2021年廣西桂林市、崇左市高考數(shù)學(xué)（二模）聯(lián)考試卷（理科）（2021.03） 【含答案】

1、2021年廣西桂林市、崇左市高考數(shù)學(xué)聯(lián)卷（理科）（3月份）（二模）一、選擇題（共12小題）.1若集合Ax|x1，Bx|x2+x0，則AB（）A（1，0）B1，0）C（1，0D1，02復(fù)數(shù)z的模為（）A1BCD23某醫(yī)院醫(yī)療攻關(guān)小組在一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)中獲得一組關(guān)于癥狀指數(shù)y與時(shí)間t之間的數(shù)據(jù)，將其整理得到如圖所示的散點(diǎn)圖，以下回歸模型最能擬合y與t之間關(guān)系的是（）Aykt2Bylog2tCyt3Dy（）t4元朝時(shí)，著名數(shù)學(xué)家朱世杰在四元玉鑒中有一首詩：“我有一壺酒，攜著游春走，與店添一倍，逢友飲一斗，店友經(jīng)三處，沒了壺中酒，借問此壺中，當(dāng)原多少酒？”用程序框圖表達(dá)如圖所示，即最終輸出的x0，問一開始輸入

2、的x（）ABCD5數(shù)列an滿足：a1a21，anan1+an2（n3，nN*）將數(shù)列an的每一項(xiàng)除以4所得的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列bn，則b21（）A1B2C3D06已知（x）（1x）4的展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為4，則實(shí)數(shù)a（）A2B4C2D47已知向量，滿足|2，（2，），且+（R），則|（）AB2CD48將函數(shù)f（x）sin（x+）+2（0）的圖象向右平移個(gè)單位長度后與原函數(shù)圖象重合，則實(shí)數(shù)的最小值是（）A2B3C6D99過雙曲線C：1（a0，b0）的一個(gè)焦點(diǎn)F做垂直于x軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，且OAB為等腰直角三角形，則此雙曲線的離心率為（）ABC2D10已知四面體PABC

3、中，ABAC，ABPB，且ABPB2AC2，PC3，則該四面體的外接球的體積為（）A9BC8D11若3a+（ln2）b3b+（ln2）a（a，bR），則（）A3a+b1B3|ab|2C3ab1D3|a+b|212已知橢圓+y21的上頂點(diǎn)為A，B、C為橢圓上異于A的兩點(diǎn)，且ABAC，則直線BC過定點(diǎn)（）A（1，0）B（，0）C（0，）D（0，）二、填空題（共4小題）.13已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則z2x+y的最小值是 14已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a3+a4+a5+a6+a7150，則S9 15設(shè)點(diǎn)P是直線3x4y+70上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P引圓（x1）2+y2r2（r0）的切線PA，PB（切點(diǎn)

4、為AB），若APB的最大值為，則該圓的半徑r等于 16已知函數(shù)f（x）x33x2+3，有下列函數(shù)yf（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1）處的切線為3x+y40；函數(shù)yf（x）有3個(gè)零點(diǎn)；函數(shù)yf（x）在x2處取得極大值；函數(shù)yf（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）對稱上述命題中，正確命題的序號是 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求做答。（一）必考題：共60分17某汽車美容公司為吸引顧客，推出優(yōu)惠活動(dòng)：對首次消費(fèi)的顧客，按200元/次收費(fèi)，并注冊成為會員，對會員逐次消費(fèi)給予相應(yīng)優(yōu)惠，標(biāo)準(zhǔn)如表：消費(fèi)次第第1次第

5、2次第3次第4次5次收費(fèi)比例10.950.900.850.80該公司從注冊的會員中，隨機(jī)抽取了100位進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：消費(fèi)次第第1次第2次第3次第4次第5次頻數(shù)60201055假設(shè)汽車美容一次，公司成本為150元，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，解答下列問題：（1）估計(jì)該公司一位會員至少消費(fèi)兩次的概率；（2）某會員僅消費(fèi)兩次，求這兩次消費(fèi)中，公司獲得的平均利潤；（3）以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，設(shè)該公司為一位會員服務(wù)的平均利潤為X元，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）18已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，CC1的中點(diǎn)（1）畫出平面EFG截正方體各個(gè)面所

