數(shù)論問題之余數(shù)問題-余數(shù)問題練習題含答案

1、mxloxlonTxI8探6XI960寸、960寸unCNz6mmH6xI寸寸9sLXe093卜寸093X19寸CN(XI)L只粘8探血9卜00CN尼SSmxIS迢也毬刪理宦區(qū)0Qg探毬mxI趕(XI卜00CN)xITxIffw8HRSIK1S 數(shù).分析:1013-12=1001,1001=71113,那么符合條件的所有的兩位數(shù)有13,77,91有的同學可能會粗心的認為11也是.11小于12,所以不行.大家做題時要仔細認真.4.學校新買來118個乒乓球,67個乒乓球拍和33個乒乓球網(wǎng),如果將這三種物品平分給每個班級,那么這三種物品剩下的數(shù)量相同.請問學校共有多少個班分析:所求班級數(shù)是除以118

2、,67,33余數(shù)相同的數(shù).那么可知該數(shù)應(yīng)該為118-67=51和67-33=34的公約數(shù),所求答案為17.5.有一個大于1的整數(shù),除45,59,101所得的余數(shù)相同,求這個數(shù).分析:這個題沒有告訴我們,這三個數(shù)除以這個數(shù)的余數(shù)分別是多少,但是由于所得的余數(shù)相同,根據(jù)性質(zhì)2,我們可以得到:這個數(shù)一定能整除這三個數(shù)中的任意兩數(shù)的差,也就是說它是任意兩數(shù)差的公約數(shù).101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的約數(shù)有1,2,7,14,所以這個數(shù)可能為2,7,14.求下列各式的余數(shù):(1)2461135604711(2)21236分析:(1)5;(2)找規(guī)

3、律,2的n次方被6除的余數(shù)依次是(n=1,2,3,4):2,4,2,4,2,4因為要求的是2的123次方是奇數(shù),所以被6除的余數(shù)是2.（小學數(shù)學奧林匹克初賽）有蘋果,桔子各一筐,蘋果有240個,桔子有313個,把這兩筐水果分給一些小朋友,已知蘋果等分到最后余2個不夠分,桔子分到最后還余7個桔子不夠再分,求最多有多少個小朋友參加分水果分析:此題是一道求除數(shù)的問題.原題就是說,已知一個數(shù)除240余2,除313余7,求這個數(shù)最大為多少,我們可以根據(jù)帶余除法的性質(zhì)把它轉(zhuǎn)化成整除的情況,從而使問題簡化,因為240被這個數(shù)除余2,意味著240-2=238恰被這個數(shù)整除,而313被這個數(shù)除余7,意味著這31

4、37=306恰為這個數(shù)的倍數(shù),我們只需求238和306的最大公約數(shù)便可求出小朋友最多有多少個了.2402=238（個）,3137=306（個）,（238,306）=34（人）.（第十三屆迎春杯決賽）已知一個兩位數(shù)除1477,余數(shù)是49.那么,滿足那樣條件的所有兩位數(shù)是.分析:1477-49=1428是這兩位數(shù)的倍數(shù),又1428=223717=5128=6821=8417,因此所求的兩位數(shù)51或68或84.9.有一個大于1的整數(shù),除45,59,101所得的余數(shù)相同,求這個數(shù).分析:這個題沒有告訴我們,這三個數(shù)除以這個數(shù)的余數(shù)分別是多少,但是由于所得的余數(shù)相同,根據(jù)性質(zhì)2,我們可以得到:這個數(shù)一定

5、能整除這三個數(shù)中的任意兩數(shù)的差,也就是說它是任意兩數(shù)差的公約數(shù).101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的約數(shù)有1,2,7,14,所以這個數(shù)可能為2,7,14.10.已知三個數(shù)127,99和一個小于30的兩位數(shù)a除以一個一位數(shù)b的余數(shù)都是3,求a和b的值.分析:127-3=124,99-3=96,則b是124和96的公約數(shù).而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.L000CN666T5TxI卜寸093X19寸CN(XI).6XIsls66M毬0061:wsooxI6XI.1眠戴製66M毬LxI微8CN

