高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和(第2課時(shí))數(shù)列求和鞏固提升(含解析)新人教A版必修

1、第2課時(shí)數(shù)列求和A基礎(chǔ)達(dá)A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo).設(shè)an是首項(xiàng)為ai,公差為一1的等差數(shù)列，&為其前n項(xiàng)和.若Si,S,$成等比數(shù)列，則a=（）A.2B.-2C。錯(cuò)誤！D.錯(cuò)誤！解析：選D。因?yàn)榈炔顢?shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn=na+錯(cuò)誤！d,所以Si,S分別為ai,2ai1,4ai6。因?yàn)镾i,S,&成等比數(shù)列，所以（2aii）2=a-（4ai6）,解得ai=錯(cuò)誤！。.數(shù)列an的通項(xiàng)公式是2門=錯(cuò)誤！，若前n項(xiàng)和為i0,則項(xiàng)數(shù)為（）A.iiB.99C.i20D,i2i解析：選。因?yàn)閍n=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！一錯(cuò)誤！，所以Sn=ai+a2+-+an=（V2-i）+（季-也）+（錯(cuò)誤！一錯(cuò)誤?。?錯(cuò)誤！一i,令yjn+

2、ii=i0,得n=i20.數(shù)列an,bn滿足anbn=i,an=n2+3n+2,則bn的前i0項(xiàng)和為（）A.錯(cuò)誤！Bo錯(cuò)誤！Co錯(cuò)誤！D錯(cuò)誤！解析：選B.依題意=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！一錯(cuò)誤！，所以bn的前i0項(xiàng)和為So=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！一錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！，故選4.設(shè)數(shù)列i,（i+2）,，（i+2+22+T2nT）,的前n項(xiàng)和為S,則Sn=B. 2nnB. 2nnA.2n2n+1-nD.2n+1-n-2解析：選D.因?yàn)閍n=1+2+22+2n-=錯(cuò)誤！=2n1,所以Sn=(2+22+23+2n)-n=錯(cuò)誤！一n=2n+1n2。.在數(shù)列an中，31=2,a=2,an+

3、2an=1+(1)n,neN*,則5的值為()A.990B.1000C.1100D.99解析：選A.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an+2an=0,an=2;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an+2an=2,an=n.故S0=2X30+(2+4+-+60)=990.在等比數(shù)列an中，若a=錯(cuò)誤!,a4=4,則|a|+|a2|+|anI=解析：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,則a4=a1q3,代入數(shù)據(jù)解得q3=8,所以q=2.等比數(shù)列|&|的公比為|q|=2,則|an|=錯(cuò)誤！X21,所以|a|+|a2|+|a3|+|an|=錯(cuò)誤！(1+2+22+-+2nt)=錯(cuò)誤！(2n1)=2n錯(cuò)誤！。答案：2nT錯(cuò)誤！.已知函數(shù)f(n)=錯(cuò)誤！

4、且an=f(n)+f(n+1),則a+a?+a3+a。等于解析：由題意，a+a?+a00=122+3+344+5+99100100+1012=(1+2)+(3+2)(99+100)+(101+100)=100。答案：100、一*_一，_*一一.，一*，一一一.在數(shù)列an中，a=1,an=錯(cuò)誤！an1(n2,nCN),則數(shù)列錯(cuò)誤！的刖n項(xiàng)和Tn=解析：令bn=y,由數(shù)列的遞推公式，可得錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！，且3=錯(cuò)誤！=1,則bn=b1X錯(cuò)誤！X錯(cuò)誤！X錯(cuò)誤！X-X錯(cuò)誤！=1X錯(cuò)誤！X錯(cuò)誤！X錯(cuò)誤！X-X錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！，所以Tn=1+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=1+2錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！=1+2錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！。答

5、案n+12n答案n+1.設(shè)an是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，a=2,a3=a?+4。(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列an+bn的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)設(shè)q為等比數(shù)列an的公比，則由a=2,a3=a+4,得2q2=2q+4,即q2q2=0,解得q=2或q=1(舍去)，因此q=2,所以an的通項(xiàng)公式為an=2n(nCN)(2)由題意得數(shù)列an+bn的前n項(xiàng)和Sn=&+&+an+(b1+b2+bn)=錯(cuò)誤！+nX1+錯(cuò)誤！x2=2n+1+n22.(2019廣東深圳調(diào)研)設(shè)數(shù)列&的前n項(xiàng)和為Sn,a=2,an+1=2+Sn(neN*).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公

