勾股定理典型例題歸類總結(jié)

1、專業(yè)資料9已知RMABC的周長(zhǎng)為2+慮，其中斜邊2，求這個(gè)三角形的面積。10.如果把勾股定理的邊的平方理解為形的面積，那么從面積的角度來說，勾股定理可以推廣（1）如圖，以RfABC的三邊長(zhǎng)為邊作三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的面積S、S、S之間有何123關(guān)系？并說明理由。（2）如圖，以RfABC的三邊長(zhǎng)為直徑作三個(gè)半圓，則這三個(gè)半圓的面積S、S、S之間有何關(guān)系？123（3）如果將上圖中的斜邊上的半圓沿斜邊翻折180，請(qǐng)?zhí)接憙蓚€(gè)陰影部分的面積之和與直角三角形的面積之間的關(guān)系，并說明理由。（此陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙）題型二：利用勾股定理測(cè)量長(zhǎng)度例1.如果梯子的底端離建筑物9米，

2、那么15米長(zhǎng)的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米？跟蹤練習(xí)：1如圖（8）,水池中離岸邊D點(diǎn)1.5米的C處，直立長(zhǎng)著一根蘆葦，出水部分BC的長(zhǎng)是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點(diǎn)，并求水池的深度AC.2座建筑物發(fā)生了火災(zāi)，消防車到達(dá)現(xiàn)場(chǎng)后，發(fā)現(xiàn)最多只能靠近建筑物底端5米，消防車的云梯最大升長(zhǎng)為13米，則云梯可以達(dá)該建筑物的最大高度是（）A、12米B、13米C、14米D、15米3如圖，有兩顆樹，一顆高10米，另一顆高4米，兩樹相距8米.一只鳥從一顆樹的樹梢飛到另一顆樹的樹梢，問小鳥至少飛行（）團(tuán)2A、8米B、10米C、12米D、14米題型三：勾股定理和逆定理并用一例3.如圖3，形ABC

3、D中，E是BC邊上的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，且FB4AB那么pEF是直角三角形嗎？為什么？注：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習(xí)題。跟蹤練習(xí)：如圖，形ABCD中，E為BC邊的中點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)CD邊上一點(diǎn)，且DF=3CF,求證：zAEF=90題型四：利用勾股定理求線段長(zhǎng)度一如圖4,落在E3已知長(zhǎng)方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在邊CD上取一點(diǎn)E，將ADE折疊使點(diǎn)D恰好，求CE的長(zhǎng).c跟蹤練習(xí)：1如圖，將一個(gè)有45度角的三角板頂點(diǎn)C放在一寬為3cm的紙帶邊沿上，另一個(gè)頂點(diǎn)B在紙帶的另一邊沿上，測(cè)得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30角，求三角板的最大邊AB的長(zhǎng).2如圖，在ABC

4、中，AB二BC,zABC=90,D為AC的中點(diǎn)，DE丄DF，交AB于E,交BC于F(1)求證：BE=CF;(2)若AE=3,CF=1,求EF的長(zhǎng).C3.如圖，CA=CB,CD=CE,zACB=zECD=90,D為AB邊上的一點(diǎn)若AD=1,BD=3，求CD的長(zhǎng).題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直一例1.有一個(gè)傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5米的墻上，任何東西只要移至5米以，燈就自動(dòng)打開，一個(gè)身高1.5米的學(xué)生，要走到離門多遠(yuǎn)的地方燈剛好打開？跟蹤練習(xí)：1如圖孑每個(gè)小形的邊長(zhǎng)都是1,3BC的三個(gè)頂點(diǎn)分別在形網(wǎng)格的格點(diǎn)上試判斷ABC的形狀；并說明理由.（1）求證：zABD=90;（2）求四

5、畑加的值B1.5C1.5Nc7B2下列各組數(shù)中，以它們邊的三角形不是直角三角形的是（）111A、9,12,15B、7,24,25C、】iD、I,一，三3.在ABC中，下列說法zB=zC-zA:：/,：:zA:zB:zC=3:4:5;a:b:c=5:4:3;-:-=1:2:3,其中能判斷ABC為直角三角形的條件有（）A、2個(gè)B、3個(gè)C、4個(gè)D、5個(gè)4在MBC中,zAszBszC的對(duì)邊分別是a、b、c判斷下列三角形是否為直角三角形？并判斷哪一個(gè)是直角？（1）a=26,b=10,c=24;（2）a=5,b=7,c=9;（3）a=2，：,-A、2個(gè)B、3個(gè)C、4個(gè)D、5個(gè)5已知ABC的三邊長(zhǎng)為a、b、

