2022-2023學年遼寧省鞍山市高三上學期第一次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題（解析版）

1、PAGE 鞍山市普通高中20222023學年度高三第一次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學考試時間：120分鐘 滿分：150分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 如果，那么在復平面內(nèi)，復數(shù)所對應的點位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限2. 已知集合，則集合的子集個數(shù)為（ ）A. 1B. 2C. 3D. 43. “冪函數(shù)在上為增函數(shù)”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（ ）條件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要4. 拋物線的焦點坐標為（ ）A. B. C. D. 5. 函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（ ）A

2、. B. C. D. 6. 如圖，某加工廠要在一圓柱體材料中打磨出一個直三棱柱模具，已知該圓柱底面圓面積為，高為6，則能截得直三棱柱體積最大為（ ）A B. C. D. 7. 標準對數(shù)視力表（如圖）采用的“五分記錄法”是我國獨創(chuàng)的視力記錄方式.標準對數(shù)視力表各行為正方形“E”字視標，且從視力5.1的視標所在行開始往上，每一行“E”的邊長都是下方一行“E”的邊長的倍，若視力4.0的視標邊長為，則視力4.9的視標邊長為（ ）A. B. C. D. 8. 權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個變化，在求二元變量最值時有很廣泛的應用，其表述如下：設a，b，x，y0，則，當且僅當時等號成立根據(jù)權(quán)方和不等式，函

3、數(shù)的最小值為（ ）A 16B. 25C. 36D. 49二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9. 設函數(shù)在處的導數(shù)存在，則（ ）.A B. C. D. 10. 針對當下的“抖音熱”，某校團委對“學生性別和喜歡抖音是否有關(guān)”做了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，男生喜歡抖音的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡抖音的人數(shù)占女生人數(shù)的，若有的把握認為是否喜歡抖音和性別有關(guān)，則調(diào)查人數(shù)中男生有可能（ ）附：A. B. C. D. 11. 在平面直角坐標系中，點滿足，設點的軌跡為，則（ ）A. 的周

4、長為B. （不重合時）平分C. 面積的最大值為6D. 當時，直線與軌跡相切12. 已知函數(shù)，為的導函數(shù)，則下列說法正確的是( )A. 當時，在單調(diào)遞增B. 當時，在處的切線方程為C. 當時，在上至少有一個零點D. 當時，在上不單調(diào)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 的展開式中的系數(shù)為_.14. 的值為_.15. 根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗具有如下的效果：若以表示事件“試驗反應為陽性”，以表示事件“被診斷者患有癌癥”，則有，.現(xiàn)在對自然人群進行普查，設被試驗的人患有癌癥的概率為，即，則_.16. 若實數(shù)，滿足，則的最小值為_.四、解答題：本題共6小題，共70分.解

5、答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. 已知等差數(shù)列滿足首項為的值，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和.18. 在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.（1）求角B；（2）若，的面積為，求的周長.19. 如圖，已知正三棱柱中，所有棱長均為2，點E，F(xiàn)分別為棱，的中點.（1）求與平面AEF所成角正弦值；（2）過A、E、F三點作一個平面，則平面AEF與平面有且只有一條公共直線：這一結(jié)論可以通過空間中關(guān)于平面的一條基本事實（也稱為公理）得出，請寫出該基本事實的內(nèi)容；求這條公共直線在正三棱柱底面內(nèi)部的線段長度.20. 北京時間2022年7月25日3時13分，問天實驗艙成功

6、對接于天和核心艙前向端口，2022年7月25日10時03分，神舟十四號航天員乘組成功開啟問天實驗艙艙門，順利進入問天實驗艙.8月，中國空間站第2個實驗艙段夢天實驗艙已運抵文昌航天發(fā)射場，計劃10月發(fā)射.中國空間站“天宮”即將正式完成在軌建造任務，成為長期有人照料的國家級太空實驗室，支持開展大規(guī)模、多學科交叉的空間科學實驗.為普及空間站相關(guān)知識，某部門門組織了空間站模擬編程闖關(guān)活動，它是由太空發(fā)射、自定義漫游、全尺寸太陽能、空間運輸?shù)?0個相互獨立的程序題目組成.規(guī)則是：編寫程序能夠正常運行即為程序正確.每位參賽者從10個不同的題目中隨機選擇3個進行編程，全部結(jié)束后提交評委測試，若其中2個及以上

