高數(shù)差分方程

1、高數(shù)差分方程第1頁，共45頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四差分 微分方程是自變量連續(xù)取值的問題, 但在很多實際問題中, 有些變量不是連續(xù)取值的. 例如, 經(jīng)濟變量收入、儲蓄等都是時間序列, 自變量 t 取值為0, 1, 2, , 數(shù)學上把這種變量稱為離散型變量. 通常用差商來描述因變量對自變量的變化速度.第2頁，共45頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四1. 差分的定義 設函數(shù)我們稱為函數(shù)的一階差分； 一、 差分方程的基本概念第3頁，共45頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四 稱為函數(shù)的二階差分. 為三階差分. 同樣，稱第4頁，共45頁，2022年，5月

2、20日，20點49分，星期四依此類推，函數(shù)的 n 階差分定義為：且有二階及二階以上的差分統(tǒng)稱為高階差分第5頁，共45頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四 當 是常數(shù)，是函數(shù)時，有以下結論成立：第6頁，共45頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四例1 求則解 設例2 設求解 第7頁，共45頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四 有某種商品 t 時期的供給量St與需求量Dt都是這一時期價格Pt 的線性函數(shù)：5.1.2 差分方程一個例子： 設 t 時期的價格Pt由 t 1時期的價格 與供給量及需求量之差 按如下關系確定. （ 為常數(shù)）， 即 這樣的方程就是差分方程.第

3、8頁，共45頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四定義5.1.2 含有未知函數(shù)差分或未知函數(shù)幾個時期值的方程就稱為差分方程.例如差分方程的不同形式之間可以相互轉化.差分方程中含有未知函數(shù)下標的最大值與最小值之差數(shù)稱為差分方程的階. 5.1.2 差分方程第9頁，共45頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四是一個二階差分方程，如果將原方程的左邊寫為則原方程還可化為例如，可以化為第10頁，共45頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四又如： 可化為 如果一個函數(shù)代入差分方程后，方程兩邊其中A為任意常數(shù).恒等，則稱此函數(shù)為差分方程的解.第11頁，共45頁，2022年，5月2

4、0日，20點49分，星期四 我們往往要根據(jù)系統(tǒng)在初始時刻所處的狀態(tài)，對差分方程附加一定的條件，這種附加條件稱之為初始條件.滿足初始條件的解稱之為特解. 如果差分方程中含有相互獨立的任意常數(shù)的個數(shù)恰好等于差分方程的階數(shù)，則稱它為差分方程的通解.其中A為任意常數(shù). 第12頁，共45頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四 (3)為常數(shù)，為已知函數(shù).時，稱方程 (4)則 (3) 稱為一階常系數(shù)非齊次線性一階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為其中當為一階常系數(shù)齊次線性差分方程.若差分方程. 一階常系數(shù)線性差分方程第13頁，共45頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四3. 常系數(shù)線性差分方

5、程及解的性質 的差分方程稱為n 階常系數(shù)線性差分方程，其中為常數(shù)，且為已知函數(shù). 時，差分方程(1)稱為齊次的，對應的齊次差分方程為(2)定義A 形如(1)當否則稱為非齊次的. 當時，與差分方程 (1)第14頁，共45頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四 定理A 設的k個特解，則線性組合也是該差分方程的解，其中是n階常系數(shù)齊次線性差分方程為任意常數(shù).第15頁，共45頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四的n個線性無關的解，則方程 的通解為 其中為任意常數(shù)定理B n階常系數(shù)齊次線性差分方程一定存在n個線性無關的特解若是方程第16頁，共45頁，2022年，5月20日，20點4

6、9分，星期四 定理C n階非齊次線性差分方程 的通解與它自己本身的一個特解之和，它對應的齊次方程即通解等于其中是它自己本身的一個特解.第17頁，共45頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四 以上三個定理揭示了n階齊次及非齊次線性差分方程的通解結構, 它們是求解線性差分方程非常重要的基礎知識在本書中我們只探討一階常系數(shù)線性差分方程的解法第18頁，共45頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四(1) 迭代法求解：一般地，對于一階常系數(shù)齊次線性差分方程通常有如下兩種解法.5.2.1 一階常系數(shù)齊次線性差分方程的通解第19頁，共45頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四(2

7、) 特征方程法求解：設化簡得：即第20頁，共45頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四分別稱為方程和是方程 (4) 的解. 再由解的結構及通解的定義知： 的特征方程和特征根.是齊次方程的通解.為任意常數(shù))故第21頁，共45頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四例4 求的通解.從而特征根為于是原方程的通解為其中C為任意常數(shù).解 特征方程為第22頁，共45頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四的右端項為某些特殊形式的函數(shù)時的特解.考慮差分方程(c為任意常數(shù)), 則差分方程為1) 采用迭代法求解：有迭代公式給定初值一階常系數(shù)非齊次線性差分方程的通解第23頁，共45頁，2

8、022年，5月20日，20點49分，星期四第24頁，共45頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四2)一般法求解：設差分方程的特解.具有形如(1) 當時，(2) 當時，第25頁，共45頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四例5 求差分方程 的通解.解 對應齊次差分方程的通解為 由于故可設其特解為：代入方程，解得：故原差分方程通解為：第26頁，共45頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四設差分方程 (6) 具有形如的特解。于是第27頁，共45頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四即解得于是和第28頁，共45頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四例6

9、 求差分方程 的通解。 解 對應齊次差分方程的通解為由于故可設其特解為：代入方程，解得：故原差分方程通解為：第29頁，共45頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四例6 求差分方程 的通解。 解 對應齊次差分方程的通解為由于故可設其特解為：代入方程，解得：故原差分方程通解為：第30頁，共45頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四設差分方程(7) 具有形如的特解.將特解代入差分方程(7)后比較兩端同次項系數(shù)確定系數(shù)第31頁，共45頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四例7 求差分方程 的通解。 解 對應齊次差分方程的通解為由于故可設其特解為代入方程，得比較系數(shù)：第32

10、頁，共45頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四原差分方程通解為解得故方程特解為第33頁，共45頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四例7 求差分方程 的通解。 解 對應齊次差分方程的通解為由于故可設其特解為代入方程，得比較系數(shù)：第34頁，共45頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四原差分方程通解為解得故方程特解為第35頁，共45頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四設差分方程具有形如的特解.綜上所述，有如下結論：若第36頁，共45頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四當 時，(*)式左端為 次多項式，要使 (*) 式成立，則要求第37頁，共4

11、5頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四故可設差分方程（8）具有形如的特解.前面三種情況都是差分方程（8）的特殊情形：當 時，取 否則，取 第38頁，共45頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四例8 求差分方程 的通解。 解 對應齊次差分方程的通解為由于故可設其特解為代入方程消去比較系數(shù)：得第39頁，共45頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四原差分方程通解為解得故方程特解為第40頁，共45頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四例9 求差分方程 的通解。 解 對應齊次差分方程的通解為由于故可設其特解為代入方程消去 ，得比較系數(shù)：第41頁，共45頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四原差分方程通解為解得故方程特解為第42頁，共45頁，2022年，5月20日，20點49分，星期四例10 求差分方程 的通解。 解 對應齊次差分方程的通解為由于故可設其特解為代入方程消去比較系數(shù)：得第43頁，共45頁，2022年，5月20日，