6、c,且滿足:.-I，則此時(shí)三角形一定是（）A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、銳角三角形6在MBC中，若a二n2-1，b=2n，c=n2+1，則BC是（）A、銳角三角形B、鈍角三角形C、等腰三角形D、直角三角形7如圖，形網(wǎng)格中的ABC是（）/B、A、直角三角形B、銳角三角形C、鈍角三角形D、銳角三角形或鈍角三角形8已知在ABC中,zAszBszC的對(duì)邊分別是a、b、c，下列說法中，錯(cuò)誤的是（）A、如果zC-zB=zA,那么zC=90B、如果zC=90,那么-.：?.疳C、如果（a+b）（a-b）=-,那么zA=90D、如果zA=30,那么AC=2BC9已知ABC的三邊分別為a,b

7、,c,且a+b=3,ab=1,廣，求-的值，試判斷ABC的形狀，并說明理由觀察下列各式：；-.-八-*11.-迄Z，根據(jù)其中規(guī)律，寫出下一個(gè)式子為已知，mn,m、n為正整數(shù)，以.-,2mn,廣為邊的三角形是三角形.12個(gè)直角三角形的三邊分別為n+1,n-1,8,其中n+1是最大邊，當(dāng)n為多少時(shí)，三角形為直角三角形？題型六：旋轉(zhuǎn)問題：例題6.如圖，P是等邊三角形ABC點(diǎn)，PA=2,PB二2J3,PC=4,求MBC的邊長(zhǎng).跟蹤練習(xí)1如圖，ABC為等腰直角三角形zBAC=90,EsF是BC上的點(diǎn)且zEAF=45試探究BE2、CF2、EF2間的關(guān)系，并說明理由.題型七：關(guān)于翻折問題例題7如圖，矩形紙片

8、ABCD的邊AB=10cm,BC=6cm,E為BC上一點(diǎn)，將矩形紙片沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)G處，求BE的長(zhǎng).跟蹤練習(xí)1如圖，AD是MBC的中線,zADC=45,把MDC沿直線AD翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C的位置，BC=4,求BC的長(zhǎng).A（一）折疊直角三角形1如圖，在SBC中,zA=90,點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，沿CD折疊MBC,點(diǎn)A恰好落在BC邊上的A處，AB=4,AC=3，求BD的長(zhǎng)。如圖，RfABC中,zB=90,AB=3,AC=5.將ABC折疊使C與A重合，折痕為DE,求BE的長(zhǎng).C（二）折疊長(zhǎng)方形1如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4，BC=5，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，將長(zhǎng)方形沿折痕AF折疊，點(diǎn)D

9、恰好落在BC上的點(diǎn)E處，求CF的長(zhǎng)。2.如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AD=8cm,AB=4cm,沿EF折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C與C重合.（1）求DE的長(zhǎng);（2）求折痕EF的長(zhǎng).（2013）如圖，將長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊，使邊CD落在對(duì)角線AC上，折痕為CE，且D點(diǎn)落在對(duì)角線D處若AB=3,AD=4，則ED的長(zhǎng)為（）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=6,AD=8,沿BD折疊使A到A處DA交BC于F點(diǎn).（1）求證:FB=FE（2）求證：CAIIBD（3）求DBF的面積專業(yè)資料1A7.如圖，形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，將MDE沿AE對(duì)折至MFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G,G為BCDE的中點(diǎn)，連結(jié)AG、C

10、F.(1)求證：AGIICF;(2)求廠匸的值.C題型A：關(guān)于勾股定理在實(shí)際中的應(yīng)用：例1、如圖，公路MN和公路PQ在P點(diǎn)處交匯，點(diǎn)A處有一所中學(xué),AP=160米，點(diǎn)A到公路MN的距離為80米，假使拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100米以會(huì)受到噪音影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到影響，請(qǐng)說明理由；如果受到影響，已知拖拉機(jī)的速度是18千米/小時(shí)，那么學(xué)校受到影響的時(shí)間為多少？M專業(yè)資料例2輛裝滿貨物高為1.8米，寬1.5米的卡車要通過一個(gè)直徑為5米的半圓形雙向行駛隧道，它能順利通過嗎？跟蹤練習(xí)：1.某市氣象臺(tái)測(cè)得一熱帶風(fēng)暴中心從A城正西方向300km處，以每小時(shí)26km的速度向北