6、XlCN.Km微OCNTxI.KM 分析:（1）5;（2）19997的余數(shù)是4,19992000與42000除以7的余數(shù)相同.然后再找規(guī)律,發(fā)現(xiàn)4的各次方除以7的余數(shù)的排列規(guī)律是4,2,1,4,2,1這么3個一循環(huán),所以由20003余2可以得到42000除以7的余數(shù)是2,故199920007的余數(shù)是2.13.（小學數(shù)學奧林匹克初賽）有蘋果,桔子各一筐,蘋果有240個,桔子有313個,把這兩筐水果分給一些小朋友,已知蘋果等分到最后余2個不夠分,桔子分到最后還余7個桔子不夠再分,求最多有多少個小朋友參加分水果分析:此題是一道求除數(shù)的問題.原題就是說,已知一個數(shù)除240余2,除313余7,求這個數(shù)最

7、大為多少,我們可以根據(jù)帶余除法的性質(zhì)把它轉(zhuǎn)化成整除的情況,從而使問題簡化,因為240被這個數(shù)除余2,意味著240-2=238恰被這個數(shù)整除,而313被這個數(shù)除余7,意味著這3137=306恰為這個數(shù)的倍數(shù),我們只需求238和306的最大公約數(shù)便可求出小朋友最多有多少個了.2402=238（個）,3137=306（個）,（238,306）=34（人）.14.有一個大于1的整數(shù),除45,59,101所得的余數(shù)相同,求這個數(shù).分析:這個題沒有告訴我們,這三個數(shù)除以這個數(shù)的余數(shù)分別是多少,但是由于所得的余數(shù)相同,根據(jù)性質(zhì)2,我們可以得到:這個數(shù)一定能整除這三個數(shù)中的任意兩數(shù)的差,也就是說它是任意兩數(shù)差

8、的公約數(shù).101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的約數(shù)有1,2,7,14,所以這個數(shù)可能為2,7,14.已知三個數(shù)127,99和一個小于30的兩位數(shù)a除以一個一位數(shù)b的余數(shù)都是3,求a和b的值.分析:127-3=124,99-3=96,則b是124和96的公約數(shù).而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.除以99的余數(shù)是.分析:所求余數(shù)與19100,即與1900除以99所得的余數(shù)相同,因此所求余數(shù)是19.17.199419941994(1994個1994)除以15的余數(shù)是分析:法1:從簡單情況入手找規(guī)

9、律,發(fā)現(xiàn)199415余14,1994199415余4,19941994199415余9,199419941994199415余14,發(fā)現(xiàn)余數(shù)3個一循環(huán),19943=664.2,199419941994(1994個1994)除以15的余數(shù)是4;法2:我們利用最后一個例題的結(jié)論可以發(fā)現(xiàn)199419941994能被3整除,那么199419941994000能被15整除,19943=664.2,199419941994(1994個1994)除以15的余數(shù)是4.18.abc是自然數(shù)，分別除以11的余數(shù)是2,7,9.那么(a+b+c)(a-b)(b-c)除以11的余數(shù)是多少分析:(a+b+c)11的余數(shù)是

10、7;(ab)11的余數(shù)是11+27=6;(bc)11的余數(shù)是11+79=9.所求余數(shù)與76911的余數(shù)相同,是4.19.盒乒乓球,每次8個8個地數(shù),10個10個地數(shù),12個12個地數(shù),最后總是剩下3個.這盒乒乓球至少有多少個？分析與解答:如果這盒乒乓球少3個的話,8個8個地數(shù),10個10個地數(shù),12個12個的數(shù)都正好無剩余,也就是這盒乒乓球減少3個后是8,10,12的公倍數(shù),又要求至少有多少個乒乓球,可以先求出8,10,12的最小公倍數(shù),然后再加上3.281012故8,10,12的最小公倍數(shù)是22253=120.所以這盒乒乓球有123個.20.自然數(shù),用它分別去除63,90,130都有余數(shù),三