6、得的多邊形，并說明多邊形的形狀和作圖依據(jù)；（2）求二面角GEFB1的余弦值19已知ABC中，ABBC，且AC2+2AB5（1）求ABC的值；（2）若P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且APB，CPB，求tanPBA20已知實(shí)數(shù)a0，設(shè)函數(shù)f（x）eaxax（1）當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；（2）當(dāng)a時(shí)，若對任意的x1，+），均有f（x）（x2+1），求a的取值范圍21已知拋物線E：y24x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過F的直線m與拋物線E交于A、B兩點(diǎn)，過F且與直線m垂直的直線n與準(zhǔn)線l交于點(diǎn)M（1）若直線m的斜率為，求的值；（2）設(shè)AB的中點(diǎn)為N，若O、M、N、F四點(diǎn)共圓，求直線m的方程（二）選

7、考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程22在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線M的極坐標(biāo)方程為2cos，若極坐標(biāo)系內(nèi)異于O的三點(diǎn)A（1，），B（2，+），C（3，）（1，2，30）都在曲線M上（1）求證：2+3；（2）若過B，C兩點(diǎn)直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），求四邊形OBAC的面積選修4-5:不等式選講23已知實(shí)數(shù)a，b，c，滿足a+b+c1（1）若a，bR+，c0，求證：（a+）2+（b+）2；（2）設(shè)abc，a2+b2+c21，求證：a+b1答案一、選擇題（共12小題

8、）.1若集合Ax|x1，Bx|x2+x0，則AB（）A（1，0）B1，0）C（1，0D1，0解：Ax|x1，Bx|1x0，AB（1，0）故選：A2復(fù)數(shù)z的模為（）A1BCD2解：z1+i，故|z|，故選：B3某醫(yī)院醫(yī)療攻關(guān)小組在一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)中獲得一組關(guān)于癥狀指數(shù)y與時(shí)間t之間的數(shù)據(jù)，將其整理得到如圖所示的散點(diǎn)圖，以下回歸模型最能擬合y與t之間關(guān)系的是（）Aykt2Bylog2tCyt3Dy（）t解：分析散點(diǎn)圖圖象知，函數(shù)增長速度越來越慢，符合對數(shù)函數(shù)增長模型故選：B4元朝時(shí)，著名數(shù)學(xué)家朱世杰在四元玉鑒中有一首詩：“我有一壺酒，攜著游春走，與店添一倍，逢友飲一斗，店友經(jīng)三處，沒了壺中酒，借問此壺中，

9、當(dāng)原多少酒？”用程序框圖表達(dá)如圖所示，即最終輸出的x0，問一開始輸入的x（）ABCD解：由題意，解方程：22（2x1）110，解得x，故選：B5數(shù)列an滿足：a1a21，anan1+an2（n3，nN*）將數(shù)列an的每一項(xiàng)除以4所得的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列bn，則b21（）A1B2C3D0解：a1a21，anan1+an2（n3，nN*），數(shù)列an：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，又?jǐn)?shù)列bn是將數(shù)列an的每一項(xiàng)除以4所得的余數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，數(shù)列bn：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，1，1，數(shù)列bn是周期為6的周期數(shù)列，b21b18+3b

10、32，故選：B6已知（x）（1x）4的展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為4，則實(shí)數(shù)a（）A2B4C2D4解：（x）（1x）4（x）（14x+6x24x3+x4），所以展開式中含x2項(xiàng)的是x（4x）+（）（4x3）（4+4a）x2，系數(shù)為4+4a4，解得a2故選：A7已知向量，滿足|2，（2，），且+（R），則|（）AB2CD4解：設(shè)，則：，且，解得故選：A8將函數(shù)f（x）sin（x+）+2（0）的圖象向右平移個(gè)單位長度后與原函數(shù)圖象重合，則實(shí)數(shù)的最小值是（）A2B3C6D9解：函數(shù)f（x）sin（x+）+2（0）的圖象向右平移個(gè)單位長度后與原函數(shù)圖象重合，即g（x）的圖像與函數(shù)f（x）的圖像重合，即（k