11、偏東60方向移動(dòng)，距風(fēng)暴中心200km的圍為受影響區(qū)域。試問A城是否受這次風(fēng)暴的影響？如果受影響，請(qǐng)求出遭受風(fēng)暴影響的時(shí)間；如果沒有受影響，請(qǐng)說明理由。2.一輛裝滿貨物的卡車,其外形高2.5米,寬1.6米,要開進(jìn)廠門形狀如下圖的某工廠,問這輛卡車能否通過該工廠的廠門?3.有一個(gè)邊長(zhǎng)為50dm的形洞口，想用一個(gè)圓蓋去蓋住這個(gè)洞口，圓的直徑至少多長(zhǎng)？（結(jié)果保留整數(shù)）4如圖，鐵路上A,B兩點(diǎn)相距25km,C,D為兩村莊，DA丄AB于A,CB丄AB于B,已知DA=15km,CB=10km,現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E，使得C,D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在離A站多少km處？題型九：關(guān)

12、于最短性問題例1如右圖1-19,壁虎在一座底面半徑為2米，高為4米的油罐的下底邊沿A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的B處有一只害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對(duì)害蟲進(jìn)行突然襲擊結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐請(qǐng)問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲？（n取3.14，結(jié)果保留1位小數(shù)，可以用計(jì)算器計(jì)算）例2.跟蹤練習(xí)：1如圖為一棱長(zhǎng)為3cm的體，把所有面都分為9個(gè)小形，其邊長(zhǎng)都是1cm,假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm,則它從下地面A點(diǎn)沿表面爬行至右側(cè)面的B點(diǎn)，最少要花幾秒鐘？2如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分

13、別等于5cm，3cm和1cm，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物請(qǐng)你想一想，這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)，最短線路是多少？3個(gè)長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)、寬、高分別為8cm，6cm，12cm,-只螞蟻想從盒底的A點(diǎn)爬到盒頂?shù)腂點(diǎn)，你能幫螞蟻設(shè)計(jì)一條最短的線路嗎？螞蟻要爬行的最短路程是多少？B4如圖將一根13.5厘米長(zhǎng)的細(xì)木棒放入長(zhǎng)、寬、高分別為4厘米、3厘米和12厘米的長(zhǎng)方體無(wú)蓋盒子中，能全部放進(jìn)去嗎？題型十：勾股定理與特殊角（一）直接運(yùn)用30或45的直角三角形1如圖，在ABC中,zC=90,zB=30,人。是ABC的角平分線，若AC二2Q，求AD的長(zhǎng)。2

14、如圖，在ABC中,zACB=90,AD是MBC的角平分線，CD丄AB于D,zA=30,CD=2，求AB的長(zhǎng)。3如圖，在ABC中，AD丄BC于D,zB=60,乙C二45,AC=2，求BD的長(zhǎng)。作垂線構(gòu)造30或45的直角三角形將105轉(zhuǎn)化為45和601如圖，在ABC中,zB=45,zA=105,AC=2，求BC的長(zhǎng)。2.如圖，在四邊形ABCD中,zA=zC=45,zADB=zABC=105,M若AD=2,求AB的長(zhǎng)；若AB+CD二2J3+2，求AB的長(zhǎng)。將75轉(zhuǎn)化為30和453.如圖，在ABC中,zB=45,zBAC=75,AB=再，求BC的長(zhǎng)。題型十一：運(yùn)用勾股定理列方程（一）直接用勾股定理列方

15、程如圖，在ABC中,zC=90,AD平分zCAB交CB于D,CD=3,BD=5，求AD的長(zhǎng)。如圖，在ABC中，AD丄BC于D,且zCAD=2zBAD,若BD=3,CD=8，求AB的長(zhǎng)。C（二）巧用連環(huán)勾”列方程1.如圖，在ABC中，AB=5,BC=7,AC二4*2，求sABCB2.如圖，在ABC中，zACB二90,CD丄AB于D,AC=3,BC=4，求AD的長(zhǎng)。如圖,ABC中，zACB=90,CD丄AB于D,AD=1,BD=4，求AC的長(zhǎng)4.如圖,ABC中，zACB=90,CD丄AB于D,CD=3,BD=4，求AD的長(zhǎng)題型十二：勾股定理與分類討論（一）銳角與鈍角不明時(shí)需分類討論1.在MBC中，

