函數(shù)與極限精品課件

1、函數(shù)與極限第1頁，共27頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期一元素 a 屬于集合 M , 記作元素 a 不屬于集合 M , 記作一、集合1. 定義及表示法定義 1. 具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為集合.組成集合的事物稱為元素.不含任何元素的集合稱為空集 ,記作 . ( 或) .2/27第2頁，共27頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期一表示法：(1) 列舉法：按某種方式列出集合中的全體元素 .例1有限集合自然數(shù)集(2) 描述法： x 所具有的特征例2 整數(shù)集合或有理數(shù)集 p 與 q 互質(zhì)實(shí)數(shù)集合 x 為有理數(shù)或無理數(shù)開區(qū)間閉區(qū)間3/27第3頁，共27頁，2022年，5月20日

2、，9點(diǎn)24分，星期一無限區(qū)間點(diǎn)的 鄰域其中, a 稱為鄰域中心 , 稱為鄰域半徑 .半開區(qū)間去心 鄰域4/27第4頁，共27頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期一是 B 的子集 , 或稱 B 包含 A ,2. 集合之間的關(guān)系及運(yùn)算定義2則稱 A若且則稱 A 與 B 相等,例如 ,顯然有下列關(guān)系 : , ,若設(shè)有集合記作記作必有5/27第5頁，共27頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期一定義3 給定兩個(gè)集合 A, B, 并集交集且差集且定義下列運(yùn)算:余集直積特例:記為平面上的全體點(diǎn)集或6/27第6頁，共27頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期一二、映射1. 映射的概念 某

3、校學(xué)生的集合學(xué)號的集合按一定規(guī)則查號某班學(xué)生的集合某教室座位的集合按一定規(guī)則入座例7/27第7頁，共27頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期一定義4.設(shè) X , Y 是兩個(gè)非空集合,若存在一個(gè)對應(yīng)規(guī)則 f ,使得有唯一確定的與之對應(yīng) ,則稱 f 為從 X 到 Y 的映射,記作元素 y 稱為元素 x 在映射 f 下的 像 ,記作元素 x 稱為元素 y 在映射 f 下的 原像 .集合 X 稱為映射 f 的定義域 ;Y 的子集稱為 f 的 值域 .注意: 1) 映射的三要素 定義域 , 對應(yīng)規(guī)則 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 . 8/27第8頁

4、，共27頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期一對映射若, 則稱 f 為滿射; 若有 則稱 f 為單射;若 f 既是滿射又是單射,則稱 f 為雙射 或一一映射. 9/27第9頁，共27頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期一X (數(shù)集 或點(diǎn)集 ) 說明:在不同數(shù)學(xué)分支中有不同的慣用 X ( ) Y (數(shù)集) f 稱為X 上的泛函X ( ) X f 稱為X 上的變換 R f 稱為定義在 X 上的為函數(shù)映射又稱為算子. 名稱. 例如, 函數(shù)的兩個(gè)要素: 1、定義域； 、對應(yīng)法則10/27第10頁，共27頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期一2. 逆映射與復(fù)合映射(1) 逆映射的

5、定義 定義:若映射為單射,則存在一新映射使習(xí)慣上 ,的逆映射記成例如, 映射其逆映射為其中稱此映射為 f 的逆映射 .11/27第11頁，共27頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期一定義則當(dāng)由上述映射鏈可定義由 D 到 Y 的復(fù)設(shè)有映射記作合映射 ,時(shí),或注意: 構(gòu)成復(fù)合映射的條件 不可少.(2) 復(fù)合映射12/27第12頁，共27頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期一定義域三、函數(shù)1. 函數(shù)的概念 定義4 設(shè)數(shù)集則稱映射為定義在D 上的函數(shù) ,記為 f ( D ) 稱為值域 函數(shù)圖形:自變量因變量13/27第13頁，共27頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期一(對應(yīng)規(guī)

6、則)(值域)(定義域)例如, 反正弦主值 定義域 對應(yīng)法則的表示方法:解析法、圖象法、列表法使表達(dá)式及實(shí)際問題都有意義的自變量集合.定義域值域又如, 絕對值函數(shù)定義域值 域14/27第14頁，共27頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期一例3 已知函數(shù)求 及解:函數(shù)無定義并寫出定義域及值域 .定義域 值 域 15/27第15頁，共27頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期一2. 函數(shù)的幾種特性設(shè)函數(shù)且有區(qū)間(1) 有界性使稱 使稱 說明: 還可定義有上界、有下界、無界 (見上冊 P11 )(2) 單調(diào)性為有界函數(shù).在 I 上有界. 使若對任意正數(shù) M , 均存在 則稱 f ( x

7、) 無界.稱 為有上界稱 為有下界當(dāng)時(shí),稱 為 I 上的稱 為 I 上的單調(diào)增函數(shù) ;單調(diào)減函數(shù) .16/27第16頁，共27頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期一(3) 奇偶性且有若則稱 f (x) 為偶函數(shù);若則稱 f (x) 為奇函數(shù). 說明:在 x = 0 有定義 ,為奇函數(shù)時(shí),則當(dāng)必有若17/27第17頁，共27頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期一(4) 周期性且則稱為周期函數(shù) ,若稱 l 為周期( 一般指最小正周期 ).周期為 周期為注: 周期函數(shù)不一定存在最小正周期 .例如, 常量函數(shù)狄里克雷函數(shù)x 為有理數(shù)x 為無理數(shù)18/27第18頁，共27頁，2022年，

8、5月20日，9點(diǎn)24分，星期一3. 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)(1) 反函數(shù)的概念及性質(zhì)若函數(shù)為單射,則存在逆映射習(xí)慣上,的反函數(shù)記成稱此映射為 f 的反函數(shù) .其反函數(shù)(減)(減) .1) yf (x) 單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增 性質(zhì): 19/27第19頁，共27頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期一2) 函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對稱 .例如 ,對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù) ,它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線對稱 .指數(shù)函數(shù)20/27第20頁，共27頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期一(2) 復(fù)合函數(shù) 則設(shè)有函數(shù)鏈稱為由, 確定的復(fù)合函數(shù) , u 稱為中間變量. 注意: 構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件 不可

9、少. 例如, 函數(shù)鏈 :函數(shù)但函數(shù)鏈不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù) .可定義復(fù)合21/27第21頁，共27頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期一4. 初等函數(shù)(1) 基本初等函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)(2) 初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱為非初等函數(shù) . 例如 ,并可用一個(gè)式子表示的函數(shù) ,經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成 ,稱為初等函數(shù) .可表為故為初等函數(shù).22/27第22頁，共27頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期一非初等函數(shù)舉例:符號函數(shù)當(dāng) x 0當(dāng) x = 0當(dāng) x 0取整函數(shù)當(dāng)23/27第23頁，共27頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期一例4 求的反函數(shù)及其定義域.解:當(dāng)時(shí),則當(dāng)時(shí),則當(dāng)時(shí),則反函數(shù)定義域?yàn)?4/27第24頁，共27頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期一四、小結(jié)1. 集合及映射的概念定義域?qū)?yīng)法則3. 函數(shù)的特性有界性, 單調(diào)性,奇偶性, 周期性4. 初等函數(shù)的結(jié)構(gòu)2. 函數(shù)的定義及函數(shù)的二要素25/27第25頁，共27頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星