概率論與數理統(tǒng)計第一章隨機事件與概率的知識

1、概率與統(tǒng)計 教材 概率與統(tǒng)計 主要教學參考書 龔友運等編 華中科技大學出版社 概率統(tǒng)計是研究隨機現象規(guī)律性的科學，隨著現代科學技術的發(fā)展，“概率論”在自然科學、社會科學和工農業(yè)生產中得到了越來越廣泛的應用在現實世界中，隨機現象是廣泛存在的，而“概率統(tǒng)計”正是一門從數量這一側面研究隨機現象規(guī)律性的數學學科它結構嚴謹,應用廣泛,發(fā)展迅速.是近代數學的重要組成部分之一，在國民經濟、工農業(yè)生產、物理學、生物學、醫(yī)學、工程技術（如自動控制、地震預報、氣象預報、產品質量控制等）、軍事技術、現代經濟理論、管理科學等眾多領域中有著廣泛的應用，并且在不斷地向其他學科滲透。它是一門有著自己獨特的概念與方法的數學分

2、支。 前 言 概率與統(tǒng)計發(fā)展簡史 概率與統(tǒng)計是研究大量隨機現象數量規(guī)律的一門重要的 應用數學學科，人們一般地認為概率是統(tǒng)計的基礎，而統(tǒng)計是概率的一種應用。 概率論起源于對隨機游戲的研究，早在16世紀，歐洲文藝復興時期的人文主義代表人物意大利學者卡當的著作賭博之書在1663年就出版了，而推動概率論的發(fā)展的動力則在于其在實踐中的應用。 描述性統(tǒng)計學的起源在我國可以追溯到遠古時期，主要研究數據的收集和整理。公元前2250年，大禹治水，根據山川土質、人口和物質統(tǒng)籌開鑿河道，殷周時期實行井田制，根據戶口和土地的統(tǒng)計資料按人分地；同時由于軍事和征稅的需要，各朝代對于土地、人口、財產和年齡都有統(tǒng)計資料可查并

3、繪有圖表。在西方始于公元前3000多年，埃及建造金字塔時為征集費用，對全國人口、財產進行全面統(tǒng)計，到了亞里士多德時代，統(tǒng)計逐漸向理性演變，統(tǒng)計在衛(wèi)生、保險、貿易、軍事和行政管理方面的應用都有詳細的記載。其后的發(fā)展出現了分析統(tǒng)計學，主要進行數據分析和推斷。 概率論這門學科的形成和發(fā)展經歷了三個多世紀，至今的研究仍十分活躍。1654年，法國的巴斯卡、費爾馬開始創(chuàng)立概率論；1657年荷蘭物理學家惠更斯發(fā)表了論賭博中的計算的論文，提出了“數學期望”的概念；瑞士數學家貝努利于1713出版了概率論的第一本著作猜度術，指出概率是頻率的穩(wěn)定值，確定了大數定律，構成了概率論向更廣泛的應用領域的橋梁，把概率論的發(fā)

4、展向前推進了一步，他認為是概率論的奠基人；1718年英國數學家棣美弗（Demoivre)發(fā)表著作機遇原理，書中敘述了概率乘法公式和復合事件概率的計算方法，并在1733年發(fā)現了正態(tài)分布曲線的概率分布密度函數；1812年法國的拉普拉斯（Laplace)出版的分析概率論匯集了17、18世紀概率論的研究成果，發(fā)現了中心極限定理，是近代概率論的先驅；1906年俄國科學家切比雪夫的學生馬爾可夫（Makov)觀察了許多自然現象，提出了數學模型，從此，許多物理現象如布朗運動、原子核的連鎖分裂等均可用馬爾可夫隨機過程來描述，而當代概率的研究方向主要是各種隨機過程及其應用。 統(tǒng)計學的興起與發(fā)展來自概率論的推動，以

5、概率論為基礎，以統(tǒng)計推論為主要內容的現代數理統(tǒng)計學，20世紀才告成熟，從此，人們相信統(tǒng)計學的方法可用于各種科學的各個部門，隨著計算機的使用，進一步推動著統(tǒng)計學不斷地向著縱深發(fā)展，人們還發(fā)現隨機現象在微觀世界中比在宏觀世界中更為普遍。第一章隨機事件與概率第一節(jié)隨機事件及其概率隨機現象:必然現象 在一定的條件下，必然會發(fā)生的現象例如 向上拋一枚硬幣，由于受到地心引力的作用，硬幣上升到某一高度后必定會下落我們把這類現象稱為必然現象同樣，任何物體沒有受到外力作用時，必定保持其原有的靜止或等速運動狀態(tài)；導線通電后，必定會發(fā)熱等等也都是必然現象。 1.1隨機事件及其概率不可能現象 在一定條件下,一定不會發(fā)

