2021-2022學(xué)年上海市普通高三最后一模數(shù)學(xué)試題含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷請考生注意：1請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的注意事項，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知復(fù)數(shù)，則（ ）ABCD2過拋物線的焦點作直線與拋物線在第一象限交于點A，與準(zhǔn)線在第三象限交于點B，過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為.若，則（ ）ABCD3已知點，是函數(shù)的函數(shù)圖像上的任意兩點，且在點處的切線與直線AB平行，則( )A，b為任意非零

2、實數(shù)B，a為任意非零實數(shù)Ca、b均為任意實數(shù)D不存在滿足條件的實數(shù)a，b4定義在上的偶函數(shù)，對，且，有成立，已知，則，的大小關(guān)系為（ ）ABCD5已知點是雙曲線上一點，若點到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD26已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項和，則（ ）A7B14C28D847某人2018年的家庭總收人為元，各種用途占比如圖中的折線圖，年家庭總收入的各種用途占比統(tǒng)計如圖中的條形圖，已知年的就醫(yī)費用比年的就醫(yī)費用增加了元，則該人年的儲畜費用為（ ）A元B元C元D元8設(shè)，滿足約束條件，若的最大值為，則的展開式中項的系數(shù)為( )A60B80C90D1209已知平面，直線滿

3、足，則“”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D即不充分也不必要條件10已知復(fù)數(shù)滿足，則=（ ）ABCD11已知，則（ ）A2BCD312一個幾何體的三視圖如圖所示，正視圖、側(cè)視圖和俯視圖都是由一個邊長為的正方形及正方形內(nèi)一段圓弧組成，則這個幾何體的表面積是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知，且，則_14記為數(shù)列的前項和.若，則_.15已知等差數(shù)列的前項和為，且，則_.16下表是關(guān)于青年觀眾的性別與是否喜歡綜藝“奔跑吧，兄弟”的調(diào)查數(shù)據(jù)，人數(shù)如下表所示：不喜歡喜歡男性青年觀眾4010女性青年觀眾3080現(xiàn)要在所有參與調(diào)查的人中用分層抽樣的

4、方法抽取個人做進一步的調(diào)研，若在“不喜歡的男性青年觀眾”的人中抽取了8人，則的值為_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.在以坐標(biāo)原點為極點、軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）若點在直線上，求直線的極坐標(biāo)方程；（2）已知，若點在直線上，點在曲線上，且的最小值為，求的值.18（12分）已知數(shù)列的前項和為，且點在函數(shù)的圖像上；（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足：，求的通項公式；（3）在第（2）問的條件下，若對于任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；19（12分）如圖，在三棱柱A

5、BCA1B1C1中，A1A平面ABC，ACB90，ACCBC1C1，M，N分別是AB，A1C的中點.（1）求證：直線MN平面ACB1；（2）求點C1到平面B1MC的距離.20（12分）已知函數(shù), （1）當(dāng)x0時，f（x）h（x）恒成立，求a的取值范圍；（2）當(dāng)x0時，研究函數(shù)F（x）=h（x）g（x）的零點個數(shù)；（3）求證：（參考數(shù)據(jù)：ln1.10.0953）21（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為.（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求的普通方程及的直角坐標(biāo)方程；（2）求曲線上的點到距離的取值范圍.22（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知

6、橢圓的左、右頂點分別為、，焦距為2，直線與橢圓交于兩點（均異于橢圓的左、右頂點）.當(dāng)直線過橢圓的右焦點且垂直于軸時，四邊形的面積為6.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的斜率分別為.若，求證：直線過定點；若直線過橢圓的右焦點，試判斷是否為定值，并說明理由.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1B【解析】利用復(fù)數(shù)除法、加法運算，化簡求得，再求得【詳解】，故.故選：B【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的除法運算、加法運算，考查復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.2C【解析】需結(jié)合拋物線第一定義和圖形，得為等腰三角形，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點為，過點作，

