數(shù)字信號(hào)處理實(shí)驗(yàn) matlab版 離散傅里葉變換的性質(zhì)

1、實(shí)驗(yàn)13離散傅里葉變換的性質(zhì)(完美格式版，本人自己完成，所有語句正確，不排除極個(gè)別錯(cuò)誤，特別適用于山大，勿用冰點(diǎn)等工具下載，否則下載之后的word格式會(huì)讓很多部分格式錯(cuò)誤，謝謝)XXXX學(xué)號(hào)姓名處XXXX一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?加深對(duì)離散傅里葉變換(DFT)基本性質(zhì)的理解。了解有限長序列傅里葉變換(DFT)性質(zhì)的研究方法。3掌握用MATLAB語言進(jìn)行離散傅里葉變換性質(zhì)分析時(shí)程序編寫的方法。二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容線性性質(zhì)。循環(huán)移位性質(zhì)。循環(huán)折疊性質(zhì)。時(shí)域和頻域循環(huán)卷積特性循環(huán)對(duì)稱性。三、實(shí)驗(yàn)環(huán)境MATLAB7.0實(shí)驗(yàn)原理線性性質(zhì)如果兩個(gè)有限長序列分別為x1(n)和x2(n),長度分別為N1和N2,且y(n)=axl

2、(n)+bx2(n)(a、b均為常數(shù))則該y(n)的N點(diǎn)DFT為Y(k)=DFTy(n)=aX1(k)+bX2(k)OWkWN1其中：N=maxN1,N2,X1(k)和X2(k)分別為x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)DFT。例13-1已知x1(n)=0,1,2,4,x2(n)=1,0,1,0,1,求：y(n)=2x1(n)+3x2(n)，再由y(n)的N點(diǎn)DFT獲得Y(k)；由x1(n)、x2(n)求X1(k)、X2(k)，再求Y(k)=2X1(k)+3X2(k)。用圖形分別表示以上結(jié)果，將兩種方法求得的Y(k)進(jìn)行比較，由此驗(yàn)證有限長序列傅里葉變換(DFT)的線性性質(zhì)。解MATLAB程序如下：x

3、n1=0,1,2,4;%建立xn1序列xn2=1,0,1,0,1;%建立xn2序列N1=length(xn1);N2=length(xn2);N=max(N1,N2);%確定NifN1N2xn2=xn2,zeros(1,N1-N2);%對(duì)長度短的序列補(bǔ)0elseifN2N1xn1=xn1,zeros(1,N2-N1);endyn=2*xn1+3*xn2;%計(jì)算ynn=0:N-1;k=0:N-1;Ykl=yn*(exp(-j*2*pi/N).人(n*k);%求yn的N點(diǎn)DFTXk1=xn1*(exp(-j*2*pi/N).A(n*k);%求xnl的N點(diǎn)DFTXk2=xn2*(exp(-j*2*p

4、i/N).A(n*k);%求xn2的N點(diǎn)DFTYk2=2*Xk1+3*Xk2;%由Xkl、Xk2求Yksubplot(4,2,1),stem(n,xn1);title(x1(n);subplot(3,2,2),stem(n,Xk1);title(X1(k);subplot(4,2,3),stem(n,xn2);title(x2(n);subplot(3,2,4),stem(n,Xk2);title(X1(k);subplot(4,2,5),stem(n,yn);title(yn);subplot(3,2,6),stem(n,Yk2);title(2*Xk1+3*Xk2);subplot(4,2

5、,7),stem(n,Yk1);title(DFTy(n);求得的Y(k)，如下所示：Yk=23.00007.5902+1.5388i3.59020.3633i3.5902+0.3633i7.59021.5388i運(yùn)行結(jié)果如圖13-1所示。1sb-103討何0345Q0-41-1050-1012302345yn530：23451FT腫)|51:11?42101230.64.111a234FDoooD3211d-30：20100-10111xn=l,2,3,4,5,6;Nx=length(xn);nx=0:Nx-1;nxl=-Nx:2*Nx-l;xl=xn(mod(nxl,Nx)+l);nyl=