7、程序正確即為闖關(guān)成功.現(xiàn)已知10個程序中，甲只能正確完成其中6個，乙正確完成每個程序的概率為0.6，每位選手每次編程都互不影響.（1）求乙闖關(guān)成功的概率；（2）求甲編寫程序正確的個數(shù)X的分布列和期望，并判斷甲和乙誰闖關(guān)成功的可能性更大.21. 在平面直角坐標系xOy中，點B與點關(guān)于原點對稱，P是動點，且直線AP與BP斜率之積等于.（1）求動點P的軌跡方程，并注明x的范圍；（2）設直線AP與BP分別與直線交于M，N，問是否存在點P使得與面積相等？若存在，求出點P的坐標，若不存在，說明理由.22. 已知函數(shù)（），.（1）求函數(shù)的極值點； （2）若恒成立，求的取值范圍. 鞍山市普通高中2022202

8、3學年度高三第一次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學考試時間：120分鐘 滿分：150分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 如果，那么在復平面內(nèi)，復數(shù)所對應的點位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限【答案】D【解析】【分析】先計算出，然后判斷其所象限，即可求解【詳解】由可得，復數(shù)所對應的點位于第四象限.故選：D2. 已知集合，則集合的子集個數(shù)為（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】首先解指數(shù)不等式得到，即可得到，再求子集個數(shù)即可.【詳解】，則，子集的個數(shù)為，故選：D3. “冪函數(shù)在上為增函

9、數(shù)”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（ ）條件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】要使函數(shù)是冪函數(shù)，且在上為增函數(shù)，求出，可得函數(shù)為奇函數(shù)，即充分性成立；函數(shù)為奇函數(shù)，求出，故必要性不成立，可得答案.【詳解】要使函數(shù)是冪函數(shù)，且在上為增函數(shù)，則，解得：，當時，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，即充分性成立；“函數(shù)為奇函數(shù)”，則，即，解得：，故必要性不成立，故選：A4. 拋物線的焦點坐標為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線的標準方程以及焦點坐標求解即可【詳解】由題意，拋物線的焦點坐標為故選：C5. 函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（ ）A. B

10、. C. D. 【答案】A【解析】【分析】要求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，即求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出答案.【詳解】，要求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，即求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.令，所以.故選：A.6. 如圖，某加工廠要在一圓柱體材料中打磨出一個直三棱柱模具，已知該圓柱底面圓面積為，高為6，則能截得直三棱柱體積最大為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直三棱柱的定義及三角形的面積公式，再利用正弦定理及三元基本不等式，結(jié)合棱柱的體積公式即可求解.【詳解】由題意可知，設底面圓的半徑為，則,解得.因為直三棱柱的定義可知，要使能截得直三棱柱體積最大，只需要圓的內(nèi)接三角形面積最大即可

11、，.當且僅當，即時。等號成立，所以三角形是正三角形時，圓的內(nèi)接三角形面積最大，.所以能截得直三棱柱體積最大為.故選：B.7. 標準對數(shù)視力表（如圖）采用的“五分記錄法”是我國獨創(chuàng)的視力記錄方式.標準對數(shù)視力表各行為正方形“E”字視標，且從視力5.1的視標所在行開始往上，每一行“E”的邊長都是下方一行“E”的邊長的倍，若視力4.0的視標邊長為，則視力4.9的視標邊長為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由等比數(shù)列的通項公式計算【詳解】設第行視標邊長為，第行視標邊長為，由題意可得，則，則數(shù)列為首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，則視力4.9的視標邊長為，故選：D.8. 權(quán)方和不等式

12、作為基本不等式的一個變化，在求二元變量最值時有很廣泛的應用，其表述如下：設a，b，x，y0，則，當且僅當時等號成立根據(jù)權(quán)方和不等式，函數(shù)的最小值為（ ）A. 16B. 25C. 36D. 49【答案】B【解析】【分析】將給定函數(shù)式表示成已知不等式的左邊形式，再利用該不等式求解作答.【詳解】因a，b，x，y0，則，當且僅當時等號成立，又，即，于是得，當且僅當，即時取“=”，所以函數(shù)的最小值為25.故選：B二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9. 設函數(shù)在處的導數(shù)存在，則（ ）.A. B.