6、式；(2)設(shè)bn=1+log2(an)2,若數(shù)列錯(cuò)誤！的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn。解：(1)因?yàn)閍n+1=2+Sn(neN*),所以an=2+Sn1(n2),所以ani+1an-SSn-1an,所以an+12an(n2),又因?yàn)閍=2+&=4,&=2,所以a2=2a1,所以數(shù)列an是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則an=22nT=2n(neN*).(2)證明：因?yàn)閎n=1+log2(an)2,則bn=2n+1,所以錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！，所以Tn=錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！.B能力提升.(2019石家莊期末檢測)已知數(shù)列an滿足an+2=an+1an,且a1=2,a2=3,S為數(shù) TOC

7、 o 1-5 h z 列an的前n項(xiàng)和，則S2019的值為()A0B1C6D4解析：選C.由題意可得a=2,a2=3,a3=1,a4=2,a53,a61,a?=2,a83,a9=1,，則數(shù)列an是以6為周期的周期數(shù)列，且a1+a?+a?+a4+a5+a6=0,所以S2019336x(a+a2+a?+a4+as+a6)+a+&+a3=6.故選Co.已知lnx+lnx2+lnx10=110,則lnx+ln2x+ln3x+ln1x=.解析：由lnx+lnx2+lnx10=110。得(1+2+3+-+10)lnx=110,所以lnx=2。從而Inx+ln2x+In3X+-+In10 x=2+22+23

8、+210-11-_=錯(cuò)誤！=22=2046。答案:2046.已知數(shù)列an酒足：ai=1,an+i+an=4n1,nCN。求數(shù)列a的前n項(xiàng)和Sn.解：由條件an+an=4n1,ani+2+ani+1=4(n+1)1,兩式相減，得an+2an=4(常數(shù)).這表明數(shù)列an的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成以4為公差的等差數(shù)列，且a2=2。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn=錯(cuò)誤！x1+錯(cuò)誤！x4+錯(cuò)誤！X2+錯(cuò)誤！X4=n2-錯(cuò)誤!.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n+12s=-2X1+錯(cuò)誤！X4+錯(cuò)誤！X2+錯(cuò)誤！X4=n錯(cuò)誤！。故Sn=錯(cuò)誤！.(選做題)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=3n;在等差數(shù)列bn中，bn0,且b1+b?+b3=15

9、,又a1+b,a?+b2,a3+b3成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列anbn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)因?yàn)閍=3n1,所以a=1,a2=3,a3=9.因?yàn)樵诘炔顢?shù)列bn中，b+b2+b3=15,所以3b2=15,則b2=5。設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d,又a1+bbaz+b2,a+b3成等比數(shù)列，所以(1+5d)(9+5+d)=64,解得d=10或d=2.因?yàn)閎n0,所以d=10應(yīng)舍去，所以d=2,所以b1=3,所以bn=2n+1。故anbn=(2n+1)3nT。由(1)知Tn=3X1+5X3+7X32+-+(2n-1)32+(2n+1)3n1,3Tn = 3X3+5X 3

10、 2+7X3 3+(2n1)33Tn = 3X3+5X 3 2+7X3 3一，得2Tn=3X 1 + 2X3+ 2Tn=3X 1 + 2X3+ 2X32 + 2X3 3+-+2X3 n 1-(2n+ 1)3n= 3+2 (3+32+ 33 + - +3n1) (2n+ 1)3n=3+2x錯(cuò)誤！一(2n+1)3n=3n(2n+1)3n=2n3n.所以Tn=n3n.等比數(shù)列（強(qiáng)化練）、選擇題 TOC o 1-5 h z 1.已知等比數(shù)列&的公比q/音誤！，a2=8,則其前3項(xiàng)和S3的值為（）A.24B.28C.32D.16一，一，一，一，、，1解析：選B.在等比數(shù)列an中，因?yàn)楣萹=2，a2=8

