2021-2022學(xué)年遼寧省沈陽市高三考前熱身數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回2答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用05毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置3請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符4作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效5如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

2、要求的。1已知向量滿足,且與的夾角為,則( )ABCD2雙曲線：（），左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，則雙曲線的漸近線方程為（ ）ABCD3五名志愿者到三個不同的單位去進(jìn)行幫扶，每個單位至少一人，則甲、乙兩人不在同一個單位的概率為（ ）ABCD4的展開式中的項(xiàng)的系數(shù)為（ ）A120B80C60D405已知雙曲線的漸近線方程為，且其右焦點(diǎn)為，則雙曲線的方程為（ ）ABCD6已知，滿足，且的最大值是最小值的4倍，則的值是（ ）A4BCD7網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1單位長度，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（ ）A1BC3D48已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

3、）ABCD9將函數(shù)的圖像向左平移個單位得到函數(shù)的圖像，則的最小值為（ ）ABCD10已知函數(shù)（）的部分圖象如圖所示，且，則的最小值為（ ）ABCD11以下關(guān)于的命題，正確的是A函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B直線需是函數(shù)圖象的一條對稱軸C點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個對稱中心D將函數(shù)圖象向左平移需個單位，可得到的圖象12復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13在四棱錐中，底面為正方形，面分別是棱的中點(diǎn)，過的平面交棱于點(diǎn)，則四邊形面積為_.14在三棱錐P-ABC中，三個側(cè)面與底面所成的角均為，三棱錐的內(nèi)切球的表面積為_.1

4、5已知等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，若，則_.16已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有且只有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)，常數(shù)），曲線的極坐標(biāo)方程是.（1）寫出的普通方程及的直角坐標(biāo)方程，并指出是什么曲線；（2）若直線與曲線，均相切且相切于同一點(diǎn)，求直線的極坐標(biāo)方程.18（12分）已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（2）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，求證：函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)19（12分）已知函數(shù)，.（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（

5、2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）判斷函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).20（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，過的直線與曲線相交于，兩點(diǎn).（1）若的斜率為2，求的極坐標(biāo)方程和曲線的普通方程；（2）求的值.21（12分）設(shè)為實(shí)數(shù),已知函數(shù),（1）當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（2）設(shè)為實(shí)數(shù),若不等式對任意的及任意的恒成立,求的取值范圍;（3）若函數(shù)（,）有兩個相異的零點(diǎn),求的取值范圍22（10分）新型冠狀病毒肺炎疫情發(fā)生以來，電子購物平臺成為人們的熱門選擇.為提高市場銷售業(yè)績，某公司設(shè)計(jì)了一套產(chǎn)品促銷方案，并在某地區(qū)部分營銷網(wǎng)點(diǎn)進(jìn)行試點(diǎn).

6、運(yùn)作一年后，對“采用促銷”和“沒有采用促銷”的營銷網(wǎng)點(diǎn)各選取了50個，對比上一年度的銷售情況，分別統(tǒng)計(jì)了它們的年銷售總額，并按年銷售總額增長的百分點(diǎn)分成5組：，分別統(tǒng)計(jì)后制成如圖所示的頻率分布直方圖，并規(guī)定年銷售總額增長10個百分點(diǎn)及以上的營銷網(wǎng)點(diǎn)為“精英店”.（1）請你根據(jù)題中信息填充下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“精英店與采用促銷活動有關(guān)”；采用促銷沒有采用促銷合計(jì)精英店非精英店合計(jì)5050100（2）某“精英店”為了創(chuàng)造更大的利潤，通過分析上一年度的售價 (單位：元)和日銷量 (單位：件) 的一組數(shù)據(jù)后決定選擇 作為回歸模型進(jìn)行擬合.具體數(shù)據(jù)如下表，表中的 ：根據(jù)上表數(shù)據(jù)計(jì)算的值；

7、已知該公司成本為10元/件，促銷費(fèi)用平均5元/件，根據(jù)所求出的回歸模型，分析售價定為多少時日利潤可以達(dá)到最大.附：附：對應(yīng)一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1A【解析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則展開后利用數(shù)量積的性質(zhì)即可.【詳解】.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2B【解析】首先求得雙曲線的一條漸近線方程，再利用左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，列方程即可求出，進(jìn)而求出漸近線的方程.【詳解】設(shè)左焦點(diǎn)為，一條漸近線的方程為，由左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，可得，

