大工12秋《應(yīng)用統(tǒng)計》輔導(dǎo)資料15

1、應(yīng)用統(tǒng)計輔導(dǎo)資料十五主題：第六章參數(shù)估計12節(jié)學(xué)習(xí)時間：2013年1月7日1月13日內(nèi)容：數(shù)理統(tǒng)計的基本問題是根據(jù)樣本提供的信息，對總體的分布及分布的數(shù)字特征作出統(tǒng)計推斷。統(tǒng)計推斷的主要內(nèi)容分為兩大類：一類是統(tǒng)計估計問題，其主要內(nèi)容是本章將要介紹的參數(shù)估計；另一類是假設(shè)檢驗問題。在實際問題中，所研究的總體分布類型常常是已經(jīng)知道的，但其中含有一個或幾個未知參數(shù)。這時，如何從樣本估計總體分布中的未知參數(shù)就是參數(shù)估計問題。另外，在某些問題中，事先并不知道總體分布的形式，而所關(guān)心的僅僅是總體的某些數(shù)字特征(如總體的期望和方差)，它們同總體分布中的參數(shù)有一定關(guān)系，因而對數(shù)字特征的估計問題也稱為參數(shù)估計問

2、題。其學(xué)習(xí)要求及需要掌握的重點內(nèi)容如下：1、理解參數(shù)的點估計的概念2、掌握參數(shù)點估計的評選標(biāo)準(zhǔn)：無偏性，有效性和一致性3、熟悉運用極大似然估計法進行點估計的方法基本概念：參數(shù)的點估計知識點：參數(shù)點估計的評選標(biāo)準(zhǔn)、極大似然估計法進行點估計的方法1、為方便理解，我們將主要內(nèi)容總結(jié)如下：估計量好壞的評價標(biāo)準(zhǔn)設(shè)X1，X2，Xn是參數(shù)的估計量，假設(shè)E=，那么稱是的無無偏估計有效估計偏估計量。設(shè)X1，X2，Xn和X1，Xn都是的無偏估計量，2112假設(shè)D()D()，那么稱比有效。1212設(shè)X1，X2，Xn是參數(shù)的估計量，假設(shè)對任意0，有l(wèi)imP|n|1，一致估計那么稱為的一致估計量。參數(shù)的點估計?定義：設(shè)

3、是總體X的一個未知參數(shù)，用樣本X1，X2，Xn的某個函數(shù)X1，X2，Xn去估計，就稱為對作點估計。n1設(shè)總體X的均值E(X)，那么用XX估計E(X)。期望的點估計方法方差的點估計方法ini1n1設(shè)總體X的方差D(X)，那么用樣本方差S22(XiX)估計n1i1D(X)。1、設(shè)X是連續(xù)型隨機變量，其概率密度函數(shù)為p(x;,)，12k樣本觀測值為x,x,x，那么稱12nnLL(x,x,x;,)p(x;,)12k12n12ki12、設(shè)X是離散型隨機變量，其概率分布為p(Xx)p(x;,)，jj12k樣本觀測值為x,x,x，那么稱12nn極大似然估計LL(x,x,x;,)p(x;,)12k12n12k

4、j13、假設(shè)似然函數(shù)LL(x,x,x;,)在(x,x,x)處12nii12n12k取得最大值，那么稱(x,x,x)為的極大似然估計值，相應(yīng)的統(tǒng)12niii計量ii(X,X,X)稱為的極大似然估計量。12ni4、通常情況下，lnLlnL(x,x,x;,)也稱為似然函數(shù)，12n12klnL這時，最大似然估計值是似然方程0(i1,2,k)的解。ii幾個常見分布的極大似然估計量n1極大似然估計為p?0-1分布xixni1nxi泊松分布?i1極大似然估計為xnnn(xx)2112極大似然估計分別u?xx;i正態(tài)分布均勻分布ini1n1i1?極大似然估計為maxx,x,xn122、典型例題解析題型1：判斷

5、未知參數(shù)估計量的無偏性、有效性和一致性題型2：用極大似然法求未知參數(shù)的點估計2例1、設(shè)總體XN(u,)，x,x,x是來自X的樣本，那么常數(shù)為多少1231316ux3是未知參數(shù)的無偏估計。題型1ux1x2解：欲Euu，注意到諸EXu，故i11611E(x1x2Ex2x)E(x)E(x)E(x)3123313616116Ex1Ex3u3uuu3131612應(yīng)滿足()1,即2例2、設(shè)總體XN(u,)，X,X2,X是來自X的一個樣本，那么當(dāng)k為多少n1n?2k(XiX)是的無偏估計量。題型122i12?為2E?2的無偏估計量，必須有2。而解：要使nE?2Ek(XiX)kE(XiX)k(n1)n2222，i1i11因而k。n1例3、設(shè)是參數(shù)的無偏估計量，且有D?0，試證：不是的無偏估計量。?22題型1證明：因為E?D?(E)，而E?,D?0，所以E?222222。故不是的無偏估計量。2例4、假設(shè)X,X,X是來自總體X的一個樣本，XN(u,)，那么以下無偏估計最123有效的是題型111111A、X1X2B、X1X2X32221D、X133161C、X1X2X33311313解：顯然，只有X1X2X的方差最小，所以選D。33xe,x0，其中0,x0例5、設(shè)總體X服從指數(shù)分布，分布密度為f(x;)求的極大似然估計。題型20，試nnnxixne解：先求似然