11、Z），整理得6k+6，（kZ）即6k6，（kZ）當(dāng)k2時(shí)，取最小值為6，故選：C9過雙曲線C：1（a0，b0）的一個(gè)焦點(diǎn)F做垂直于x軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，且OAB為等腰直角三角形，則此雙曲線的離心率為（）ABC2D解：過雙曲線C：1（a0，b0）的焦點(diǎn)F作垂直于x軸的直線，交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OAB為等腰直角三角形，可得c，即acc2a2，可得：e2e10，e1，解得：e故選：D10已知四面體PABC中，ABAC，ABPB，且ABPB2AC2，PC3，則該四面體的外接球的體積為（）A9BC8D解：四面體PABC中，ABAC，ABPB，且ABPB2AC2，PC

12、3，可知BC，可知：PB2+BC2PC2，所以PBBC，ABBCB，所以PB平面ABC，所以平面PAB平面ABC，所以ACPA，可得PC是四面體外接球的直徑，外接球的半徑為：，所以四面體的外接球的體積為：故選：B11若3a+（ln2）b3b+（ln2）a（a，bR），則（）A3a+b1B3|ab|2C3ab1D3|a+b|2解：因?yàn)?a+（ln2）b3b+（ln2）a，則3a（ln2）a3b（ln2）b，令f（x）3x（ln2）x，因?yàn)閥3x在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，y（ln2）x在R上為單調(diào)遞減函數(shù)，故函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，又f（a）f（b），所以ab，即ab0，所以3ab301故選

13、：C12已知橢圓+y21的上頂點(diǎn)為A，B、C為橢圓上異于A的兩點(diǎn)，且ABAC，則直線BC過定點(diǎn)（）A（1，0）B（，0）C（0，）D（0，）解：因?yàn)锳BAC，所以kABkAC10，所以直線BC斜率存在，設(shè)直線lBC：ykx+m（m1），B（x1，y1），C（x2，y2），聯(lián)立方程，消y得（4k2+1）x2+8kmx+4m240，x1+x2，x1x2，（*）又kABkAC1，整理得（y11）（y21）+x1x20，即（kx1+m1）（kx2+m1）+x1x20，所以（k2+1）x1x2+k（m1）（x1+x2）+（m1）20（*），代入得：+（m1）20，整理得5m+30得m，所以直線BC過定點(diǎn)

14、（0，）故選：D二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則z2x+y的最小值是3解：由題中給出的三個(gè)約束條件，可得可行域?yàn)槿鐖D所示陰影部分，易知z2x+y經(jīng)過可行域的A時(shí)，直線在y軸上的截距取得最小值，此時(shí)z2x+y取得最小值，由，解得A（1，1）z2x+y在（1，1）處的最小值為3，故314已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a3+a4+a5+a6+a7150，則S9270解：因?yàn)榈炔顢?shù)列an中，a3+a4+a5+a6+a75a5150，a530，則S99a5270故27015設(shè)點(diǎn)P是直線3x4y+70上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P引圓（x1）2+y2r2（r0）的切線PA，PB（

15、切點(diǎn)為AB），若APB的最大值為，則該圓的半徑r等于1解：圓（x1）2+y2r2（r0）的圓心為C（1，0），半徑為r，若APB最大時(shí)，則APBAPC也最大，又，故APC最大，則PC最小，因?yàn)辄c(diǎn)P是直線3x4y+70上的動(dòng)點(diǎn)，C為圓心，故PC的最小值即為點(diǎn)C到直線3x4y+70的距離，所以，故r1故116已知函數(shù)f（x）x33x2+3，有下列函數(shù)yf（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1）處的切線為3x+y40；函數(shù)yf（x）有3個(gè)零點(diǎn)；函數(shù)yf（x）在x2處取得極大值；函數(shù)yf（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）對稱上述命題中，正確命題的序號是解：f（x）3x26x3x（x2），則f（1）3，又f（1）1，所