8、所以漸近線方程為，即為,故選：B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線的方程，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題.3D【解析】三個單位的人數(shù)可能為2，2，1或3，1，1，求出甲、乙兩人在同一個單位的概率，利用互為對立事件的概率和為1即可解決.【詳解】由題意，三個單位的人數(shù)可能為2，2，1或3，1，1；基本事件總數(shù)有種，若為第一種情況，且甲、乙兩人在同一個單位，共有種情況；若為第二種情況，且甲、乙兩人在同一個單位，共有種，故甲、乙兩人在同一個單位的概率為，故甲、乙兩人不在同一個單位的概率為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率公式的計(jì)算，涉及到排列與組合的應(yīng)用，在正面情況較多時，可以先求其對立事件

9、，即甲、乙兩人在同一個單位的概率，本題有一定難度.4A【解析】化簡得到，再利用二項(xiàng)式定理展開得到答案.【詳解】展開式中的項(xiàng)為.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.5B【解析】試題分析：由題意得，所以，所求雙曲線方程為考點(diǎn)：雙曲線方程.6D【解析】試題分析：先畫出可行域如圖：由，得，由，得，當(dāng)直線過點(diǎn)時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，最大值為3；當(dāng)直線過點(diǎn)時，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，最小值為3a；由條件得，所以，故選D.考點(diǎn)：線性規(guī)劃.7A【解析】采用數(shù)形結(jié)合，根據(jù)三視圖可知該幾何體為三棱錐，然后根據(jù)錐體體積公式，可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)三視圖可知：該幾何體為三棱錐如圖該幾何體為三棱錐，

10、長度如上圖所以所以所以故選：A【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三視圖求直觀圖的體積，熟悉常見圖形的三視圖：比如圓柱，圓錐，球，三棱錐等；對本題可以利用長方體，根據(jù)三視圖刪掉沒有的點(diǎn)與線，屬中檔題.8A【解析】由已知可得，根據(jù)二倍角公式即可求解.【詳解】角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)定義、二倍角公式，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.9B【解析】根據(jù)三角函數(shù)的平移求出函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到，此時與函數(shù)的圖象重合，則，即，當(dāng)時，取得最小值為，故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，

11、利用三角函數(shù)的平移關(guān)系求出解析式是解決本題的關(guān)鍵10A【解析】是函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)五點(diǎn)法求出圖中零點(diǎn)及軸左邊第一個零點(diǎn)可得【詳解】由題意，函數(shù)在軸右邊的第一個零點(diǎn)為，在軸左邊第一個零點(diǎn)是，的最小值是故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期性，考查函數(shù)的對稱性函數(shù)的零點(diǎn)就是其圖象對稱中心的橫坐標(biāo)11D【解析】利用輔助角公式化簡函數(shù)得到，再逐項(xiàng)判斷正誤得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，函數(shù)先增后減，錯誤B選項(xiàng)，不是函數(shù)對稱軸，錯誤C選項(xiàng)，不是對稱中心，錯誤D選項(xiàng)，圖象向左平移需個單位得到，正確故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，對稱軸，對稱中心，平移，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，其中化

12、簡三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.12B【解析】設(shè),則,可得,即可得到,進(jìn)而找到對應(yīng)的點(diǎn)所在象限.【詳解】設(shè),則,所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)為,在第二象限.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在象限,考查復(fù)數(shù)的模,考查運(yùn)算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】設(shè)是中點(diǎn)，由于分別是棱的中點(diǎn)，所以，所以，所以四邊形是平行四邊形.由于平面，所以，而，所以平面，所以.由于，所以，也即，所以四邊形是矩形. 而.從而.故答案為：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間平面圖形面積的計(jì)算，考查線面垂直的判定，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.14【解析】先確定頂點(diǎn)在底面的射影，

13、再求出三棱錐的高以及各側(cè)面三角形的高，利用各個面的面積和乘以內(nèi)切球半徑等于三棱錐的體積的三倍即可解決.【詳解】設(shè)頂點(diǎn)在底面上的射影為H，H是三角形ABC的內(nèi)心，內(nèi)切圓半徑.三個側(cè)面與底面所成的角均為，的高，設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，內(nèi)切球表面積.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐內(nèi)切球的表面積問題，考查學(xué)生空間想象能力，本題解題關(guān)鍵是找到內(nèi)切球的半徑，是一道中檔題.15【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)，且，可得，解得，進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】設(shè)公差為，因?yàn)?，所以，所以，所?故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.16【解析】畫出函數(shù)的圖象，再畫的圖象，求出一個交點(diǎn)