6、生的現象.例如 在標準大氣壓下純水在10。C是結冰是不可能的， 所以就稱為不可能現象。 同樣，一物體在變力作用下作勻速直線運動也是不 可能現象。 隨機現象 : 在給定條件下，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，其結果是無法事先預測的現象 例如: 1.拋擲一枚硬幣，當硬幣落在地面上時，可能是正面（有國徽的一面）朝上，也可能是反面朝上，在硬幣落地前我們不能預知究竟哪一面朝上我們把這類現象稱為隨機現象（或偶然現象） 2.自動機床加工制造一個零件，可能是合格品，也可能是不合格品； 3. 現象: 一個盒子中有10個完全相同的白球,混 合后，任意摸一個. 現象: 一個盒子中有10個球,5個白球5個黑球, 混合后,任意

7、摸一個 對于現象,在沒有摸之前,我們就可以知道摸出來的為白球; 而對于現象在沒摸之前我們不能肯定摸到的為 什么球,但我們知道只要兩種可能,并且摸的結果一定是這兩種可能之一.隨著摸球次數的增大,發(fā)現摸到白球和摸到黑球的機會是等可能的. 統(tǒng)計規(guī)律性每次試驗前不能預言出現什么結果 每次試驗后出現的結果不止一個 在相同的條件下進行大量觀察或試 驗時，出現的結果有一定的規(guī)律性 稱之為統(tǒng)計規(guī)律性 對某事物特征進行觀察, 統(tǒng)稱試驗. 若它有如下特點,則稱為隨機試驗 可在相同的條件下重復進行 試驗結果不止一個,但能明確所有的結果 試驗前不能確定出現哪種結果 隨機試驗 我們把試驗的結果中發(fā)生的現象稱為事件，在試

8、驗的結果中，可能發(fā)生、也可能不發(fā)生的事件稱為隨機事件，簡稱為事件通常用字母A，B，C，表示隨機事件 隨機事件基本事件 實驗的不可能再分的結果.每次試驗必定發(fā)生且只可能發(fā)生一個基本事件. 復合事件由若干個基本事件組成的事件特殊的隨機事件： 必然事件 在一定條件下必定發(fā)生的 事件,記為 不可能事件在一定條件下一定不發(fā)生的事件,記為 .例子拋骰子試驗 在擲一顆骰子的試驗中，觀察出現的點數 設Ai表示“出現i點”事件(i=1,2,3,4,5,6)，記作Ai=出現i點, 即A1=出現1點；A2=出現2點；A6=出現6點； 又設B=出現 奇數點； C=出現偶數點.顯然 A1，A2，A6都是基本事件， B,

9、C都是復合事件 A1，A2，A6 ，B，C均為隨機事件 只要A1,A3,A5中的一個發(fā)生，事件B就發(fā)生; 只要A2,A4,A6中的一個發(fā)生，事件C就發(fā)生 例 子例子 隨機試驗 隨機事件例 1拋一枚硬幣，觀察出現的結果.A1=正面朝上, A2=反面朝上例 2 從一批產品中任意取 10個樣品，觀測其中的次品數. B=取出的10個樣品中有1至3個次品 例 3 記錄某段時間內電話交換臺接到的呼喚次數. C=在該段時間內電話交換臺接到的呼喚次數不超過8次 例 4 測量某個零件的尺寸與規(guī)定尺寸的偏差 x（mm）. D=測得零件的尺寸與規(guī)定尺寸的偏差小于 01mm 頻率設在 n 次試驗中，事件 A 發(fā)生了m

10、 次，則稱 為事件 A 發(fā)生的 頻率記作 fn(A),其中m為頻數試驗序號 n=5 n=50 n=500 nA fn(A) nA fn(A) nA fn(A)12345678910 2315124233 0.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6 22252125242118242731 0.440.500.420.500.480.420.360.480.540.622512492562532512462442582622470.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.494 做“拋擲硬幣”的試驗，我們將一枚硬幣拋擲5次、50