6、nxl-2;yl=xl;RN=(nxl=0)&(nxlRNl=(nyl=0)&(nylsubplot(4,l,l),stem(nxl,RN.*xl);subplot(4,l,2),stem(nxl,xl);subplot(4,l,3),stem(nyl,yl);subplot(4,l,4),stem(nyl,RNl.*yl);105-4-2810125-4-202468100*-61012-8-6-4-202468106運(yùn)行結(jié)果如圖13-2所示。圖13-2例13-2有限長序列的循環(huán)移位循環(huán)折疊性質(zhì)如果要把有限長N點(diǎn)序列x(n)直接進(jìn)行折疊，則x的下標(biāo)(一n)將不在OWnWN1區(qū)域內(nèi)。但根據(jù)有限

7、長序列傅里葉變換隱含的周期性，可以對(duì)變量(n)進(jìn)行N求余運(yùn)算。即在MATLAB中，序列x(n)的折疊可以由y=x(mod(nx,N)+1)得到。有限長N點(diǎn)序列x(n)的循環(huán)折疊序列y(n)定義為x(0)n=0 x(N一n)1nN一1y(n)=x(n)=N可以想像成，序列x(n)以反時(shí)針方向等間隔放置在一個(gè)圓周上，則x(n)是將x(n)沿著圓周順時(shí)針方向等間隔放置。循環(huán)折疊性質(zhì)同樣適用于頻域。經(jīng)循環(huán)折疊后，序列的DFT由下式給出：Y(k)=DFTx(-n)N)X(k)JX(0)k=0=X*(k)=0 x(Nk)1kx1=1,2,3,4,5,6,7;N1=length(x1);n1=0:N1-1;

8、y1=x1(mod(-n1,N1)+1);N2=10;x2=x1,zeros(1,N2-N1);n2=0:N2-1;y2=x2(mod(-n2,N2)+1);subplot(2,2,1),stem(n1,x1,k);title(x(n),N=7);subplot(2,2,3),stem(n1,y1,k);title(x(-n),N=7);subplot(2,2,2),stem(n2,x2,k);%title(x(n),N=10);subplot(2,2,4),stem(n2,y2,k);title(x(-n),N=10);運(yùn)行結(jié)果如圖13-3所示。x(n),N=7x(n),N=10 x(-n)

9、,N=70 x(-n),N=10圖13-3例13-3離散序列的循環(huán)折疊例13-4如例13-3求x(n)=l,2,3,4,5,6,7,循環(huán)長度取N=7。求證：在時(shí)域循環(huán)折疊后的函數(shù)x(-n)，其對(duì)應(yīng)的DFT在頻域也作循環(huán)折疊，并取X(k)的共軛。解MATLAB程序如下：x1=1,2,3,4,5,6,7;%建立x(n),N=7序列N=length(x1);n=0:N-1;k=0:N-1;y1=x1(mod(-n,N)+1);%建立x(-n),N=7序列Xk=x1*exp(-j*2*pi/N).人(n*k)%求x(n)的DFTYk=y1*exp(-j*2*pi/N).A(n*k)%求x(-n)的DF

10、T運(yùn)行結(jié)果：Xk=Columns1through528.0000-3.5000+7.2678i-3.5000+2.7912i-3.5000+0.7989i-3.5000-0.7989iColumns6through7-3.5000-2.7912i-3.5000-7.2678iYk=Columns1through528.0000-3.5000-7.2678i-3.5000-2.7912i-3.5000-0.7989i-3.5000+0.7989iColumns6through7-3.5000+2.7912i-3.5000+7.2678i4時(shí)域和頻域循環(huán)卷積特性離散傅里葉變換的循環(huán)卷積特性也稱為圓

11、周卷積，分為時(shí)域卷積和頻域卷積兩類。1)時(shí)域循環(huán)卷積假定x(n)、h(n)都是N點(diǎn)序列，則時(shí)域循環(huán)卷積的結(jié)果y(n)也是N點(diǎn)序列：y(n)h(n)若x(n)、h(n)和y(n)的DFT分別為X(k)、H(k)和Y(k)，則Y(k)=X(k)H(k)2)頻域循環(huán)卷積利用時(shí)域和頻域的對(duì)稱性，可以得到頻域卷積特性。若y(n)=x(n)h(n)Y(k)=X(k)H(k)下面重點(diǎn)討論時(shí)域循環(huán)卷積。時(shí)域循環(huán)卷積的方法有多種：方法1:直接使用時(shí)域循環(huán)卷積。由于有限長序列可以看成是周期序列的主值，因此，時(shí)域圓周卷積的結(jié)果可以由對(duì)應(yīng)的周期序列卷積和取主值部分獲得，請(qǐng)參考例11-4。方法2：用頻域DFT相乘再求逆