14、時的的值，然后平行移動可得有兩個交點(diǎn)時的的范圍【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示：因?yàn)榉匠逃星抑挥袃蓚€不相等的實(shí)數(shù)根，所以圖象與直線有且只有兩個交點(diǎn)即可，當(dāng)過點(diǎn)時兩個函數(shù)有一個交點(diǎn)，即時，與函數(shù)有一個交點(diǎn)，由圖象可知，直線向下平移后有兩個交點(diǎn)，可得，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程的跟與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1），表示以為圓心為半徑的圓；為拋物線；（2）【解析】（1）消去參數(shù)的直角坐標(biāo)方程，利用，即得的直角坐標(biāo)方程；（2）由直線與拋物線相切，求導(dǎo)可得切線斜率，再由直線與圓相切，故切線與圓心與切點(diǎn)連線垂直，

15、可求解得到切點(diǎn)坐標(biāo)，即得解.【詳解】（1）消去參數(shù)的直角坐標(biāo)方程為：.的極坐標(biāo)方程.，.當(dāng)時表示以為圓心為半徑的圓；為拋物線.（2）設(shè)切點(diǎn)為，由于，則切線斜率為，由于直線與圓相切，故切線與圓心與切點(diǎn)連線垂直，故有，直線的直角坐標(biāo)方程為，所以的極坐標(biāo)方程為.【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)，參數(shù)方程綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.18見解析【解析】（1）當(dāng)時，函數(shù)，其定義域?yàn)?，則，設(shè)，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，即；當(dāng)時，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，為，無極大值（2）由題可得函數(shù)的定義域?yàn)?，設(shè)，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，所以函

16、數(shù)在內(nèi)有一個零點(diǎn)，所以函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)；當(dāng)時，所以函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)，所以函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)；當(dāng)時，因?yàn)椋?，又，所以函?shù)在內(nèi)有一個零點(diǎn)，所以函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)綜上，函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)19（1）（2）答案見解析（3）答案見解析【解析】（1）設(shè)曲線在點(diǎn)，處的切線的斜率為，可求得，利用直線的點(diǎn)斜式方程即可求得答案；（2）由（）知，分時，三類討論，即可求得各種情況下的的單調(diào)區(qū)間為；（3）分與兩類討論，即可判斷函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)【詳解】（1），設(shè)曲線在點(diǎn)，處的切線的斜率為，則，又，曲線在點(diǎn)，處的切線方程為：，即；（2）由（1）知，故當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，；，；的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為

17、，；當(dāng)時，同理可得的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，；綜上所述，時，單調(diào)遞增為，無遞減區(qū)間；當(dāng)時，的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，；當(dāng)時，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，；（3）當(dāng)時，恒成立，所以無零點(diǎn)；當(dāng)時，由，得：，只有一個零點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想與推理、運(yùn)算能力，屬于中檔題20（1）：，：；（2）【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線的直角坐標(biāo)方程，并轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，利用，將曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程.（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，結(jié)合直線參數(shù)的幾何意義以及根與系數(shù)關(guān)系，求得的值.【詳解】（1）的直角坐標(biāo)方程為，即，則的極坐標(biāo)

18、方程為.曲線的普通方程為.（2）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為的傾斜角），代入曲線的普通方程，得. 設(shè)，對應(yīng)的參數(shù)分別為，所以，在的兩側(cè).則.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)，考查參數(shù)方程化為普通方程，考查直線參數(shù)方程，考查直線參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.21（1）函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為;單調(diào)增區(qū)間為（2）（3）【解析】（1）據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出;（2）分離參數(shù),可得對任意的及任意的恒成立,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可求出的范圍;（3）先求導(dǎo),再分類討論,根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性以及最值得關(guān)系即可求出的范圍【詳解】解：（1）當(dāng)時,因?yàn)?當(dāng)時,;當(dāng)時,所以函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為;單調(diào)增區(qū)間為（2）由,得,由于,所以對任意的及任意的恒成立,由于,所以,所以對任意的恒成立,設(shè),則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,所以（3）由,得,其中若時,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)至多有一個零點(diǎn),不合題意;若時,令,得由第（2）小題,知：當(dāng)時,所以,所以,所以當(dāng)時,函數(shù)的值域?yàn)樗?存在,使得,即, 且當(dāng)時,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減因?yàn)楹瘮?shù)有兩個零點(diǎn),所以設(shè),則,所以函數(shù)在單調(diào)遞增,由于,所以當(dāng)時,所以,式中的,又由式