例子,顯然領(lǐng)悟得出,解題的篇幅少,解題的效率極高。在數(shù)學(xué)中，據(jù)統(tǒng)計數(shù)學(xué)教育的習(xí)題教育約占總教育時數(shù)的70%，因此習(xí)題教育的成敗在很大程度上選擇了數(shù)學(xué)教育奏效的上下，教育怎樣表現(xiàn)出智能、情味是很重點。愛因斯坦說

8、“興趣是最好的老師”。為什么學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)沒興趣，這個問題受諸多因素的影響。我以為，由于數(shù)學(xué)知識越學(xué)越多，若沒優(yōu)秀的學(xué)習(xí)方式，學(xué)得時候是囫圇吞棗，前一個知識還沒弄懂、消化，后一個知識又開始學(xué)了,長此平時,周而復(fù)始，不知的知識越積越多,學(xué)生顯然感覺越學(xué)越差,越學(xué)越?jīng)]勁，就會缺失學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信仰，這樣興趣從何而來？更多的學(xué)生是不會總結(jié)積累數(shù)學(xué)的思想、方式，學(xué)了后邊忘了前面，學(xué)到最后，腦筋里是一盆漿糊，一團亂麻。因此看作老師就要教他們梳理所學(xué)數(shù)學(xué)的知識和數(shù)學(xué)的思想、方式。特別要將教材中隱蔽的思想方式挖掘出來，而且要把分析問題息爭決問題的模式、方式教給學(xué)生，同時要讓他們獲得必然的訓(xùn)練，抵達(dá)久久難以忘掉的程度

9、，進(jìn)而使學(xué)生感覺到其中的樂趣。那么我現(xiàn)在所商議的數(shù)形結(jié)合的思想方式就是教材中隱蔽的數(shù)學(xué)的思想方式之一，它的特質(zhì)：是直觀形象、簡捷明快、不簡單錯。它也是高考重點檢驗的思想方式之一。很多數(shù)學(xué)問題用此方式來解，可以抵達(dá)化難為易、轉(zhuǎn)敗為勝的目標(biāo)。同時，也是實實在在對學(xué)生進(jìn)行素質(zhì)教育的一種模式。三要善于挖掘代數(shù)式的幾何意義數(shù)形要結(jié)合，重點在于能依據(jù)函數(shù)式(或方程)畫出圖形和依據(jù)代數(shù)式分析其表示的幾何意義。數(shù)學(xué)上的有很多公式、定理都擁有必然的幾何意義,教育中指點學(xué)生深刻分析這些公式、定理與幾何圖形的內(nèi)在的本色地聯(lián)系，進(jìn)而追求辦理問題的合用方式。比喻代數(shù)式y(tǒng)1，若是不指點學(xué)生去與直線的斜率公式ky2y1相聯(lián)

10、系進(jìn)行比較,x2x2x1那么就極稀有學(xué)生會將代數(shù)式y(tǒng)1看作是點x,y與點(-2,-1)連線的斜率,也就挖掘不出代x2數(shù)式y(tǒng)1的幾何意義。當(dāng)學(xué)生對代數(shù)式y(tǒng)1的幾何意義有了理解,那么下面的問題也就不x2x2難找到解的方式了。例6.已知x2y21,求代數(shù)式y(tǒng)1的最大值和最小值。4x2分析:由已知得x2y21的曲線是橢圓y1,將代數(shù)式變形為,4x2即可將其看作兩點(x,y)與(-2,-1)的連線斜率,y1不仿設(shè)斜率kx2過點(-2,-1)斜率為k的直線方程為yy1kx2.由右圖形看出:惟有直線y1kx2與oX橢圓x2y21相切時,4圖k值才會抵達(dá)最大或最小.要使直線與橢圓相切,只須方程組y1kx2x2

11、y21有唯一組解.4利用根的判斷式不難求解為k2133.即代數(shù)式y(tǒng)1的最大值為213,最小值為213.yx233例7.若是實數(shù)a,b,c,d知足a2b22a4b40pc2d24c4d4,g0q求.ac2d2oPxb的最大值或最小值.分析:本題用代數(shù)方程解將格外困難,聯(lián)系右圖來解,圖G則是峰回路轉(zhuǎn)又一村。Qa12b221由條件變?yōu)椋?，c22d224因此，(a,b)可視為圓x2y21上的動點;12(c,d)可視為圓224上動點.x2y2而a2b2是(a,b),(c,d)兩點間間隔的平方.cd如圖過兩圓的圓心g,G作直線交兩圓辯白為p,P,q,Q.maxgG122512264gG22(512)24m

12、in2例8.已知:ab1求證:a2b12912證明:由ab1挖掘出Ma,b是直線xy1上的任意點的幾何意義.因此,構(gòu)造出上圖,點p1,1到點yMM的間隔不小于它到l的間隔.1由兩點間的間隔公式及點到直的1x間隔公式得op1,1a1212111圖b2故a2b2911建立.2例9.已知:正數(shù)x,y,z知足x2y2xy1y2z2yz3z2x2zx4求:xyz的值分析:由已知條件,察看、發(fā)現(xiàn)a2b2abk的模式與余弦定理a2b22abcosCc2有近似的地方，因此構(gòu)造出下方程組x2y22xycos120o12LL122o2yz2yzcos120(3)LL2其方程組的幾何意義凸現(xiàn)出來，把代數(shù)問題改變?yōu)閹?/p>

13、何問題來求解。由此可作出以1，3，2為邊長的C直角三角形ABC，在RtABC31o內(nèi)取一點O。2設(shè).OAz,OCy,OBxABAOCAOBBOC120o圖由SAOBSBOCSCOASABC1yzzxsin120o113xy22xyyzzx2LL4將+得2x2y2z2xyyzzx8x2y2z23那么xyz2x2y2z22xzxyzy=3+2+2=7故xyz=7看來,挖掘代數(shù)式的幾何意義,數(shù)形結(jié)合起到了巧奪天工的妙用?？傊瑪?shù)學(xué)中的很多見解、規(guī)則、公式、定理都與必然的空間模式親密聯(lián)系，曲線與方程、地域與不等式、函數(shù)與圖像、三角函數(shù)與單位圓中的三角函數(shù)線，復(fù)數(shù)與向量都有內(nèi)在的聯(lián)系，而數(shù)形結(jié)合則是詳細(xì)與抽象、感知與思想的結(jié)合，是發(fā)展形象思想與抽象思想