12、變換。即先分別求x1(n)、x2(n)的DFTX1(k)、X2(k)，再求Y(k)的IDFT獲得y(n)。方法3：用FFT和IFFT進(jìn)行循環(huán)卷積?；舅悸吠椒?,但直接使用了MATLAB提供的fft和ifft子函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。見后面的快速傅里葉變換實(shí)驗(yàn)。例13-5將例11-4已知的兩個(gè)時(shí)域周期序列分別取主值，得到x1=1，1，1，0，0，0,x2=0,1,2，3，0，0,求時(shí)域循環(huán)卷積y(n)并用圖形表示。解本例采用方法2。程序如下：xn1=0,1,2,3,0,0;%建立x1(n)序列xn2=1,1,1,0,0,0;%建立x2(n)序列N=length(xn1);n=0:N-1;k=0:N-1;

13、Xk1=xn1*(exp(-j*2*pi/N).人(n*k);%由x1(n)的DFT求X1(k)Xk2=xn2*(exp(-j*2*pi/N).A(n*k);%由x2(n)的DFT求X2(k)Yk=Xk1.*Xk2;%Y(k)=X1(k)X2(k)yn=Yk*(exp(j*2*pi/N).A(n*k)/N;%由Y(k)的IDFT求y(n)yn=abs(yn)%取模值，消除DFT帶來的微小復(fù)數(shù)影響subplot(2,3,1),stem(n,xn1);title(x1(n)subplot(2,3,2),stem(n,xn2);title(x2(n)subplot(2,3,3),stem(n,yn)

14、;title(y(n)subplot(2,3,4),stem(n,Xk1);title(X1(k)subplot(2,3,5),stem(n,Xk2);title(X2(k)subplot(2,3,6),stem(n,Yk);title(Y(k)得到：yn=0.00001.00003.00006.00005.00003.0000運(yùn)行結(jié)果如圖13-5所示。由y(n)圖形可見，與例11-4主值區(qū)域的卷積結(jié)果相同。x1(n)x2(n)y(n)圖13-5例13-5離散序列時(shí)域循環(huán)卷積的結(jié)果5循環(huán)對(duì)稱性由于序列x(n)及其離散傅里葉變換X(k)的定義在主值為0N1的區(qū)間，因此DFT的循環(huán)對(duì)稱性對(duì)時(shí)間序列

15、是指關(guān)于n=0和n=N/2的對(duì)稱性，對(duì)頻譜序列是關(guān)于數(shù)字頻率為0和p的對(duì)稱性。本實(shí)驗(yàn)重點(diǎn)分析實(shí)序列的循環(huán)對(duì)稱性。實(shí)序列x(n)可以分解為循環(huán)偶序列xe(n)和循環(huán)奇序列x(n)：x(n)=xe(n)+xo(n)OWnWN1其中：Xe(n)二只他*X(一n)1Xo(n)二只他-X(-n)設(shè)DFTx(n)=X(k)=ReX(k)+j*ImX(k),則有DFTx(n)=RX(k)eeDFTx(n)=j*IX(k)om即實(shí)序列中的偶序列xe(n)對(duì)應(yīng)于x(n)的離散傅里葉變換X(k)的實(shí)部，而實(shí)序列中的奇序列xo(n)對(duì)應(yīng)于x(n)的離散傅里葉變換X(k)的虛部。例13-6已知一個(gè)定義在主值區(qū)間的實(shí)序

16、列x=ones(l,4),zeros(l,4),試將其分解成為偶對(duì)稱序列和奇對(duì)稱序列，并求它們的DFT，驗(yàn)證離散傅里葉變換的循環(huán)對(duì)稱性。解程序如下：x=ones(1,5),zeros(1,5)%建立x(n)序列N=length(x);n=0:N-1;k=0:N-1;xr=x(mod(-n,N)+1);xe=0.5*(x+xr)%求x(-n)%求x(n)的偶序列%求x(n)的奇序列X=x*(exp(-j*2*pi/N).人(n*k);Xe=xe*(exp(-j*2*pi/N).A(n*k);Xo=xo*(exp(-j*2*pi/N).A(n*k);error1=(max(abs(real(X)-