13、 C. D. 【答案】BC【解析】【分析】由導數(shù)的定義得出，.【詳解】因為函數(shù)在處的導數(shù)存在，所以，故B正確.又，所以C正確.故選：BC.10. 針對當下的“抖音熱”，某校團委對“學生性別和喜歡抖音是否有關(guān)”做了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，男生喜歡抖音的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡抖音的人數(shù)占女生人數(shù)的，若有的把握認為是否喜歡抖音和性別有關(guān)，則調(diào)查人數(shù)中男生有可能（ ）附：A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】先設男生人數(shù)為，列出列聯(lián)表，利用獨立性檢驗計算觀測值，再結(jié)合觀測值列關(guān)系即得答案【詳解】解：由題意被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，設男生的人數(shù)為：，由題意可列出列聯(lián)表：男生

14、女生合計喜歡鍛煉不喜歡鍛煉合計由于有的把握認為是否喜歡抖音和性別有關(guān)，所以；解得：，因為，故的可能取值為：9、10、11、12、13，即男生的人數(shù)可以是45，50，55，60，65.則選項中被調(diào)查學生中男生的人數(shù)可能45或60故選：BC.11. 在平面直角坐標系中，點滿足，設點的軌跡為，則（ ）A. 的周長為B （不重合時）平分C. 面積的最大值為6D. 當時，直線與軌跡相切【答案】ABD【解析】【分析】設，根據(jù)題意求得曲線的方程為，結(jié)合圓的周長公式，可判定A正確；求得，延長到，使，連結(jié)，得到，進而求得，可判定B正確；利用三角形的面積公式和圓的性質(zhì)，可判定C錯誤；不妨取，求得直線的方程，結(jié)合直

15、線與圓的位置關(guān)系的判定方法，即可求解.【詳解】設，因為，且點滿足，可得，整理得，即曲線的方程為對于A中，曲線為半徑為的圓，所以周長為，所以A正確；對于B中，因為，所以，所以，延長到，使，連結(jié)，如圖所示，因為，所以，所以，所以，因為，所以，所以，即平分，所以B正確對于C中，由的面積為，要使得的面積最大，只需最大，由由點的軌跡為，可得，所以面積的最大值為，所以C錯誤；對于D中，當時，或，不妨取，則直線，即，因為圓心到直線的距離為，所以，即直線與圓相切，所以D正確故選：ABD12. 已知函數(shù)，為的導函數(shù)，則下列說法正確的是( )A. 當時，在單調(diào)遞增B. 當時，在處的切線方程為C. 當時，在上至少有

16、一個零點D. 當時，在上不單調(diào)【答案】ABD【解析】【分析】A代入m1，求，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和正弦函數(shù)在上的值域即可判斷的正負，由此可判斷f(x)在上的單調(diào)性；B代入m1，求f(0)和，根據(jù)導數(shù)的幾何意義和直線的點斜式方程即可求切線方程；C代入m1，求，令，求，根據(jù)在上的正負判斷的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可判斷其在上是否有零點；D判斷在，上的正負，由此判斷的單調(diào)性，由此可判斷在，上有零點，故可判斷f(x)在，上不單調(diào)【詳解】當時，當x0時，1，1sinx1，0，f(x)在上單調(diào)遞增，故A正確；f(0)0，在處的切線方程為yx，故B正確；當m1時，令，則，當x0時，1，1cosx1，0，在上單調(diào)遞增，當x

17、0時，1，在上無零點，C錯誤；當，時，cosx0，0，0，在，單調(diào)遞增，又，而，由零點存在定理可知，存在唯一，使得，當，時，單調(diào)遞減，當，時，單調(diào)遞增，在，上不單調(diào)，故D正確故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 的展開式中的系數(shù)為_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項式展開式的通項特點即可求解.【詳解】的展開式中第四項為，故的系數(shù)為：，故答案為：14. 的值為_.【答案】1【解析】【分析】把拆成，然后利用公式進行化簡.【詳解】因，所以；故答案為：1.15. 根據(jù)以往臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗具有如下的效果：若以表示事件“試驗反應為陽性”，以表示事件“被診斷者患有

18、癌癥”，則有，.現(xiàn)在對自然人群進行普查，設被試驗的人患有癌癥的概率為，即，則_.【答案】【解析】【分析】先求，根據(jù)條件概率和全概率公式可得，代入計算即可.【詳解】因為，所以，因為，所以，所以由全概率公式可得，因為所以.故答案為：.16. 若實數(shù)，滿足，則的最小值為_.【答案】2【解析】【分析】把問題轉(zhuǎn)化為曲線上的點與上點的距離的平方，進一步轉(zhuǎn)化為點到直線的距離公式求解【詳解】解：因為，所以，即，令，設直線與曲線相切于點，由，得，則，由，解得或（舍去），所以，則到直線的距離而的幾何意義為曲線上的點與直線上點的距離的平方，則的最小值為故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明