11、次、500次，各做10遍，得到數據如表1-1所示；其中A=朝上的一面是正面，nA表示事件A發(fā)生的頻數,表示A發(fā)生的頻率 拋硬幣試驗 ：頻率的性質 實踐證明：在大量重復試驗中，隨機事件的頻率具有穩(wěn)定性也就是說，在不同的試驗序列中，當試驗次數n充分大時，隨機事件A的頻率fn(A)常在某個確定的數字附近擺動 在拋硬幣的試驗中，“正面朝上”這一隨機事件A的頻率fn(A)穩(wěn)定在數字0.5的附近類似的例子還可以舉出很多. 1.1隨機事件及其概率頻率的穩(wěn)定性試驗者 n nA fn(A)德莫根蒲 豐K皮爾遜K皮爾遜 204840401200024000 10612048601912012 0.51810.50

12、690.50160.5005 歷史上不少著名學者做過拋擲硬幣試驗，得到的數據如下： 概率的統(tǒng)計定義 在相同條件下重復進行的 n 次試驗中, 如果事件 A 發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某一數值P的附近擺動,且隨n的增大,擺動幅度越來越小,則稱P為隨機事件A的概率,記作P(A)概率的統(tǒng)計定義也提供了一個近似計算概率的方法:當試驗次數n較大時有:事件發(fā)生的概 率事件發(fā)生的頻 率 即當試驗次數n充分大時,就常把事件A的頻率作為事件A的概率的“近似值”（或“估值”） 比如：合格率，廢品率，出生率，升學率，死亡率等等，都是頻率缺點： l建立在經驗基礎上 l語言描述模糊，不準確 l需要大量的試驗觀測統(tǒng)計， 可

13、操作性較差優(yōu)點：直觀 易懂1. 0P(A)1; 2. P()=1,P()=0.于是有下列性質練習題 從裝有4個紅球，1個白球的口袋中任取兩球 （1）列出該試驗所有的基本事件； （2）若設A=兩個都是紅球，B=恰有一個白球，分別列出事件A、B所包含的基本事件解:（1）把紅球編號為、,把白球編號為，于是該實驗所有的基本事件為：, 即基本事件總數為10個（2）A=, B=,第二節(jié)古 典 概 型例1 某人從甲地到乙地可乘火車，汽車或輪船，一天中，從甲地到乙地的火車有五班，汽車有3班，輪船有2班問此人從甲地到乙地去共有多少種不同的方法？一 排列與組合1 乘法原理兩個基本原理解 : 該人從甲地到乙地去的方

14、式有三類：乘火車，乘汽車，或乘輪船 第一類方式有5種不同的走法. 第二類方式有3種不同的走法. 第三類方式有2種不同的走法. 每一種走法都可以從甲地到乙地所以，此人從甲地到乙地去共有：5+3+2=10 種不同的走法 如果完成一件事有n類方式， 第一類方式中有m1種不同的方法 第二類方式中有m2種不同的方法， 第n類方式中有mn種不同的方法 并且每一種方法都能獨立地完成這件事 那么完成這件事共有： 種不同的方法加法原理 兩個基本原理 某人從學?；丶冶亟涍^甲村如果從學校到甲村有2條路可走，從甲村到他家有3條路可走某人從學?；丶夜灿袔追N不同的走法?2 乘法原理例2:解 :某人從學校回家，必須分兩個步

15、驟成 第一步從學校到甲村，有3 種走法 第二步從甲村回家有2種走法所以，某人回家共有： 種不同的走法23=6如果完成一件事需分成n個步驟，完成第一步有m1種不同的方法，完成二步有m2種不同的方法，完成第n步有mn種不同的方法，在依次完成這n個步驟后，這件事才能完成，那么完成這件事共有： 種不同的方法乘法原理排列例3 : 由數字1，2，3，4可以組成多少個沒有重復數字的三位數？解組成一個三位數可分三步完成第一步確定百位上的數字，可以從1，2，3，4中任選 一個，共有4種不同的方法；第二步確定十位上的數字，由于不能重復，所以只能從 剩下的3個數字中任選一個，共有3種不同的方法；第三步確定個位上的數

16、字，可從剩下的2個數字中任選一個，共有2種不同的方法 根據乘法原理，組成符合條件的三位數的方法共有（種），即可以組成24個不同的三位數定義3 從n個不同的元素中，任取m (m n)個不同的元素按照一定的順序排成一排，叫做從n個不同元素中取出m個不同元素的一個排列 當m0時，P(B|A)=P(B) 即B對A也是獨立的. 從而稱A與B是相互獨立的. 若n個(n2)事件 中的任何一個事件是否發(fā)生都不受到其它 m (m=1,2,n-1)個事件是否發(fā)生的影響，則稱事件是相互獨立的 事件A與B是否相互獨立，一般根據實際意義來判定. 2、兩個相互獨立事件的性質 設事件A與B是相互獨立，則 （1）P(AB)=

