高數(shù)微分方程

1、高數(shù)微分方程第1頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)49分，星期四機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、知識(shí)點(diǎn)與考點(diǎn)1.基本概念恒等式,含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)或微分的方程.若函數(shù)y = (x)代入方程后可使之成為(3) 方程的解:(1) 微分方程:未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程叫常微分方程.其一般形式為:標(biāo)準(zhǔn)形式為:(2) 方程的階:方程中未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù).則稱函數(shù)y = (x)為方程的解.第2頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)49分，星期四機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 特解:n階微分方程的含有n個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)的解稱為方程的通解.通解:初始條件:微分方程不含任意常數(shù)的

2、解稱為方程的特解.確定通解中任意常數(shù)的條件一階方程的初始條件為:二階方程的初始條件為:第3頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)49分，星期四機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 一階微分方程及其解法:分離變量:兩邊積分:(2) 齊次方程:則 y = x u ,(1) 可分離變量的方程:令原方程變?yōu)?第4頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)49分，星期四分離變量:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 兩邊積分:(3) 一階線性微分方程:常數(shù)變易法:對(duì)應(yīng)的齊次方程為:分離變量:兩邊積分:令是非齊次方程的解,第5頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)49分，星期四兩邊積分得:

3、代入非齊次方程得:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 原方程的通解為:將公式法:將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形:把P(x) , Q(x)代入公式:直接積分即可求得原方程的通解.第6頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)49分，星期四機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 這是以 p 為未知函數(shù) x 為自設(shè)其通解為 原方程的通解為:即3. 可降階的高階微分方程可用逐次積分法求解.(1)(2)為降階作變量代換,原方程變?yōu)閯t令(方程右端不顯含未知函數(shù)y)變量的一階方程.若可解,(方程右端僅含自變量x)(3)(方程右端不顯含自變量x)為降階作變量代換,令則第7頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)49分，星

4、期四 原方程變?yōu)?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 這是以 p為未知函數(shù) y 為自變量的一階方程.設(shè)其通解為 若可解,即原方程的通解為:二、典型例題分析與解答 例1. 已知函數(shù) y = y (x)在任意點(diǎn)x處的增量為且當(dāng)x0 時(shí),則 y (1) 等于( ) .y(0) = , 是 x的高階無(wú)窮小,D第8頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)49分，星期四分析：機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解此方程可得y(x),從而可得 y(1)的值.兩邊積分:由微分定義知解:由于分離變量:且當(dāng)x0 時(shí), 是 x的高階無(wú)窮小,由微分定義知即有:由 y (0) = 知 C =.函數(shù)的表達(dá)式為故選項(xiàng)(

5、D)正確.第9頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)49分，星期四例2.微分方程 的通解為_(kāi).注釋:本題考查可分離變量方程的解法.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解:所給方程為可分離變量的方程.分離變量:兩邊積分:應(yīng)填:第10頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)49分，星期四例3. 解:求微分方程滿足初始條件機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的特解.所給微分方程變形為:將這是齊次微分方程.令則方程變?yōu)榧礊榉蛛x變量:兩邊積分:可得:代入得將代入得C = 1.特解為注釋:本題考查齊次方程的解法.第11頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)49分，星期四例4.解:機(jī)動(dòng) 目錄

6、 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 微分方程滿足的特解為_(kāi).所給方程為一階線性方程,方程兩邊但不是標(biāo)準(zhǔn)形.其中則有將代入通解得:C = 0 .同除以x得:特解為:注釋:本題考查一階線性非齊次方程的解法.第12頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)49分，星期四例5.微分方程機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的通解為_(kāi).為降階令解:所給方程是一個(gè)不顯含未知函數(shù) y 的二階方程.注釋:本題考查二階可降階方程的解法.則代入原方程得:分離變量:兩邊積分:即有兩邊再積分得:第13頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)49分，星期四例6.的特解.解:則原方程變?yōu)闄C(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 求微分方程 滿足初始條件所給方程是一個(gè)不顯含未知函數(shù) y 的二階方程.為降階令即為也即為(這一步是關(guān)鍵!)則有:其中代公式:第14頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)49分，星期四將初始條件機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 注釋:本題考查二階可降階方程的解法.代入得則有兩邊積分得:將初始條件代入得即有也即有滿足初始條件的特解為(想一想為何開(kāi)方只取正?)第15頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)49分，星期四例7. 微分方程 解:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 滿足初始條