正項級數(shù)的常用審斂法和推廣比值審斂法的比較

1、正項級數(shù)的常用審斂法和推廣比值審斂法的比較摘 要 數(shù)項級數(shù)是數(shù)的加法從有限代數(shù)和到無限和的自然推廣.由于無限次相 加，許多有限次相加的性質(zhì)便在計算無限和時發(fā)生了改變.首先，有限次相加的 結(jié)果總是客觀存在的，而無限次相加則可能根本不存在有意義的結(jié)果。這就是說，一個級數(shù)可能是收斂或發(fā)散的.因而，判斷級數(shù)的斂散性問題常 常被看作級數(shù)的首要問題。在通常的微積分學教程中，審斂正項級數(shù)的斂散性有許多有效的方法，比如 達朗貝爾審斂法，拉貝審斂法等，本文就達朗貝爾審斂法和拉貝審斂法與幾個新 審斂法進行一些適當?shù)谋容^總結(jié)，另對其應用做一些舉例驗證。關鍵詞 數(shù)學分析正項級數(shù)推廣比值審斂法預備知識1.正項級數(shù)的定義

2、 如果級數(shù)考七的各項都是非負實數(shù)，即x 0,n = 1,2,則稱 n=1此級數(shù)為正項級數(shù)2.收斂定理正項級數(shù)收斂的充分必要條件是它的部分和數(shù)列有上界。若正項級數(shù)的部分和數(shù)列無上界，則其必發(fā)散到+8,=習1 1k 21-=ln四i k + -ln=ln2-In *2 0，若lim = L，當123nn* UnL1，級數(shù)發(fā)散，L=1，不能審斂。例 1 考慮級數(shù)尤X = - + - + + + + +, n 2 3 22322323n=1貝U limnX = lim2呷；=- ;nTs n nTs2nX 2lim Xn +1 = lim= +3 ；nT8 XnT3 2n+1nlimH = lim21

3、 = 0所以級數(shù)收斂 nT8 XnT8 3nn2.拉貝審斂法 U2.拉貝審斂法 U1 + U 2 + U 3 +U +U 0 ,若limn(1-幺+t) = L ,n* Un則當L1,級數(shù)發(fā)散，L=1,不能審斂。例2判斷級數(shù)1 +工斗牙、的斂散性 n=1 (2 n)!2例2判斷級數(shù)1 +解設(2n 1)!口 1解設X =I Jn(2 n)!2n +1limXn + = lim(2n + 方=1,(達朗貝爾審斂法不可用)n” Xn” (2n + 2)(2n + 3)nlim n(二-1) = lim 件 + 5)= 3 1ns Xns(2n + 1J22n+1 (2 (2 n 1)!口 12n

4、+1收斂常規(guī)審斂法的比較由以上兩種正向級數(shù)的審斂法我們不難看出，相對于達朗貝爾審斂法，拉貝 審斂法要更加精細，簡潔，這兩種審斂法中，達朗貝爾審斂法更為基礎，拉貝審 斂法的應用相比較之下更為廣泛。但是以上兩種審斂法只適用于那種收斂較快或發(fā)散較快的正項級數(shù)。但實際 上，這個審斂法之可能對那些與幾何級數(shù)的收斂速度或發(fā)散速度相當?shù)恼椉墧?shù)有效，而對正項級數(shù)ua來說，如果lim八=1時，則比值審斂法就無法對級 ans U數(shù)的斂散性作出審斂。例如，我們不難證明，當為數(shù)的斂散性作出審斂。例如，我們不難證明，當為n的有歷史時，總有alim= 1，也就是說此時比值判定法必定失效。這足以說明比值審斂法的應用 ns

5、 Ua范圍很窄，因此需要建立一些更細致因而也就更復雜的審斂法。其中，比較常用 的是下面的拉貝審斂法。拉貝審斂法：設ua是正項級數(shù)，如果limn（-1） = p那么，當p1時級數(shù)收 ans Ua+1斂：而當p1時級數(shù)發(fā)散。（此證明詳見數(shù)學分析教材）但是使用拉貝審斂法的時候，求拉貝數(shù)串n（土-1）的極限顯然一般要比求達朗 ua +1貝爾數(shù)串=的極限來的復雜。ua推廣比值審斂法：1.推廣比值審斂法法1（隔項比值審斂法）：設正項級數(shù)勺的項單調(diào)遞減，如果limL = p則p1時級數(shù)發(fā)散。 TOC o 1-5 h z n* U22a2.推廣比值審斂法2（雙比值審斂法）：對于正項級數(shù)七，如果 liniJ =

6、 liUe2a+-1= p那么，當p1時級數(shù)發(fā)散。 HYPERLINK l bookmark62 o Current Document nT3 U ns U22aa +1推論 對于正項級數(shù)u，如果limUa+1 = 1且limM = p存在，那么當p時級數(shù)發(fā)散。2由于這兩個審斂法法在內(nèi)容上又不少相似的地方，我們自然會考慮它們之間的關 系問題。為此先看一個具體例子。例3 討論級數(shù)史的斂散性n !en解：首先難驗算有l(wèi)im n = 1,所以達朗貝爾審斂法失效，考慮改用推廣比值審 ns U n斂法。先用隔項比值審斂法，因為e (1+ 1)n =史土，因此二 霧，即使 nnnn !en n + 1e+