16、以函數(shù)yf（x）的圖像在點(diǎn)（1，f（1）處的切線為y13（x1），即3x+y40，故正確；令f（x）0，可得x0或x2，令f（x）0，可得x0或x2，令f（x）0，可得0 x2，所以f（x）在（，0），（2，+）上單調(diào)遞增，在（0，2）上單調(diào)遞減，所以f（x）在x0處f（x）取得極大值，在x2處取得極小值，故錯(cuò)誤；極大值為f（0）30，極小值為f（2）10，f（1）10，f（3）30，所以在（1，0），（0，2），（2，3）上f（x）各有一個(gè)零點(diǎn)，故正確；令g（x）f（x+1）1（x+1）33（x+1）2+31x33x，則g（x）x3+3xg（x），所以g（x）為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以f（

17、x）關(guān)于點(diǎn)（1，1）對稱，故正確，所以正確命題的序號是故三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求做答。（一）必考題：共60分17某汽車美容公司為吸引顧客，推出優(yōu)惠活動(dòng)：對首次消費(fèi)的顧客，按200元/次收費(fèi)，并注冊成為會員，對會員逐次消費(fèi)給予相應(yīng)優(yōu)惠，標(biāo)準(zhǔn)如表：消費(fèi)次第第1次第2次第3次第4次5次收費(fèi)比例10.950.900.850.80該公司從注冊的會員中，隨機(jī)抽取了100位進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：消費(fèi)次第第1次第2次第3次第4次第5次頻數(shù)60201055假設(shè)汽車美容一次，公司成本為150元，根

18、據(jù)所給數(shù)據(jù)，解答下列問題：（1）估計(jì)該公司一位會員至少消費(fèi)兩次的概率；（2）某會員僅消費(fèi)兩次，求這兩次消費(fèi)中，公司獲得的平均利潤；（3）以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，設(shè)該公司為一位會員服務(wù)的平均利潤為X元，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）解：（1）100位會員中，至少消費(fèi)兩次的會員有40人，估計(jì)一位會員至少消費(fèi)兩次的概率為（2）該會員第一次消費(fèi)時(shí)，公司獲得利潤為20015050（元），第2次消費(fèi)時(shí)，公司獲得利潤為2000.9515040（元），公司這兩次服務(wù)的平均利潤為（元）（3）由（2）知，一位會員消費(fèi)次數(shù)可能為1次，2次，3次，4次，5次，當(dāng)會員僅消費(fèi)1次時(shí)，利潤為50元，當(dāng)會員僅

19、消費(fèi)2次時(shí)，平均利潤為45元，當(dāng)會員僅消費(fèi)3次時(shí)，平均利潤為40元，當(dāng)會員僅消費(fèi)4次時(shí)，平均利潤為35元，當(dāng)會員僅消費(fèi)5次時(shí)，平均利潤為30元，故X的所有可能取值為50，45，40，35，30，X的分布列為：X5045403530P0.60.20.10.050.05X數(shù)學(xué)期望為E（X）500.6+450.2+400.1+350.05+300.0546.25（元）18已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，CC1的中點(diǎn)（1）畫出平面EFG截正方體各個(gè)面所得的多邊形，并說明多邊形的形狀和作圖依據(jù)；（2）求二面角GEFB1的余弦值解：（1）取H，I，J分別為C1D1