7、再由三角函數(shù)定義和幾何關(guān)系分別表示轉(zhuǎn)化出，結(jié)合比值與正切二倍角公式化簡即可【詳解】如圖，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點為，過點作.由拋物線定義知，所以，所以.故選：C【點睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，三角函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中檔題3A【解析】求得的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合兩點斜率公式和兩直線平行的條件：斜率相等，化簡可得，為任意非零實數(shù).【詳解】依題意，在點處的切線與直線AB平行，即有，所以，由于對任意上式都成立，可得，為非零實數(shù).故選：A【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用，求切線的斜率，考查兩點的斜率公式，以及化簡運算能力，屬于中檔題4A【解析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性即可判斷.【詳解】解：對，且，

8、有在上遞增因為定義在上的偶函數(shù)所以在上遞減又因為，所以故選：A【點睛】考查偶函數(shù)的性質(zhì)以及單調(diào)性的應(yīng)用，基礎(chǔ)題.5A【解析】設(shè)點的坐標(biāo)為，代入橢圓方程可得，然后分別求出點到兩條漸近線的距離，由距離之積為，并結(jié)合，可得到的齊次方程，進而可求出離心率的值.【詳解】設(shè)點的坐標(biāo)為，有，得.雙曲線的兩條漸近線方程為和，則點到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為，所以，則，即，故，即，所以.故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的離心率，構(gòu)造的齊次方程是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.6D【解析】利用等差數(shù)列的通項公式，可求解得到，利用求和公式和等差中項的性質(zhì)，即得解【詳解】，解得故選：D【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項

9、公式、求和公式和等差中項，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.7A【解析】根據(jù) 2018年的家庭總收人為元，且就醫(yī)費用占 得到就醫(yī)費用，再根據(jù)年的就醫(yī)費用比年的就醫(yī)費用增加了元，得到年的就醫(yī)費用，然后由年的就醫(yī)費用占總收人，得到2019年的家庭總收人再根據(jù)儲畜費用占總收人求解.【詳解】因為2018年的家庭總收人為元，且就醫(yī)費用占 所以就醫(yī)費用因為年的就醫(yī)費用比年的就醫(yī)費用增加了元，所以年的就醫(yī)費用元，而年的就醫(yī)費用占總收人所以2019年的家庭總收人為而儲畜費用占總收人所以儲畜費用：故選：A【點睛】本題主要考查統(tǒng)計中的折線圖和條形圖的應(yīng)用，還考查了建模解模的能力，屬于基礎(chǔ)題

10、.8B【解析】畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到，再利用二項式定理計算得到答案.【詳解】如圖所示：畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，即，故表示直線與截距的倍，根據(jù)圖像知：當(dāng)時，的最大值為，故.展開式的通項為：，取得到項的系數(shù)為：.故選：.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃求最值，二項式定理，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.9A【解析】，是相交平面，直線平面，則“” “”，反之，直線滿足，則或/或平面，即可判斷出結(jié)論【詳解】解：已知直線平面，則“” “”，反之，直線滿足，則或/或平面， “”是“”的充分不必要條件故選：A.【點睛】本題考查了線面和面面垂直的判定與性質(zhì)定理、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計

11、算能力10B【解析】利用復(fù)數(shù)的代數(shù)運算法則化簡即可得到結(jié)論.【詳解】由，得，所以，.故選：B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題.11A【解析】利用分段函數(shù)的性質(zhì)逐步求解即可得答案【詳解】，；故選：【點睛】本題考查了函數(shù)值的求法，考查對數(shù)的運算和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，解題時注意函數(shù)性質(zhì)的合理應(yīng)用12C【解析】畫出直觀圖，由球的表面積公式求解即可【詳解】這個幾何體的直觀圖如圖所示，它是由一個正方體中挖掉個球而形成的，所以它的表面積為.故選：C【點睛】本題考查三視圖以及幾何體的表面積的計算，考查空間想象能力和運算求解能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分