7、i在利用斯特林公式n在利用斯特林公式n)nei2 n (00 1)，有 eu(2n)2n n!en(2n) “初-n!(2n) nenx-2kn -nne-n 1，計算過 ns umx ud2nn程與第一種方法相同。但免去了證明級數(shù)項的遞減性。由此可見，雖然雙比值審斂法比隔項審斂法的形式復雜，但是當對于正項數(shù) 級先試用達朗貝爾審斂法出現(xiàn)lim巳1 = 1的情況時，如果改用雙比值審斂法的推 ns u n論，可以不必考慮級數(shù)的項是否遞減。也就是說，這時雙比值審斂法的實用性更好一些。反之，當容易證明正項級數(shù)的項具有遞減性時以及M比L 的極限更 uu容易計算時，就適宜應用隔項比值審斂法。一般說來，這兩

8、種推廣比值審斂法不能互相代替，同時也難以比較它們的強弱。因為，如果lim壇=p且u遞減，則一般并不能推出lim存在并等于 ns unns unnp；反過來，如果limu2n = p =lim九+1 =p存在，則 u 并不一定遞減。ns uns unnn推廣比值審斂法與常規(guī)審斂法的比較我們知道，例3也可以用拉貝審斂法判定其發(fā)散性。因此我們自然要考慮上 面的推廣比值審斂法與拉貝審斂法之間的強弱問題。也就是要問，對給定的正項級數(shù)。如果能用某個推廣比值判定法判定斂散性，是否一定能用拉貝審斂法？或 者反過來，能用拉貝審斂法確定斂散性的正項級數(shù)是否必定可用前者判定法判 定。這一問題比較復雜，所以本文只給出

9、下面的一些結(jié)果。r -s命題 1 設u 0，如果 l i m- (- = pl-如 p 0，I Un+1+8+88 p +8 )-UE8 p +8 )l ian = n8 Un證明當8 證明當8 p 0，由條件，對一切充分大的n都有u ,、 一、l 1) u ,、 一、l 1) p + (1) u2n+1(1+ ) p 1則不難知道，量limn1 等n8_n于函數(shù)(1+ X)p在點x=0的導數(shù)，也就是數(shù)p 。因為p p -，所以對充分大的n，2(1+ 上)p- =(1+!)p 1+一2nnn有( 一 1 + 2 (1+ ) p -un nn+1同理，當n充分大時，有二 0充分小，由上述知有自然

10、數(shù)N，使對一切nN，有.1,1、, u . 1.(1+ ) p-s n (1+ ) p+sn unn+1.1,1、, u . 1.(1+ ) p-s n (1+ ) p+sn unn+1（1+ 土）P-6un+1un+2 (1+上)p+sn +1(1+) P-s2n -1u 2 n 1 u2n(1+) P+s2n -1以上n個不等式相乘后再倒數(shù)得 匕 2 p+su2 p-s注意到s得任意性取上式的極限得lim = -1 nr 0ns un時，有n(土 一 1) - M un + 1所以二 1 M，Mun+1 1 一n 2nu 1un+2n + 1M A M 1 一2n 1一衛(wèi) u 2n -1M

11、2n2nnT3又 因為 lim(1-州)n = lim(1 - 當) N 時有(1-竺)n e，此時 o 匕 0 , 3 自然數(shù) N = maxN , N ,當 nN 時，有 o 氏 (1-M) 0,則當n充分大時n8 Un +1有n(% -1) 0，從而有u u ，這 n+1從另一個側(cè)面說明了拉貝審斂法與隔項比值法具有一定的內(nèi)在聯(lián)系?？偨Y(jié):由以上可知，達朗貝爾審斂法和拉貝審斂法是正項級數(shù)常規(guī)判斂法中應用較 為廣泛，實用的兩種審斂法，自然對于正項級數(shù)來說還有很多的判斂方法，本文 只對達朗貝爾審斂法和拉貝審斂法這兩種較為經(jīng)典的審斂法與推廣比值審斂法 來進行對比總結(jié)。相對的來說，拉貝審斂法比達朗貝

12、爾審斂法更為實用，文上所給例2判斷級數(shù)的斂散性。 (2n-1)!口 1 n=12 2n +1的斂散性。(2n-1)! 1(2 n)!2n +1lim H = lim(2 n +1)2= 1n一8 Xn一8 (2n + 2)(2n + 3)n由此可見此時達朗貝爾審斂法已不可用，但可用拉貝審斂法得出:lim n(孔-1) = lim ：伽 + 頊=3 1nT8 X 1nT8 (2n +1/22所以級數(shù)1 +產(chǎn)(2nT)! 收斂(2 n)! 2n +1n=1由此不難看出拉貝審斂法在實用上要強過達朗貝爾審斂法。而由命題1不難發(fā)現(xiàn)，推廣比值審斂法中隔項比值審斂法與拉貝審斂法有一 定的內(nèi)在聯(lián)系，而兩種新審斂法中，雙比值審斂法作為一種新的審斂法與隔項比 值審斂法來比較運算較為繁瑣，但是當對于正項數(shù)級先試用達朗貝爾審斂法出現(xiàn) lim L = 1的情況時，如果改用雙比值審斂法的推論，可以不必考慮級數(shù)的項是 ns Un否遞減。也就是說，這時雙比值審斂法的實用性更好一些。所以可知，雙比值審 斂法雖然運算繁瑣卻實用性較強。所以達朗貝爾審斂法