17、P(A)P(B); 當P(A)0，P(B)0時，這也是A與B是相互獨立的充要條件. （2）A與 、 與 B、 與 也相互獨立. 證明 （1）直接由定義可知，現在來證明（2）由于 且所以有 故和互相獨立三事件 A, B, C 相互獨立是指下面的關系式同時成立：注：1) 關系式(1) (2)不能互相推出 2)僅滿足(1)式時,稱 A, B, C 兩兩獨立 (1)(2)A, B, C 相互獨立A, B, C 兩兩獨立 定義3、n個事件相互獨立的概念 若n個(n2)事件 中的任何一個事件是否發(fā)生都不受到其它m(m=1,2,n-1)個事件是否發(fā)生的影響，則稱事件 是相互獨立的4、n個相互獨立事件的性質

18、設n個事件Ai(i=1,2,n)相互獨立，則P(A1A2An)=P(A1) P(A2)P(An) 注：當n個事件相互獨立時,它們必是兩兩獨立的(即任取兩個也是相互獨立的),但反之不真. n重Bernoulli試驗中事件 A 出現 k 次的概率 記為且獨立試驗序列 每次試驗的結果與其他次試驗無關 稱為這 n 次試驗是相互獨立的 試驗可重復 n 次每次試驗只有兩個可能的結果： n重貝努利（ Bernoulli）概型例如連續(xù)拋骰子10次，觀察出現偶數點的次數；某人打靶命中率為0.7，連續(xù)打靶15發(fā)子彈，觀察命中次數；在次品率為0.1的一批產品中，有放回地每次任取1件，重復8次，觀察其中的次品數.以上

19、幾例都是多重貝努利試驗. 一般地，若則l 1.5.1全概公式如果事件 構成一個完備事件組，并且 ,則對于任一事件B，有 1.5全概公式與逆概公式稱為全概公式第五節(jié)全概公式與逆概公式證明 由事件 為一個完備事件組，可得 又由 是兩兩互不相容，可得 也兩兩互不相容于是根據加法公式的推論1得 再由乘法公式，即得 例 三門火炮向同一目標射擊，設三門火炮擊中目標的概率分別為0.3，0.6，0.8若有一門火炮擊中目標，目標被摧毀的概率為0.2；若兩門火炮擊中目標，目標被摧毀的概率為0.6；若三門火炮擊中目標，目標被摧毀的概率為0.9試求目標被摧毀的概率解 設事件B=目標被摧毀 顯然，A1，A2，A3構成一

20、個完備事件組，由全概公式可得：依題意知應用全概率公式,得 l 1.5.2逆概公式 下面要介紹的逆概公式是全概公式的逆問題：若已知“結果”B已經發(fā)生了,要求某一種“原因”Aj發(fā)生的概率 設 構成一個完備事件組,則對于任一事件B,且 有此公式稱為逆概公式（或貝葉斯(Bayes)公式） 證明 由條件概率的定義及乘法公式有由此,可得再將全概率公式代入上式, 即得例 設8支槍中有3支沒有經過試射校正，5支經過試射校正一射手用校正過的槍射擊時，中靶的概率為0.8，用未校正的槍射擊時，中靶的概率為0.3，今從8支槍中任取一支進行射擊，結果中靶求所用的這支槍是經過校正過的概率解設A1=槍經過試射校正A2=槍沒

21、有經過試射校正，則A1，A2構成完備事件組由題意知P（A1）=5/8， P（A2）=3/8， 由全概公式可得:又由逆概公式得 本章在介紹了隨機事件及其運算、概率的統(tǒng)計定義的基礎上，進一步討論了古典概率、條件概率、概率的加法公式與乘法公式、全概公式與逆概公式.一、主要概念隨機試驗，隨機事件，基本事件，隨機事件的頻率、概率，古典概率，事件間的關系與運算，概率的加法公式，條件概率，乘法公式，事件的獨立性，獨立試驗序列，全概公式和逆概公式二、基本內容1隨機事件隨機現象、必然現象、不可能現象隨機試驗（簡稱試驗）、基本事件、復合事件、隨機事件（簡稱事件）隨機事件通常用大寫字母A,B,C,D，表示必然事件常用表示不可能事件常用表示2事件間的關系包含、相等、和（并）、積（交）、差、逆、互不相容. 本章內容小結 3事件的運算律 交換律 A+B =B+ A ； AB=BA 結合律 A+（B+C 分配律 （1） A（B+C）=AB+AC （第一分配律）； （2） A+BC=（A+B）（A+C）（第二分配律） 對偶律二、事件的概率1、概率的統(tǒng)計定義設在不變