函數(shù)的概念及表示

1、函數(shù)及其表示最新考綱考情考向分析L了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù) 的左義域和值域，了解映射的槪念一2在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰 當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示 函數(shù)3了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用(函數(shù) 分段不超過(guò)三段)以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù) 的表示法、泄義域；分段函數(shù)以及 函數(shù)與其他知識(shí)的綜合是高考熱 點(diǎn)，題型既有選擇、填空題，又有 解答題，中等偏上難度.基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)扣劃礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)SfittSR 函數(shù)映射兩個(gè)集合J, B設(shè)ZL E是兩個(gè)非空數(shù)集設(shè)2, E是兩個(gè)非空集合對(duì)應(yīng)關(guān)系 ft A-B如果按照某種確左的對(duì)應(yīng)關(guān)系/,使對(duì) 于集合/中的任意一個(gè)數(shù)X,在集

2、合 B中都有唯一確左的數(shù)心)和它對(duì)應(yīng)如果按某一個(gè)確左的對(duì)應(yīng)關(guān)系/,使對(duì) 于集合/中的任意一個(gè)元素X,在集 合B中都有唯一確泄的元素y與之對(duì) 應(yīng)名稱(chēng)稱(chēng)/： A-B為從集合A到集合B的一 個(gè)函數(shù)稱(chēng)f： A-B為從集合到集合B的一 個(gè)映射函數(shù)記法函數(shù)y=) A映射：fz A-B函數(shù)的有關(guān)概念函數(shù)的左義域、值域在函數(shù)y=-). A-J中，X叫作自變量，X的取值范偉叫作函數(shù)的左義域:與X的值相對(duì) 應(yīng)的y值叫作函數(shù)值,函數(shù)值的集合()叫作函數(shù)的值域.函數(shù)的三要素：圧義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域.（3）函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖像法和列表法.3分段函數(shù)若函數(shù)在其左義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分

3、別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示,這種函 數(shù)稱(chēng)為分段函數(shù).【概念方法微思考】請(qǐng)你概括一下求函數(shù)左義域的類(lèi)型提示（1）分式型；（2）根式型：（3）對(duì)數(shù)式型；（4）指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)型：（5）三角函數(shù)型.基礎(chǔ)自測(cè)題組一思考辨析L判斷下列結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“ J ”或“X ”） TOC o 1-5 h z （1）對(duì)于函數(shù)/： A-B,其值域就是集合B（ ）（2）若兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個(gè)函數(shù)相等.（）（3）函數(shù)金）的圖像與直線x=l最多有一個(gè)交點(diǎn).（）若J=R. 5=X）, /： Xfy=IX英對(duì)應(yīng)是從興到B的映射.（X ）（5）分段函數(shù)是由兩個(gè)或幾個(gè)函數(shù)組成的.（）題組二教材改編2.函

4、數(shù)用）=些的左義域是.答案（一8, 1）U（1,4函數(shù)y=x）的圖像如圖所示，那么，金）的宦義域是:值域是:其中只有唯一的X值與之對(duì)應(yīng)的y值的范圍是答案一3,0 U 乙31,5題組三易錯(cuò)自糾4已知集合P=MOx4, =b0y2.下列各對(duì)應(yīng)關(guān)系/不能表示從P到。的函數(shù) 的是（填序號(hào)）1 2 Ly=尹Xfy=尹 f： XP =尹 f: XP=C答案解析 對(duì)于，因?yàn)楫?dāng)x=4時(shí)，y=fx4=%Q,所以不是從P到Q的函數(shù).5已知(S)=-l,則允O=答案 W-I(XMo)解析令 f=心,則心0, x=t2,所以代)=21(總0),即(x)=x2-l(x0).(x+l)2, xl,6.設(shè)函數(shù)y) = I

