復(fù)變函數(shù)精品課件

1、復(fù)變函數(shù)第1頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二復(fù)變基礎(chǔ) 函數(shù) 極限 解析 研究對象 研究方法 研究橋梁第2頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二第三節(jié) 復(fù)變函數(shù)第二節(jié) 復(fù)平面上的點集第一節(jié) 復(fù)數(shù)運算及幾何表示第一章復(fù)數(shù)及復(fù)變函數(shù)第3頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二第一章、復(fù)數(shù)及復(fù)變函數(shù)第一節(jié) 復(fù)數(shù) 1、復(fù)數(shù)域 2、復(fù)平面 3、復(fù)球面與無窮大MathSNNU第4頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二 復(fù)數(shù):形如:z=x+iy或z=x+yi的數(shù)，其中x和y是任 意的實數(shù)，i是虛數(shù)單位( 的平方根）. x和y分

2、別稱為的實部和虛部，分別記作： 注：復(fù)數(shù)相等是指它們的實部與虛部分別相等. 如果Imz=0，則z可以看成一個實數(shù)； 如果Imz不等于零，那么稱z為一個虛數(shù)； 如果Imz不等于零，而Rez=0，稱z為一個純虛數(shù).復(fù)數(shù)域: 1. 復(fù)數(shù)第5頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二 2.復(fù)數(shù)的四則運算復(fù)數(shù)的四則運算定義為： 全體復(fù)數(shù)引入以上的四則運算后就稱為復(fù)數(shù)域.記為C，復(fù)數(shù)域可以看成實數(shù)域的擴張.注:在復(fù)數(shù)域中不能規(guī)定復(fù)數(shù)像實數(shù)那樣的大小關(guān)系.第6頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+

3、(z2+z3)； z1(z2z3)=(z1z2)z3； z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 . 運算規(guī)律復(fù)數(shù)的運算滿足交換律、結(jié)合律、分配律.（與實數(shù)相同）即，第7頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)3. 共軛復(fù)數(shù) 定義 若z=x+iy , 稱z=xiy 為z 的共軛復(fù)數(shù).(conjugate)第8頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二復(fù)平面1. 復(fù)平面的定義第9頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二2. 復(fù)數(shù)的模(或絕對值)顯然下列各式成立第10頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二3. 復(fù)數(shù)

4、的輻角說明輻角不確定.第11頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二輻角主值的定義:第12頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)的三角表示式再利用歐拉公式復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式歐拉介紹4.復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示第13頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二例1 將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:解故三角表示式為第14頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二指數(shù)表示式為故三角表示式為指數(shù)表示式為第15頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二故三角表

5、示式為指數(shù)表示式為第16頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二例2解(三角式)(指數(shù)式)第17頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二5. 利用平行四邊形法求復(fù)數(shù)的和差 兩個復(fù)數(shù)的加減法運算與相應(yīng)的向量的加減法運算一致.第18頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二6. 復(fù)數(shù)和差的模的性質(zhì)第19頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二7.基本不等式:關(guān)于兩個復(fù)數(shù)的和與差的模，有以下不等式：第20頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二例3證第21頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二

6、兩邊同時開方得三角形兩邊之和大于第三邊！第22頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二例4證第23頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二兩邊平方, 并化簡得 下面例子表明, 很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來表示; 也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來確定它所表示的平面圖形.第24頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二例5試用復(fù)數(shù)表示圓的方程:其中，a,b,c,d是實常數(shù)。解：利用第25頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二8.乘積與商定理一 兩個復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積; 兩個復(fù)數(shù)乘積的輻角等

7、于它們的輻角的和.證第26頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二兩復(fù)數(shù)相乘就是把模數(shù)相乘, 輻角相加.從幾何上看, 兩復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別為證畢第27頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二定理二 兩個復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商; 兩個復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差.證按照商的定義, 證畢第28頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二第29頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二例6解第30頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二第31頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二

8、9.冪與根1. n次冪:第32頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二棣莫佛公式推導(dǎo)過程如下:2.棣莫佛公式第33頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二根據(jù)棣莫佛公式, 第34頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二當(dāng)k以其他整數(shù)值代入時, 這些根又重復(fù)出現(xiàn). 第35頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二從幾何上看, 第36頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二當(dāng)k以其他整數(shù)值代入時, 這些根又重復(fù)出現(xiàn). 第37頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二從幾何上看, 第38頁，共49

9、頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二例7解第39頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二即第40頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二例8解即第41頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二第42頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二小結(jié) 本課學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、性質(zhì)及其運算. 重點掌握復(fù)數(shù)的表示與運算(等式與不等式運算), 它是本節(jié)課的重點.第43頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二復(fù)球面與無窮大:0N第44頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二x1x2x3oz(

10、x,y)xyP(x1,x2,x3)x1x2x3N(0,0,2r)除了復(fù)數(shù)的平面表示方法外, 還可以用球面上的點來表示復(fù)數(shù).對復(fù)平面內(nèi)任一點z, 用直線將z與N相連, 與球面相交于P點, 則球面上除N點外的所有點和復(fù)平面上的所有點有一一對應(yīng)的關(guān)系, 而N點本身可代表無窮遠點, 記作.這樣的球面稱作復(fù)球面.第45頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二無窮遠點: 關(guān)于無窮遠點，我們規(guī)定其實部、虛部、輻角無意義，模等于：它和有限復(fù)數(shù)的基本運算為：這些運算無意義：第46頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二擴充復(fù)數(shù)域-引進一個“新”的數(shù): 擴充復(fù)平面-引進一個“理想點”: 無窮遠點 .第47頁，共49頁，2022年，5月20日，13點11分，星期二小結(jié) 學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容有復(fù)數(shù)的模、輻角;復(fù)數(shù)的各種表示法. 并且介紹了復(fù)數(shù)域、復(fù)平面、復(fù)球面和擴充復(fù)平面. 注意：為了用球面上的點來表示復(fù)數(shù)，引入了無窮遠點無窮遠點與