中考數(shù)學復習微專題：例談“蝶形”在平行線中“等積變換”的應用

1、例談“蝶形”在平行線中 “等積變換”的應用 在數(shù)學的百花園里，有一類幾何圖形就像蝴蝶一樣美麗嬌艷，這就是“蝶形”.數(shù)學教學中，我們在欣賞“蝶形”之美的同時，也讓我們產生了對“蝶形”的遐想. 一、孕蝶破繭而出 例1 如圖1，已知直線，為直線上的兩點，為直線上的兩點. (l)請寫出圖中面積相等的各對三角形. (2)如果，為三個定點，點在直線上移動，那么無論點移動到任何位置，請指出與面積相等的三角形并說明理由. 解 (l) 與面積相等，與面積相等，與面積相等. (2)無論點如何在直線上移動，與的面積都相等，因為它們都有相同的底邊長度，這個底邊上的高都等于平行線到的距離. 評析 根據(jù)平行線的性質得到與

2、，與這兩對三角形的面積分別相等.再根據(jù)等式的性質，可得到第三對三角形，即與的面積相等. 二、逐蝶翩然起舞 例2如圖3，五邊形是張大爺十年前承包的一塊土地的示意圖，經過多年開墾荒地，現(xiàn)已變成擴大后的形狀，但承包土地與開墾荒地的分界小路(圖3中折線)還保留著，張大爺想過點修一條直路，直路修好后，要保持直路左邊的土地面積與承包時的一樣多.請你用有關的幾何知識，按張大爺?shù)囊笤O計出修路方案.(不計分界小路與直路的占地面積)(1)寫出設計方案，并畫出相應的圖形;(2)說明方案設計理由. 解 (1)連結，過點作的平行線交于點，連接，就是所求的路. (2)，,.路兩邊的面積相等. 評析 本題突破口是保持圖形

3、的面積不變，修一條直路可能出現(xiàn)如圖4中的3種情況(，).由蝶形推出,從而確定點，得到直線. 三、捕蝶輕盈敏捷 例3 如果一條直線把一個平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個平面圖形的一條面積等分線，例如平行四邊形的一條對角線所在的直線就是平行四邊形的一條面積等分線. (1)三角形的中線、高線、角平分線分別所在的直線一定是三角形的面積等分線的有 (2)如圖5，梯形中，如果延長到，使，連結，那么有.請你給出這個結論成立的理由，并過點作出梯形的面積等分線(不寫作法，保留作圖痕跡). (3)如圖5，四邊形中，與不平行，過點能否作出四邊形的面積等分線?若能，請畫出面積等分線，并給出證明;

4、若不能，說明理由. 解 (1)中線所在的直線.(2)方法一:如圖5，連結.因為，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以和的公共邊上的高也相等，所以有，所以，.方法二:設與相交于點.因為，所以，又因為，所以，所以，. 過點的梯形的面積等分線的畫法為:作的垂直平分線，交于，連結.則是梯形的面積等分線.(作圖略) (3)能，連結，過點作交 的延長線于點，連結.因為，所以和的公共邊上的高也相等，所以有，所以，因為，所以面積等分線必與相交，取中點，則直線即為要求作的四邊形的面積等分線. 簡析 第(1)問引入了和“蝶形”面積相關的三角形中線問題，實則是等底同高問題;第(2)問是將梯形面積轉化為三角形面積，其實

5、質可歸為等底同高問題，是捕捉到“蝶形”并將其應用使問題得到解決;第(3)問把梯形變式為一般四邊形，如何將一般四邊形面積轉化為三角形面積問題是難點.仔細分析不難發(fā)現(xiàn)，解決問題的過程中同樣可以捕捉到“蝶形”，將“蝶形”進行應用，使問題輕松解決. 四、賞蝶婀娜多姿 例4 (1)如圖7，已知五邊形，是上一點，能否過折線中的點作一條直線，使得直線左邊的四邊形與原圖中折線左邊的六邊形面積相等. (2)如圖8，已知五邊形，是上一點，能否過折線中的點作一條直線，使得直線左邊的四邊形與原圖中折線左邊的七邊形面積相等. (3)如圖9，已知五邊形，是上一點，能否過折線(共有個點，各線段不相交)中的點作一條直線，使得

6、直線左邊的四邊形與原圖中折線左邊的邊形的面積相等. 解 (1)如圖8，連結，過點作，交BM于點H，連結EH，過點F作FK / EH,交于點，連結即為所求的直線. (2)如圖8，連結，過點作,交于點，連結，過點作，交于點，連結，過點作，交于點，連結，則即為所求的直線. (3)作圖略. 評析 本題作圖是通過捕捉“蝶形”來實現(xiàn)的，每次連結、作平行線，都用到“蝶形”的性質，即等積轉換.這三個問題實際上是曲直問題之間相互依存的問題，更是“蝶形”與其它幾何圖形之間相互轉化由問題. 五、化蝶玉蝶戀花 例5 我們把能夠平分四邊形面積的直線稱為“好線”.利用下面的作圖，可以得到四邊形的“好線”:如圖10，在四邊形中，取對角線的中點，連結.再過點作交于，則直線即為一條“好線”. (1)試說明直線是“好線”的理由; (2)如圖11 , 為一條“好線”, 為邊上的一點，請作出經過點的“好線”，并對畫面作適當說明(不需要說明理由). 解 (1)設與的交點是.因為，所以，所以;又因為，折線能平分四邊形的面積，所以直線平分四邊形的面積，即是“好線”. (2)如圖11，連結，過作的平行線交于點，連結，則為一條“好線”.(證略).