5、, 則使得y)1的自變量X的取值范圍為4-L xNl,答案(一 F -2 U 0,10解析7()是分段函數(shù)，()21應(yīng)分段求解當(dāng)1=(a1)21=x-2或 XMO, x-2 或 Ox0,所以函數(shù)y(x)=plog2X 1的定義域?yàn)?.函數(shù)金)=kx2-3x+2+x2-3x+4的立義域?yàn)?答案一 4,0) U(M)XH 0,解析 由背一3x+20,解得一430或Og,故函數(shù)的的定義域?yàn)?4,0)U(Oa).te-X23x40,(3)若函數(shù)y=j(x)的定義域是0,2 020,則函數(shù)&(力=*呂的泄義域是()A.-l,2 019C.0,2 020B.-l,l)U(2 019D.-l,l)U(l,2

6、 020答案B解析 使函數(shù)金+1)有意義，則Ox+l2 020,解得一 1a2 019,故函數(shù)用+1)的定義f-lx2 019,域?yàn)? 019.所以函數(shù)g(x)有意義的條件是解得一IWXVl或IX-I=0,IVXW2 019.故函數(shù) g(x)的定義域?yàn)?1,1)U(VOI9.引申探究本例(3)中，若將函數(shù)y=Ax)的定艾域?yàn)?,2 020”，改為函數(shù)J-)的定義域?yàn)?,2 020”，則函數(shù)曲)=弓土呂的定狡域?yàn)?答案一2,1) U(1,2 018解析 由函數(shù)金一1)的定義域?yàn)?,2 020,得函數(shù)y=x)的定義域?yàn)?1,2 019,f-lx+l2019,令則一2x2 018 且 XHLLxHl

7、,所以函數(shù)或0的定義域?yàn)?2,1)U (1,2 018.命題點(diǎn)2已知定義域求參數(shù)的值或范圍例2 (1)若函數(shù)XX)=7用+ abx+b的定義域?yàn)閤lx2,則a+b的值為.9答案解析 函數(shù)夬X)的定義域是不等式dF+dbx+bMO的解集不等式W+b+b20的解集為 xlx2,所以v,l+2 = _b,1X2=-,a36T=-T 解得=-2_3 = 5-設(shè)y(x)的N義域?yàn)?川,要使函數(shù)金一 d)+y(x+)有左義,則的取值范圍為.答案? 2_解析 函數(shù)(-)+(x+)的定義域?yàn)閍,l+a C a,la,當(dāng)aMO時(shí)，應(yīng)有aWla,艮; 06ry;當(dāng)dv時(shí).應(yīng)有一aWl+a,即一f70.所以Q的取值

8、范圍是一刁+思維升華(1)求給定函數(shù)的定狡域往往轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問(wèn)題，可借助于數(shù)軸，注意端點(diǎn)值的取舍.(2)求抽象函數(shù)的定艾域：若y=J(x)的定狡域?yàn)?a, b)9則解不等式ag(x)o,llx0,fx0 x-l,解得.10 xl.I-IWXW1,若函數(shù)y=y()的左義域?yàn)?2,貝IJ函數(shù)g()少斗的左義域是( X XA.0,l)B.OJC.0,l)U(l,4D(M)答案Af2x2,解析 函數(shù)y=v)的定義域是0,2,要使函數(shù)g(x)有意義，可得十解得0 xl,Xl0t故選A.I+3記函數(shù)J(X)= 2-丙的左義域?yàn)閮篻(x)=lg(x-1 )(2t7-)( 1)的左義域?yàn)锽若E 匸丄