20、，D1A1，AA1的中點(diǎn)，連結(jié)GH，HI，IJ，JE，截面多邊形為如圖所示正六邊形EFGHIJ，作圖依據(jù)如下：由作圖過程可知，H，I，J分別為C1D1，D1A1，AA1的中點(diǎn)，因?yàn)镋HBC1，F(xiàn)GBC1，所以EHFG，即E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，因?yàn)镕ICD1，HGCD1，所以FIHG，所以F，G，H，I四點(diǎn)共面，故E，F(xiàn)，G，H，I五點(diǎn)共面，因?yàn)镚JCA，EFCA，所以GJEF/所以E，F(xiàn)，G，J四點(diǎn)共面，所以點(diǎn)J在E，F(xiàn)，G，H，I五點(diǎn)確定的平面內(nèi)，故E，F(xiàn)，G，H，I，J六點(diǎn)共面；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），B1（2，2，2），E（2，1，0），F(xiàn)（1，2，0）

21、，所以，由（1）可知為平面EFG的一個(gè)法向量，設(shè)平面EFB1的法向量為，則，即，令y2，則x2，z1，所以，所以，故二面角GEFB1的余弦值為19已知ABC中，ABBC，且AC2+2AB5（1）求ABC的值；（2）若P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且APB，CPB，求tanPBA解：（1）ABC中，ABBC，得BC，因?yàn)锳C2+2AB5，所以AC252，由余弦定理得，cosABC，由ABC為三角形內(nèi)角得，ABC；（2）因?yàn)镻BA+PBC，PCB+PBCBPC，所以PBAPBC，設(shè)PBA，PBC中，由正弦定理得，所以PB2sin，PBA中，由正弦定理得，所以PB2sin（），所以sinsin（），整理得，ta

22、n，故tanPBA20已知實(shí)數(shù)a0，設(shè)函數(shù)f（x）eaxax（1）當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；（2）當(dāng)a時(shí)，若對任意的x1，+），均有f（x）（x2+1），求a的取值范圍解：（1）當(dāng)a1時(shí)，f（x）exx，則f（x）ex1，當(dāng)x（0，+）時(shí)，f（x）0，故 f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+），當(dāng)x（，0）時(shí)，f（x）0，故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（，0），所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+），單調(diào)遞減區(qū)間為（，0）；（2）f（x）（x2+1），即eax（x+1）2（*）令x0，得1，則a2，當(dāng)x1時(shí)，不等式（*）顯然成立，當(dāng)x（1，+）時(shí)，兩邊取對數(shù)，即ax2ln（x+1）+ln恒成立，

23、令函數(shù) F（x）2ln（x+1）ax+ln，即F（x）0在（1，+）恒成立，F(xiàn)（x）a0，得x11，故當(dāng)x（1，1）時(shí)，F(xiàn)（x）0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x（1，+）時(shí)，F(xiàn)（x）0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減因此F（x）F（1）2ln2+a+lna2ln，令函數(shù)g（a）a2ln，其中a2，令 g（a）10，得a1，故當(dāng)a（，1）時(shí)，g（a）0，g（a）單調(diào)遞減；當(dāng)a（1，2時(shí)，g（a）0，g（a）單調(diào)遞增，又g（）ln40，g（2）0，故當(dāng)a2時(shí)，g（a）0恒成立，因此F（x）0恒成立，綜上知，當(dāng)a（，2）時(shí)，對任意的x1，+），均有f（x）（x+1）2成立21已知拋物線E：y24x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過F的直線m與拋物線E交于A、B兩點(diǎn)，過F且與直線m垂直的直線n與準(zhǔn)線l交于點(diǎn)M（1）若直線m的斜率為，求的值；（2）設(shè)AB的中點(diǎn)為N，若O、M、N、F四點(diǎn)共圓，求直線m的方程解：（1）如圖，由拋物線y24x，得F（1，0），則直線m的方程為y，聯(lián)立，得3x210 x+30，解得：，x23，不妨設(shè)A在第一象限，則xA3，則|AF|3+14，|BF|，；（2）設(shè)直線m的方程為xty+1，由題意可得t0，否則，N與F重合，不存在O、M、N