12、，共20分。13【解析】試題分析：因,故,所以，,應(yīng)填.考點：三角變換及運用141【解析】由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列是以16為首項，以為公比的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的前項和公式求解【詳解】由，得，且，則，即數(shù)列是以16為首項，以為公比的等比數(shù)列，則故答案為：1【點睛】本題主要考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的前項和，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平15【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式求得的值.【詳解】因為為等差數(shù)列，所以，解得，所以.故答案為：【點睛】本小題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，前項和公式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，應(yīng)用意識.1632【解析】由已知可得抽取的比例，計算

13、出所有被調(diào)查的人數(shù)，再乘以抽取的比例即為分層抽樣的樣本容量.【詳解】由題可知，抽取的比例為，被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為人，則分層抽樣的樣本容量是人.故答案為：32【點睛】本題考查分層抽樣中求樣本容量，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）（2）【解析】（1）利用消參法以及點求解出的普通方程，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化求解出直線的極坐標(biāo)方程；（2）將的坐標(biāo)設(shè)為，利用點到直線的距離公式結(jié)合三角函數(shù)的有界性，求解出取最小值時對應(yīng)的值.【詳解】（1）消去參數(shù)得普通方程為，將代入，可得，即所以的極坐標(biāo)方程為（2）的直角坐標(biāo)方程為直線的直角坐標(biāo)方程設(shè)的直角坐標(biāo)為在直線上

14、，的最小值為到直線的距離的最小值，當(dāng)，時取得最小值即，【點睛】本題考查直線的參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程的互化以及根據(jù)曲線上一點到直線距離的最值求參數(shù)，難度一般.（1）直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化公式：；（2）求解曲線上一點到直線的距離的最值，可優(yōu)先考慮將點的坐標(biāo)設(shè)為參數(shù)方程的形式，然后再去求解.18（1）（2）當(dāng)n為偶數(shù)時，；當(dāng)n為奇數(shù)時，.（3）【解析】（1）根據(jù),討論與兩種情況,即可求得數(shù)列的通項公式;（2）由（1）利用遞推公式及累加法,即可求得當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時的通項公式.也可利用數(shù)學(xué)歸納法,先猜想出通項公式,再用數(shù)學(xué)歸納法證明.（3）分類討論,當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時,分別求得的最大值,即可求

15、得的取值范圍.【詳解】（1）由題意可知,.當(dāng)時,當(dāng)時,也滿足上式.所以.（2）解法一：由（1）可知,即.當(dāng)時,當(dāng)時,所以,當(dāng)時,當(dāng)時,所以,當(dāng)時,n為偶數(shù)當(dāng)時,n為偶數(shù)所以以上個式子相加,得.又,所以當(dāng)n為偶數(shù)時,.同理,當(dāng)n為奇數(shù)時,所以,當(dāng)n為奇數(shù)時,.解法二：猜測：當(dāng)n為奇數(shù)時,.猜測：當(dāng)n為偶數(shù)時,.以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：,命題成立；假設(shè)當(dāng)時,命題成立；當(dāng)n為奇數(shù)時,當(dāng)時,n為偶數(shù),由得故,時,命題也成立.綜上可知, 當(dāng)n為奇數(shù)時同理,當(dāng)n為偶數(shù)時,命題仍成立.（3）由（2）可知.當(dāng)n為偶數(shù)時,所以隨n的增大而減小從而當(dāng)n為偶數(shù)時,的最大值是.當(dāng)n為奇數(shù)時,所以隨n的增大而增大,且.綜