9、 則實(shí)數(shù)的取值范圍為答案(一8, _2ug, 1)解析 由已知得 J = xx-1 或xlt B= x(-a-l)(-2a)0, a2, % = x2ax2+,即原函數(shù)的值域?yàn)?+, +8)當(dāng)且僅當(dāng)X-I=,即X=上尹時(shí)取等號(hào).x2多維究思維升華配方法、分離常數(shù)法和換元法是求函數(shù)值域的有效方法，但要注意各種方法所適 用的函數(shù)形式，還要注意函數(shù)定義域的限制.換元法多用于無(wú)理函數(shù)，換元的目的是進(jìn)行化歸， 把無(wú)理式轉(zhuǎn)化為有理式來(lái)解.二次分式型函數(shù)求值域，多釆用分離出整式再利用基本不等式求 解.題型四分段函數(shù)命題點(diǎn)1求分段函數(shù)的函數(shù)值k)g3X, x0,丿丄人 CA 且X)=2, -l)=3 則M一3

10、)等于() + b, xW0,A.-2B.2 C.3 D.-3答案解析由題意得0)=0+=l+b=2,解得 b=l；f-)=a 1+b=a 1+l = 3t 解得 a= 故夬-3)=G) 3+1=9,從而 7(/(3) =(9)=log39 = 2.(2)已知函數(shù)刃)=陰x3A37則 2+log32)的值為.答案解析 V 2+logs 12+log322+logs3,即 22logs23, /.(2 log32) =A2 log32 +1) =3+ logs2),又 33log320,則使AY)=I的X的集合為.答案 1 y2,解析 由題意知，若x0,則2x=,解得x=-l;1丄.-1若 xO

11、,則 logzx=刁解得 X= 22 或 x=2. 故X的集合為一1, 2,乎.log 1 X , x0已知函數(shù)y) = 1了若幾7)|，則實(shí)數(shù)的取值范圍是-.2 XW0, 答案(一1, ) 解析 當(dāng)WO時(shí)，令2,解得一IVa0： 當(dāng)0時(shí)，令log/#,解得(XaV申一 (-1,0u(,半)，艮;aW(1, j. 思維升華(1)分段函數(shù)的求值問(wèn)題的解題思路求函數(shù)值：當(dāng)出現(xiàn)Ma)的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定艾區(qū)間的冬段上，然后求出相應(yīng)自變量的值， 切記要代入檢驗(yàn).(2)分段函數(shù)與方程、不等式問(wèn)題的求解思路依據(jù)不同范國(guó)的不同段分類(lèi)討論求解，最后將討論結(jié)果并

12、起來(lái).2x+, x0 時(shí)，1 av,l + al, 由 y(l-a)=7(l+d), 可得 2(1 a)+Q=-(I +a)2a, 解得a=-,不合題意； 當(dāng) av 時(shí)，l-al,l+avl, 由(l-a)=(l+a),可得 (1 a)2a=2(l+a)+a, 解得a=-,符合題意一綜上，a=-2一才，xW0,(2018全國(guó)I )設(shè)函數(shù)Xx)=廣則滿足r+l)0,A.( 8, 1B.(0, +)C.(一 1,0)D( 8, 0)答案Dfx+lO,解析 方法一 當(dāng)*即XW-I時(shí)，y+1)2x)即為2 W%2叭 即一(x+l) 2x0,一 2x,解得x0 x+10,當(dāng)C F 即TVXWo時(shí)(x+l

13、)(2r)即1o,當(dāng)仁 即xOB0t綜上，不等式l)0,函數(shù)兀丫)的圖像如圖所示.由圖可知，當(dāng)x+l0且2xW0時(shí)，函數(shù)夬x)為減函數(shù)，故xl)2x. 此時(shí)x-l.當(dāng) 2xl, Xx+1)=1,滿足 a1)A2x).此時(shí)一IVjVV0.綜上，不等式l)1為值域的函數(shù)的是(C答案C 解析 A選項(xiàng)中的值域不滿足，B選項(xiàng)中的定義域不滿足，D選項(xiàng)不是函數(shù)的圖像，由函數(shù)的定義可知選項(xiàng)C正確.2下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()Ay(X)=ehx,或T)=X4B()=7+Tt g()=一2S)=X進(jìn) g(x)=snxDy(X)=Ix, g(x)=?答案D解析 A, B, C的定義域不同，所以答案為D.3