19、、證明過程或演算步驟.17. 已知等差數(shù)列滿足首項為的值，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用對數(shù)的運算法則求得的首項，再利用等差數(shù)列的通項公式代入即可求解；（2）將（1）中代入，利用裂項求和法即可求得.【小問1詳解】根據(jù)題意得， ，因為數(shù)列是等差數(shù)列，設公差為，則由，得，解得，所以.【小問2詳解】由（1）可得，所以.18. 在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.（1）求角B；（2）若，的面積為，求的周長.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)兩角和的正弦公式化簡，結(jié)合正弦定理邊化角即可得，進而可求解，（2）根

20、據(jù)三角形面積公式以及可得，由余弦定理可求，進而可得周長.【小問1詳解】，.由正弦定理得，.【小問2詳解】的面積為，即，得，由余弦定理可得，三角形的周長為.19. 如圖，已知正三棱柱中，所有棱長均為2，點E，F(xiàn)分別為棱，的中點.（1）求與平面AEF所成角的正弦值；（2）過A、E、F三點作一個平面，則平面AEF與平面有且只有一條公共直線：這一結(jié)論可以通過空間中關(guān)于平面的一條基本事實（也稱為公理）得出，請寫出該基本事實的內(nèi)容；求這條公共直線在正三棱柱底面內(nèi)部的線段長度.【答案】（1） （2）如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線；【解析】【分析】（1）取AC中點O連接

21、OB，OF，以O為原點，OA，OB，OF為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，用空間向量法求線面角的正弦值；（2）由基本事實3可得，延長交延長線于點M，連接FM且.則FP即為所求，確定點位置，由余弦定理求得的長【小問1詳解】取AC中點O連接OB，OF，因為正三棱柱，F(xiàn)為的中點，與三棱柱的側(cè)棱平行，所以OA，OB，OF兩兩垂直，以O為原點，OA，OB，OF為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，所以，所以，設平面AEF的法向量，則，即，令，則，所以，設與平面AEF所成角為，則，所以與平面AEF所成角的正弦值為.【小問2詳解】基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只

22、有一條過該點的公共直線.如下圖，延長交延長線于點M，連接FM且.則FP即為所求.是中點，且，所以是的一條中位線，所以是中點，又是中點，所以是的重心，.由余弦定理可得：，.20. 北京時間2022年7月25日3時13分，問天實驗艙成功對接于天和核心艙前向端口，2022年7月25日10時03分，神舟十四號航天員乘組成功開啟問天實驗艙艙門，順利進入問天實驗艙.8月，中國空間站第2個實驗艙段夢天實驗艙已運抵文昌航天發(fā)射場，計劃10月發(fā)射.中國空間站“天宮”即將正式完成在軌建造任務，成為長期有人照料的國家級太空實驗室，支持開展大規(guī)模、多學科交叉的空間科學實驗.為普及空間站相關(guān)知識，某部門門組織了空間站模

23、擬編程闖關(guān)活動，它是由太空發(fā)射、自定義漫游、全尺寸太陽能、空間運輸?shù)?0個相互獨立的程序題目組成.規(guī)則是：編寫程序能夠正常運行即為程序正確.每位參賽者從10個不同的題目中隨機選擇3個進行編程，全部結(jié)束后提交評委測試，若其中2個及以上程序正確即為闖關(guān)成功.現(xiàn)已知10個程序中，甲只能正確完成其中6個，乙正確完成每個程序的概率為0.6，每位選手每次編程都互不影響.（1）求乙闖關(guān)成功的概率；（2）求甲編寫程序正確的個數(shù)X的分布列和期望，并判斷甲和乙誰闖關(guān)成功的可能性更大.【答案】（1） （2）分布列見解析，甲【解析】【分析】（1）根據(jù)獨立重復事件的概率公式即可求解，（2）根據(jù)超幾何分布的概率公式計算概率，即可得分布列，通過比較甲乙兩人闖關(guān)成功的概率大小，即可判斷誰的成功的可能性更大.【小問1詳解】乙正確完成2個程序或者3個程序則闖關(guān)成功，記乙闖關(guān)成功為事件A，則.【小問2詳解】由題意知隨機變量X所有可能取值為0，1，2，3，故X的分布列為X0123P所以.所以甲闖關(guān)成功的概率為，因為，所以甲比乙闖關(guān)成功的可能性大.21. 在平面直角坐標系xOy中，點B與點關(guān)于原點對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于.（1）求動點P