17、Xe)error2=(max(abs(j*imag(X)-Xo)subplot(2,4,1),stem(n,x);title(x(n)subplot(2,4,2),stem(n,xr);title(x(-n)subplot(2,4,3),stem(n,xe);title(xe(n)subplot(2,4,4),stem(n,xo);title(xo(n)subplot(2,4,5),stem(n,real(X);title(X(k)的實(shí)部)subplot(2,4,6),stem(n,imag(X);title(X(k)的虛部)subplot(2,4,7),stem(n,Xe);title(Xe

18、(k)=DFT(xe(n)subplot(2,4,8),stem(n,Xo);title(Xo(k)=DFT(xo(n)運(yùn)行結(jié)果顯示：%由x(n)的DFT求X(k)%由xe(n)的DFT求Xe(k)%由xo(n)的DFT求Xo(k)%計(jì)算X(k)的實(shí)部與Xe(k)的差值%計(jì)算X(k)的虛部與Xo(k)的差值xo=0.5*(x-xr)x=1111100000 xe=Columns1through81.00000.50000.50000.50000.500000.50000.5000Columns9through100.50000.5000 xo=Columns1through80-0.5000-

19、0.500000.50000.50000.50000.5000Columns9through10-0.5000-0.5000error1=4.0932e-015error2=3.9475e-015x(n)x(-n)0.5102?G?0-2010 xe(n)X(k的虛部5r-5010圖13-6例13-6驗(yàn)證離散實(shí)序列的循環(huán)對(duì)稱性由以上輸出數(shù)據(jù)和圖形可知：xe(n)具有循環(huán)對(duì)稱性。對(duì)稱中心在n=0和n=5處。xo(n)具有循環(huán)反對(duì)稱性。對(duì)稱中心亦在n=0和n=5處。從圖上看，Xe(k)與X(k)的實(shí)部相等，Xo(k)與X(k)的虛部相等；從輸出數(shù)據(jù)也可見,errorl和error2的差約為0。即可

20、證明，時(shí)域的偶、奇分量的確對(duì)應(yīng)于頻域的離散傅里葉變換的實(shí)部和虛部。五、實(shí)驗(yàn)過程2已知有限長序列x(n)=4,0,3,0,2,0,1,求x(n)右移2位成為新的向量y(n)，并畫出循環(huán)移位的中間過程。解MATLAB程序如下：xn=4030201;Nx=length(xn);nx=0:Nx-1;nx1=-Nx:2*Nx-1;x1=xn(mod(nx1,Nx)+1);ny1=nx1+2;y1=x1;RN=(nx1=0)&(nx1RN1=(ny1=0)&(ny1subplot(4,1,1),stem(nx1,RN.*x1);title(主值序列);subplot(4,1,2),stem(nx1,x1)

21、;title(周期序列)；subplot(4,1,3),stem(nx1,y1);title(移位周期序列)；subplot(4,1,4),stem(nx1,RN.*y1)；title(移位主值序列);運(yùn)行結(jié)果如圖13-7所示。主值序列4周期序列LL1LL15()-.1.F4.-r.:A.F.420-8-6-4-2024681012圖13-73已知一個(gè)有限長序列x(n)=876543,循環(huán)長度取N=10。求證：在時(shí)域循環(huán)折疊后的函數(shù)x(-n)，其對(duì)應(yīng)的DFT在頻域也作循環(huán)折疊。解MATLAB程序如下：N=10；x1=8,7,6,5,4,3,zeros(1,N-6)；n=0:N-1；k=0:N-

22、1；y1=x1(mod(-n,N)+1)；Xk=x1*exp(-j*2*pi/N).人(n*k)Yk=y1*exp(-j*2*pi/N).A(n*k)運(yùn)行結(jié)果：Xk=Columns1through633.00007.7361-16.9273i5.5000-3.4410i3.2639-3.9960i5.5000-0.8123i3.0000-0.0000iColumns7through10+0.8123i3.2639+3.9960i5.5000+3.4410i7.7361+16.9273iYk=Columns1through633.00007.7361+16.9273i5.5000+3.4410i3.2639+3.9960i+0.8