11、個余數(shù)的和是25.這三個余數(shù)中最小的一個是.分析與解答:設(shè)這個自然數(shù)為,且去除63,90,130所得的余數(shù)分別為a,b,c,則63-a,90-b,130-c都是的倍數(shù).于是(63-a)+(90-b)+(130-c)=283-(a+b+c)=283-25=258也是的倍數(shù).又因為258=2343.(670CN)6+m+CN+xl+01:CN(6XloxI)6+m+CN+xl+01:XI斷sig6M毬00CN66XICNSOT689S寸碼一:gw艦任戴探川眠p竝喟寸HqoCNHeEwm寸HS8H.fsCNHO+q+e川圾、寸CNHh-KKo+q+es罄眾ooHh-KK需Yq旨Kn)8Hh-KmJ皿

12、Qm任Yq6輕LXCNy+q+e眠60&6CNr98l咀“寸9mCNOOOCNsigsmxIM毬CNCNCNCNCNcxiCNm探6MZH1CN+OO1:+S6寸+S6寸+s寸ooxI*xIJooxIHg0KnHhw靈兇g661：w66XIOOTS6寸H6+:cn+t+oxI(6+:CN探Tx10探606探(6606)6+m+CN+xl+01:6 分析與解答:因為222222=2111111=21111001=211171113所以222222能被13整除.又因為2000=6333+22222=222200+222000個19982213=19所以要求的余數(shù)是9.求除以9,11,99,101,

13、999,1001,13和91的余數(shù)分別是多少;解答:23:除以9的余數(shù)是0,11:一個2007奇數(shù)位上數(shù)字和與偶數(shù)位上數(shù)字的和的差為5.2007個2007奇數(shù)位上數(shù)字和與偶數(shù)位上數(shù)字的和的差為52007.520073(mod11),所以除以11的余數(shù)是399:能被9整除,被11除余3的數(shù)最小是36,所以除以99余36200720072007能被7,13,37整除.999=27371001=7111391=71313:0(mod13)除以13余091:0(mod91)除以91余0所以除以13,91,999的余數(shù)都是0.1001:除以11余3,除以7,13余0,滿足次條件的最小數(shù)是1092,109

14、2除以1001余91.所以除以1001的余數(shù)是91.lor曲亠二那営9999H10199、耳壬H0000+2007H10000+2007H9999+2007+2007(modlol)回番Hffl+2007+20072(modlol)20072007(modlol)H68回酋smJla 解答:此數(shù)除以3余2,除以5余3,除以7余2,滿足條件最小數(shù)是2325、(23+105k)2)個數(shù)除以7余3,除以11余7,除以13余4,符合此條件的數(shù)最小是;如果它是一個四位數(shù),那么最大可能解答:滿足除以7余3,除以11余7的最小數(shù)為73,設(shè)此數(shù)為73+77a=13b+4,69-a=13b.a最小等于4滿足條件

15、的最小數(shù)是381.設(shè)最大的四位數(shù)為381+1001X,最大的四位數(shù)為9390.(1732)26、今天周一,天之后是星期;這個數(shù)的個位數(shù)字是天之后是星期解答:只要求出7的余數(shù)就可以知道天后是星期幾.52007(mod7),561(mod7)20073(mod6),52007536(mod7)s所以天之后是星期日2007的個位數(shù)字是720072的個位數(shù)字是920073的個位數(shù)字是320074的個位數(shù)字是120075的個位數(shù)字是127、一個三位數(shù),被17除余5,被18除余12,那么它可能是一個四位數(shù),被131除余112,被132除余98,那么它可能是解答:設(shè)此三位數(shù)為17a+5=18b+12.可得到17a=17b+b+7,所以b+7一定能被17整除,b=10,27,44.這個三位數(shù)為192,498,804.設(shè)此四位數(shù)為131x+112=132y+98,可得到131x=131y+y-14,所以y-14一定能被131整除,y=14,145（太大）這個四位數(shù)是194628、甲乙丙三個數(shù)