圓錐曲線最值問題的5種題型

1、 PAGE 6 圓錐曲線最值問題的5種題型一求距離的最值例1.設(shè)AB為拋物線y=x2的一條弦，若AB=4，則AB的中點M到直線y+1=0的最短距離為 ，解析：拋物線y=x2的焦點為F（0 ，），準線為y=，過A、B、M準線y=的垂線，垂足分別是A1、B1、M1，則所求的距離d=MM1+=(AA1+BB1) +=(AF+BF) +AB+=4+=,當(dāng)且僅當(dāng)弦AB過焦點F時，d取最小值，評注：靈活運用拋物線的定義和性質(zhì)，結(jié)合平面幾何的相關(guān)知識，使解題簡潔明快，得心應(yīng)手。二求角的最值例2M，N分別是橢圓的左、右焦點，l是橢圓的一條準線，點P在l上，則MPN的最大值是 . 解析：不妨設(shè)l為橢圓的右準線，

2、其方程是，點，直線PM和PN傾斜角分別為.于是 即MPN的最大值為.評注：審題時要注意把握MPN與PM和PN的傾斜角之間的內(nèi)在聯(lián)系.三、求幾何特征量代數(shù)和的最值例3.點M和F分別是橢圓上的動點和右焦點，定點B(2,2).求|MF|+|MB|的最小值.求|MF|+|MB|的最小值.解析：易知橢圓右焦點為F(4,0)，左焦點F(-4,0)，離心率e=，準線方程x=.|MF| + |MB| = 10|MF| + |MB| =10（|MF|MB|）10|FB|=102. 故當(dāng)M，B，F(xiàn)三點共線時，|MF|+|MB|取最小值102.過動點M作右準線x=的垂線，垂足為H，則.于是|MF|+|MB|=|MH

3、|+|MB|HB|=.可見，當(dāng)且僅當(dāng)點B、M、H共線時，|MF|+|MB|取最小值.評注：從橢圓的定義出發(fā)，將問題轉(zhuǎn)化為平幾中的問題，利用三角形三邊所滿足的基本關(guān)系，是解決此類問題的常見思路。例4點P為雙曲線的右支上一點，M，N分別為和上的點，則PMPN的最大值為 .解析：顯然兩已知圓的圓心分別為雙曲線的左焦點和右焦點.對于雙曲線右支上每一個確定的點P，連結(jié)PF1，并延長PF1交F1于點Mo.則PM0為適合條件的最大的PM，連結(jié)PF2,交F2于點No.則PN0為適合條件的最小的PN.于是故PMPN的最大值為6.評注：仔細審題，合理應(yīng)用平面幾何知識，溝通條件與所求結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，是解決本題的關(guān)鍵

4、.例5已知e1，e2分別是共軛雙曲線和的離心率，則e1+e2的最小值為 .解析： 考慮到，故得. 即e1+e2的最小值為.評注：解題關(guān)鍵在于對圓錐曲線性質(zhì)的準確理解，并注意基本不等式等代數(shù)知識的合理應(yīng)用.四、求面積的最值例6已知平面內(nèi)的一個動點P到直線的距離與到定點的距離之比為，點，設(shè)動點P的軌跡為曲線C.求曲線C的方程；過原點O的直線l與曲線C交于M，N兩點.求MAN面積的最大值.解析：設(shè)動點P到l的距離為d，由題意根據(jù)圓錐曲線統(tǒng)一定義，點P的軌跡C為橢圓., 可得 故橢圓C的方程為：若直線l存在斜率，設(shè)其方程為l與橢圓C的交點 將y=kx代入橢圓C的方程并整理得. 于是 又 點A到直線l的

5、距離 故MAN的面積 從而 當(dāng)k=0時，S2=1得S=1 當(dāng)k0時，S21得S1 當(dāng)k 0, a245, 故amin=3，得（2a）min=6,此時橢圓方程為.解法2：設(shè)橢圓=1與直線xy+9=0的公共點為M(acos,)，則acos+9=0有解.=9cos(+)=，|19a245, amin=3，得（2a）min=6,此時橢圓的方程.解法3：先求得F1(3，0)關(guān)于直線xy+9=0的對稱點F(9,6)，設(shè)直線xy+9=0與橢圓的一個交點為M，則2a=|MF1|+|MF2| =|MF| +|MF2|FF2|=6，于是(2a)min=6,此時易得： a2=45, b2=36，于是橢圓的方程為.評注：本題分別從代數(shù)、三角、幾何三種途徑尋求解決。由不同角度進行分析和處理，有利于打開眼界，拓寬思路，訓(xùn)練思維的發(fā)散性。解決圓錐曲線中的最值問題，要熟練準確地掌握圓錐曲線的定義、性質(zhì)，在此基