16、AB二AC=5,，求BC的長(zhǎng)2.在MBC中，AB=15,AC=13,AD為MBC的高，且AD=12,求MBC的面積。（二）腰和底不明時(shí)需分類討論3如圖1ABC中,zACB=90,AC=6,BC=8,點(diǎn)D為射線AC上一點(diǎn)，且ABD是等腰三角形，求ABD的周長(zhǎng).直角邊和斜邊不明時(shí)需分類討論1已知直角三角形兩邊分別為2和3，則第三邊的長(zhǎng)為2在MBC中，/ACB=90,AC=4,BC=2，以AB為邊向外作等腰直角三角形ABD，求CD的長(zhǎng)3如圖，D(2,1),以O(shè)D為一邊畫等腰三角形，并且使另一個(gè)頂點(diǎn)在x軸上，這樣的等腰三角形能畫多少個(gè)?寫出落在x軸上的頂點(diǎn)坐標(biāo).題型十三：、亠或I兒?jiǎn)栴}的證明1如圖1A

17、BC中，CA=CB，/ACB=90,D為AB的中點(diǎn)，M、N分別為AC、BC上一點(diǎn)，且DM丄DN.(1)求證：CM+CN=lBD(2)如圖2,若M、N分別在AC、CB的延長(zhǎng)線上，探究CM、CN、BD之間的數(shù)量關(guān)系式。2.已知zBCD=a,zBAD=p,CB=CD.(1)如圖1,若a二p=90,求證：AB+AD=IAC;(2)如圖2,若a邙=90,求證：AB-AD-JAC;(3)如圖3,若a=120,p=60,求證：AB=AD=】AC;(4)如圖3，若a邙=120,求證：AB-AD=AC;tH1.Vraa題型十四：I、問題的證明1如圖，OA=OB,OC=OD,zAOB=zCOD=90,M、N分別為

18、AC、BD的中點(diǎn)，連MN、ON.求證:MN=JON.2已知ABC中，AB=AC,zBAC=90,D為BC的中點(diǎn)，AE=CF，連DE、EF.(1)如圖1,若E、F分別在AB、AC上，求證：EF=%E;(2)如圖2,若E、F分別在BA、AC的延長(zhǎng)線上，則中的結(jié)論是否仍成立？請(qǐng)說明理由.圖E3如圖，3BD中，0為AB的中點(diǎn)，C為DO延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，/ACO=135,zODB=45探究OD、OC、AC之間相等的數(shù)量關(guān)系.HG&八二羽(乙)【VG&8G(I)壬G日軍T壬日V軍8療B圭打SV乙二XGVIIX。06二GV療卑阜制翕者GEV園口幼專業(yè)資料題型十五：勾股定理（逆定理）與網(wǎng)格畫圖1如圖，每個(gè)小形的邊

19、長(zhǎng)為1,A、B、C是小形的頂點(diǎn)，則zABC的度數(shù)為.2如圖，每個(gè)小形的邊長(zhǎng)都是1,在圖中畫一個(gè)三角形，使它的三邊長(zhǎng)分別是32、H且三角形的三3如圖，每個(gè)小形的邊長(zhǎng)都是1,在圖中畫一個(gè)邊長(zhǎng)為的形，且形的四個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上.4在圖中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個(gè)等腰三角形，使其部已標(biāo)注的格點(diǎn)只有3個(gè).5如圖，在4個(gè)均勻由16個(gè)小形組成的網(wǎng)格形中，各有一個(gè)格點(diǎn)三角形，那么這4個(gè)三角形中，與眾不團(tuán)46如圖，形網(wǎng)格中的每個(gè)小形邊長(zhǎng)都為1,每個(gè)小形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫圖：(1)2)畫一條線段MN，使MN二iH;(2)畫MBC，三邊長(zhǎng)分別為3,;：，二7如圖，在5x5的形網(wǎng)格中，每個(gè)小形的邊長(zhǎng)均為1,線段AB的端點(diǎn)在格點(diǎn)上.團(tuán)2圖1中以AB為腰的等腰三角形有個(gè)，畫出其中的一個(gè)，并直接寫出其底邊長(zhǎng).圖2中，以AB為底邊的等腰三角形有個(gè)，畫出其中的一個(gè)，并直接寫出其底邊上的高.題型十六：利用勾股定理逆定理證垂直1如圖，在ABC中，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，且AB=10,BD=6,AD=8,AC=7，其求CD的長(zhǎng).2如圖，在四邊形ABCD中，zB=90,AB=2，川,CD=5,AD=4,ABCDnA3如圖，在ABC中,AD為BC邊上的中線，AB=5,AC=13,AD=6，