14、 函數(shù)金)=1PX_2卜(3-X2)的上義域是(A.(2, +)C.(2,3)答案CB.(3, +)D.(2,3)U(3, )解析由、-20,3-20,解得2x則一IWxWl,故Ox2l,所以1 +l2.因?yàn)?Ay(X)=1)x21）與T（Igx）是同一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以1 WIgXW2,故IoWXWl00,所以函數(shù)Xlgx）的定義 域?yàn)?0,100.故選C.5.已知/（$1）=一5,且Xa）=6,Cl答案B 解析 令 =p-1,則 =2r+2,所以夬7)=2(2r+2)-5=4r-l,7所以()=4-1=6,即。=才.6.如圖，ziOD是一直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，平面圖形O肋是四分之一圓

15、的扇形， 點(diǎn)P在線段曲上，Po丄肋，且P0交3或交孤a于點(diǎn)0,設(shè)AP=X（Ox2）,圖中陰影 部分表示的平而圖形.1PQ（APQD面枳為卅貝IJ函數(shù)y=x）的大致圖像是（）答案A解析 觀察可知陰影部分的面積y的變化情況為：（1）當(dāng)0A- 1時(shí)，3,隨X的增大而增大，而 且增加的速度越來(lái)越快-（2）當(dāng)1如2時(shí)，y隨X的增大而増大，而且增加的速度越來(lái)越慢分析 四個(gè)答案中的圖像，只有選項(xiàng)A符合條件.7.已知/12匚了則XX）的解析式為（）Dv)= -72( -1)答案C解析i=則X= 所以代)=；：；腎二；卜己尹故函數(shù)心)的解析式為夬力?Y=匸孑(XH 1)，故選C.&設(shè)心=log2(X2 + /)

16、 X0f3(Ll幾 x20,且/(I)=6,則朋一2)的值為()A.27B.243c答案B 解析./6)=3X (/1)2 =6, .r=5,eV)=log2(x25)f x0,M-2)=(log29)=3X 單訕=3 22,9 =3 2燉用=3X81=243.故選 B.9已知金)是一次函數(shù)，且滿足3(x 1)-2/(X-I)=2 17,則金)=.答案2x+7解析 設(shè)(x)=dx+b(HO),則 執(zhí)天+1)如一I)=x+5+b,所以 s+5+b=2x+17 對(duì)任意實(shí)數(shù)X都成立，所以,a=2,.5+b=17,解得b = 7,所以 XX)=2x+7.110.函數(shù)y=F ；丄的值域是.答案o, |解

17、析若X=O,則y=0；若xH0,則y=4故所求值域?yàn)閨_o, J3 + logzx, x0,11.（2018-河南南陽(yáng)一中月考）已知函數(shù)y=仁I f則不等式r）5的解集為Xe X 19 XW0,答案一 2,4由于y(x)=0, 才一X1, x0,當(dāng) x0 時(shí)，令 3log2X5,即 log2X2=logz4t 解得 0 y)-2,0U(4,60.2技能提升練2丫, v0,13.已知函數(shù)金）=二;若朋一2）刁（少 則實(shí)數(shù)r的取值范圍是Xee 2,x 9 X U 答案（一4,4）解析久一2）=4, X4）=8,不等式M2）刁可化為）8.當(dāng)FO時(shí)，一2/8,得一4/0； 當(dāng)/M0時(shí)，戶一2尺8,即（r-l）29,得O0L綜上所述，/的取值范圍是（一4,4）.欲X)=X+y； fix)=14已知具有性質(zhì)：/（2 = 心）的函數(shù)，我們稱(chēng)&）為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)，下列函數(shù):(IMX)=X-P其中滿足倒負(fù)”變換的函數(shù)是.(填序號(hào))答案解析 對(duì)于，y(x)=x-g,/O=Z-X=-T(X),滿足；對(duì)于，/G)=g+x=(x),不滿足;-,OvL,X X對(duì)于,/(