11、,所以a=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！=16,a3=a2q=8x錯(cuò)誤！=4,則S3=a+a?+a3=16+8+4=28.2.已知數(shù)列an是等比數(shù)列，若a2=2,a3=4,則法等于（）A.8B.-8C.16D.16解析：選D.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q0因?yàn)閍=2,a3=4,所以q=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!2.由a2=a1q,得a=一1。則a5=ay4=1X（2）4=16。故選D.在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，23=錯(cuò)誤！，a5=8a7,則日。等于（）Ao錯(cuò)誤！Bo錯(cuò)誤！C.錯(cuò)誤！D.錯(cuò)誤！解析：選Do42=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！，即q=錯(cuò)誤！,所以aio=a3q7=錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！，選D.在等比數(shù)列an中，已知a5a14=5

12、,則a3a4a15a化等于()A.10B. 25D. 75解析：選B.法一：因?yàn)閍B. 25D. 75解析：選B.法一：因?yàn)閍3a16= a4a15= a5a14= 5,以a3a4a15a16=525.法二：由已知得 aq4 aiq13a2q175所以 法二：由已知得 aq4 aiq13a2q175所以 a3a4a15a化=a1q2 aq3 . aq14 aq15=a錯(cuò)誤！ - q34= （a錯(cuò)誤！ q17） 2 = 25。5.設(shè)首項(xiàng)為1,公比為錯(cuò)誤！的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則()Sn=2an1Sn=3an 2S=43an解析：選D.在等比數(shù)列 an中,S=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！ = 3 2a

13、n.S=3 2an6.已知數(shù)列 an滿足：錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！，且a2= 2,則a4等于A.B. 23C.12D. 11解析：選Do因?yàn)閿?shù)列an滿足：:D=錯(cuò)誤！，所以an+1+1=2(an+1),即數(shù)列an+&十1十11是等比數(shù)列，公比為2。則a4+1=22(az+1)=12,解得a4=11。7.(2019中山一中調(diào)研)在等比數(shù)列an中，S是它的前n項(xiàng)和.若a2a3=2即且國與2a7的等差中項(xiàng)為17,則&=()A.錯(cuò)誤！B.16C.15D.錯(cuò)誤！解析：選A.由等比數(shù)列的性質(zhì)，知a1a4=a2a3=2a1，得a4=2。因?yàn)閍4+2a7=2x17=34,所以a7=16,所以q3=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！=8,即

14、q=2。由a4=a1q3=8a1=2,得a1=錯(cuò)誤!,所以$=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!.故選Ao TOC o 1-5 h z .在等比數(shù)列an中，若a2a5=一錯(cuò)誤！，a?+a3+a4+25=錯(cuò)誤！，則錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=()A.1B.一錯(cuò)誤！C.一錯(cuò)誤！D.一錯(cuò)誤！,_3解析：選。數(shù)歹1an是等比數(shù)列，a2a5=4=a3a4,a?+a3+&+a5=錯(cuò)誤！，所以錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！=一錯(cuò)誤！。.在等比數(shù)列an中，ai=2,前n項(xiàng)和為Sn,若數(shù)列a+1也是等比數(shù)列，則S等于()A.2n1-2B.3nC.2nD.3n1解析：選C.因?yàn)閿?shù)列an為等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列a

15、n的公比為q,則an=2qn1因?yàn)閿?shù)列an+1也是等比數(shù)列，則(an+1+1)=(an+1)(a+2+1)?a錯(cuò)誤！+2an+1=anan+2+an+a+22?an+an+2=2an+1?an(1+q2q)=0?(q1)0?q=1由a=2得an=2,所以Sn=2n.九章算術(shù)第三章“衰分”介紹比例分配問題：“衰分”是按比例遞減分配的意思，通常稱遞減的比例(百分比)為“衰分比”.如甲、乙、丙、丁衰分得100,60,36,21.6個(gè)單位，遞減的比例為40%,今共有糧m(m0)石，按甲、乙、丙、丁的順序進(jìn)行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和為164石，則“衰分比”與m的值分別為()A.2

16、0%369B.80%369C.40%360D.60%365解析：選A.設(shè)“衰分比”為a,甲衰分得b石，由題意得錯(cuò)誤！解得b=125,a=20%,369。二、填空題.已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若$+34=0,則公比q=.解析：因?yàn)?+3S=0,所以錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=0,2即(1q)(q+4q+4)=0。解得q=2或q=1(舍去).答案：2.已知數(shù)列an中，a=2,an+12an=0,bn=log2an,則數(shù)列bn的前10項(xiàng)和等于解析：在數(shù)列an中，ai=2,an+i2an=0,即錯(cuò)誤！=2,所以數(shù)列an是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.所以an=2X2nT=2n.所以bn=log22n=n