16、上,的最大值是1.因此,若對于任意的,不等式恒成立,只需,故實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查了累加法求數(shù)列通項公式的應(yīng)用,分類討論奇偶項的通項公式及求和方法,數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的應(yīng)用,數(shù)列的單調(diào)性及參數(shù)的取值范圍,屬于難題.19（1）證明見解析.（2）【解析】（1）連接AC1，BC1，結(jié)合中位線定理可證MNBC1，再結(jié)合線面垂直的判定定理和線面垂直的性質(zhì)分別求證ACBC1，BC1B1C，即可求證直線MN平面ACB1；（2）作交于點，通過等體積法，設(shè)C1到平面B1CM的距離為h，則有，結(jié)合幾何關(guān)系即可求解【詳解】（1）證明：連接AC1，BC1，則NAC1且N為AC1的中點；M是AB的中點.所以

17、：MNBC1；A1A平面ABC，AC平面ABC，A1AAC，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1CC，ACCC1，ACB90，BCCC1C，BC平面BB1C1C，CC1平面BB1C1C，AC平面BB1C1C，BC平面BB1C1C，ACBC1；又MNBC1ACMN，CBC1C1，四邊形BB1C1C正方形，BC1B1C，MNB1C，而ACB1CC，且AC平面ACB1，CB1平面ACB1，MN平面ACB1，（2）作交于點，設(shè)C1到平面B1CM的距離為h，因為MP，所以MP，因為CM，B1C；B1M，所以所以：CMB1M.因為，所以，解得所以點，到平面的距離為 【點睛】本題主要考查面面垂直的證明以及點

18、到平面的距離，一般證明面面垂直都用線面垂直轉(zhuǎn)化為面面垂直，而點到面的距離常用體積轉(zhuǎn)化來求，屬于中檔題20（1）；（2）見解析；（3）見解析【解析】（1）令H（x）=h（x）f（x）=ex1aln（x+1）（x0），求得導(dǎo)數(shù)，討論a1和a1，判斷導(dǎo)數(shù)的符號，由恒成立思想可得a的范圍；（2）求得F（x）=h（x）g（x）的導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，判斷F（x）的單調(diào)性，討論a1，a1，F(xiàn)（x）的單調(diào)性和零點個數(shù)；（3）由（1）知，當(dāng)a=1時，ex1+ln（x+1）對x0恒成立，令；由（2）知，當(dāng)a=1時，對x0恒成立，令，結(jié)合條件，即可得證【詳解】（）解：令H（x）=h（x）f（x）=ex1aln（x+1）

19、（x0），則，若a1，則，H（x）0，H（x）在0，+）遞增，H（x）H（0）=0，即f（x）h（x）在0，+）恒成立，滿足，所以a1； 若a1，H（x）=ex在0，+）遞增，H（x）H（0）=1a，且1a0，且x+時，H（x）+，則x0（0，+），使H（x0）=0進而H（x）在0，x0）遞減，在（x0，+）遞增，所以當(dāng)x（0，x0）時H（x）H（0）=0，即當(dāng)x（0，x0）時，f（x）h（x），不滿足題意，舍去；綜合，知a的取值范圍為（，1（）解：依題意得，則F（x）=exx2+a，則F（x）=ex2x0在（，0）上恒成立，故F（x）=exx2+a在（，0）遞增，所以F（x）F（0）=1+a

20、，且x時，F(xiàn)（x）；若1+a0，即a1，則F（x）F（0）=1+a0，故F（x）在（，0）遞減，所以F（x）F（0）=0，F(xiàn)（x）在（，0）無零點； 若1+a0，即a1，則使，進而F（x）在遞減，在遞增，且x時，F(xiàn)（x）在上有一個零點，在無零點，故F（x）在（，0）有一個零點綜合，當(dāng)a1時無零點；當(dāng)a1時有一個零點（）證明：由（）知，當(dāng)a=1時，ex1+ln（x+1）對x0恒成立，令，則即； 由（）知，當(dāng)a=1時，對x0恒成立，令，則，所以；故有【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)零點存在定理的運用，考查分類討論思想方法，以及運算能力和推理能力，屬于難題對于函數(shù)的零點問題，它和方程的根的問題，和兩個函數(shù)的交點問題是同一個問題，可以互相轉(zhuǎn)化；在轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點時，如果是一個常函數(shù)一個含自