17、。則數(shù)列bn的前10項(xiàng)和為1+2+-+10=55.答案：55.在14與7之間插入n個(gè)數(shù)，組成所有項(xiàng)的和為錯(cuò)誤！的等比數(shù)列，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為解析：設(shè)此數(shù)列的公比為q,則錯(cuò)誤!?錯(cuò)誤！故此數(shù)列共有5項(xiàng).答案：5.已知數(shù)列a是等比數(shù)列，a2=2,a5=錯(cuò)誤！，則a1a2+a2a3+anan+1=.解析：設(shè)數(shù)列an的公比為q,因?yàn)閍n是等比數(shù)列，且a2=2,25=錯(cuò)誤！，所以錯(cuò)誤!=q3=1,所以口=錯(cuò)誤！，所以&=4,又an是等比數(shù)列，所以anan+寸也是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為aa2=8,公比q=錯(cuò)誤！，所以a1a2+a2a3+anan+=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！(14一n).答案：錯(cuò)誤！(14一n)三、解答題.

18、等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知a2=1,So=45。(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足bn=2an,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)因?yàn)榈炔顢?shù)列an的前n項(xiàng)和為S,已知a2=1,Sw=45,所以錯(cuò)誤！解得錯(cuò)誤!所以an=n-1。(2)由(1)知bn=2an=2-nT；錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！，所以數(shù)列3是等比數(shù)列，且首項(xiàng)bi=1,公比4=錯(cuò)誤！.所以Tn=錯(cuò)誤！=2錯(cuò)誤！。.(2018高考全國卷田)等比數(shù)列an中，ai=1,a5=4a3。(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)記&為an的前n項(xiàng)和.若Sn=63,求m解：(1)設(shè)an的公比為q,由題設(shè)得an=qnT。由已知得q4=4q2,解得q

19、=0(舍去)，q=2或q=2。故an=(2)nT或an=2n(2)若an=(2)nT,則$=錯(cuò)誤！。由Sm=63得(2)m=188，此方程沒有正整數(shù)解.若an=2nT,則Sn=2n1.由Sm=63得2m=64,解得m=6。綜上，6.數(shù)歹lan的前n項(xiàng)和是Sn,且S+錯(cuò)誤！an=1,數(shù)列bn,Cn滿足bn=10g3錯(cuò)誤！，Cn錯(cuò)誤！.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和為Tn,若不等式Tnm對任意的正整數(shù)n恒成立，求m的取值范圍.解：(1)由題意得Sn+錯(cuò)誤！an=1,Sn+1+錯(cuò)誤！an+1=1,一可得an+1+錯(cuò)誤！an+1錯(cuò)誤！a=0,即an+1錯(cuò)誤！ano當(dāng)n=1時(shí)，S+錯(cuò)誤！

20、3=1，則a=錯(cuò)誤！。所以an是首項(xiàng)為錯(cuò)誤！，公比為錯(cuò)誤！的等比數(shù)歹I.因此an=錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！。因?yàn)閎n=log3錯(cuò)誤！=log332n=2n,Cn=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！.所以Tn=錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！.因?yàn)門nm對任意的正整數(shù)n恒成立，所以m錯(cuò)誤！。所以m的取值范圍是錯(cuò)誤！o18.(2019廣東重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知數(shù)列an是首項(xiàng)ai=錯(cuò)誤！，公比4=錯(cuò)誤！的等比數(shù)列，設(shè)bn+2=3log錯(cuò)誤！an(nCN*),數(shù)列Cn滿足Cn=anbn.(1)求證：數(shù)列bn為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和Sno解：(1)證明：由已知可得an=aqnT=錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！，所以bn+2=3log錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！=3n,所以bn=3n2,所以bn+1bn=3,b1=3x12=1,所以bn為等差數(shù)列，其中首項(xiàng)b1=1,公差d=3。(2)Cn=anbn=(3n2)X錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！，所以Sn=1X錯(cuò)誤！+4X錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！+7X錯(cuò)誤！錯(cuò)誤!+(3n2)x錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！，錯(cuò)誤！Sn=1x錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！+4X