有關(guān)哥德巴赫猜想的幾篇文章匯總及兼論孿生素數(shù)猜想的一并解決

1、有關(guān)哥德巴赫猜想的幾篇文章匯總及兼論孿生素數(shù)猜想的一并解決 沈衛(wèi)國 這里是多年前幾篇有關(guān)哥德巴赫猜想問題的文章匯總。有比較正式的也有非正式的評論，有正規(guī)發(fā)表的也有不是的。此次做了些許補充、刪改。比較重要的是提出其實改變奇數(shù)對的選取方式，我們可以順帶證明孿生素數(shù)猜想問題。其實它與哥猜是同一個問題的兩個方面。同時提出用計算機來初步驗證此思路的正確與否。編程總比論證容易，更何況思路都在這里了。 一、 強哥德巴赫猜想的證明 哥德巴赫猜想的表述早已為人所知，此處不再重復(fù)。但哥氏猜想并未就構(gòu)成任一偶數(shù)的素數(shù)對的個數(shù)作任何陳述。換言之，任一偶數(shù)只要有一個素數(shù)對，哥氏猜想即成立。此文將證明，滿足哥氏猜想的素數(shù)

2、對存在下限，并且此下限隨偶數(shù)N的增大而以固定規(guī)律（依賴于）增大。這是一個比傳統(tǒng)哥德巴赫猜想強的命題。為區(qū)別于傳統(tǒng)意義的哥氏猜想，特稱其為“強哥德巴赫猜想”。以下就此問題進行具體的分析。由偶數(shù)的定義可知，任一偶數(shù)都是一個自然數(shù)與2的乘積。此時該自然數(shù)的認為是所給偶數(shù)的“中點”。其中又分為如下幾種情況：那個自然數(shù)（中點）是素數(shù)，如7、11、13、19等；那個自然數(shù)（中點）是非素奇數(shù)，也就是包含素數(shù)因子的奇數(shù)，如9、15等；那個自然數(shù)（中點）是包含素數(shù)因子的偶數(shù)，也就是同時包含偶數(shù)因子，如18、22等；那個自然數(shù)（中點）是沒有素數(shù)因子的偶數(shù)，也就是形如2的數(shù)，其中n是任意自然數(shù)，如16、32、64等

3、。情況1，根本無需證明。兩個該素數(shù)之和（或乘以2）。當(dāng)然是偶數(shù)。如7+7=14。其它幾種情況，如將該偶數(shù)表為兩個奇數(shù)之和，則必然是其中一個小于該偶數(shù)除以2后的中間數(shù)，另一個則大于該中間數(shù)，且該二奇數(shù)以此中間數(shù)為中心對稱分布。比如偶數(shù)30，其中間數(shù)為30/2=15，滿足二奇數(shù)和為30的奇數(shù)對分別為13、17；11、19；等等。它們每一組是以15位中心對稱分布于二邊的。毫無疑問，如果哥德巴赫猜想成立，在滿足該猜想的素數(shù)對必也滿足上述對稱條件。下面先證明一個引理。引理1：某素數(shù)的合數(shù)（指含該素數(shù)因子的數(shù)。這里包括該素數(shù)自身），在刪除了其它素數(shù)的和術(shù)后的集合中所占的比率（當(dāng)然包括其它素數(shù)因子的該素數(shù)的

4、合數(shù)），與其全集在自然數(shù)中的比率一樣，不變。證明：設(shè)有某素數(shù)N，其合數(shù)（所有含其為因子之?dāng)?shù)）在自然數(shù)中的比率為1/N。在自然數(shù)中刪去素數(shù)P（PN）的所有合數(shù)，即在自然數(shù)中刪去了1/P個數(shù)，其中也包括素數(shù)N的合數(shù)中的1/P個。此時N的合數(shù)的個數(shù)為： 即此時剩余的N的合數(shù)的個數(shù)仍占刪去素數(shù)P的所有合數(shù)后的集合的1/N，得證。比如，3的所有合數(shù)占全部自然數(shù)的1/3，同樣其奇合數(shù)也站奇數(shù)集合的1/3。因為刪去的偶數(shù)集合中也包括了1/3的3的合數(shù)。比如6，12，18，等等。又比如5的合數(shù)，在刪去全部偶數(shù)集合及全部3的合數(shù)集合后，在此剩余集合中5的剩余合數(shù)集合仍占其1/5。其余類推。對于前文第2、3種情況

5、中，由于所給偶數(shù)的中點數(shù)包含素數(shù)因子，于是由該中點數(shù)向二邊（增大與減小）方向?qū)υ撍財?shù)因子對稱。于是以此中點數(shù)為中心左右兩邊（大與?。┫嗷ΨQ的奇數(shù)所構(gòu)成的奇數(shù)對，要么同時使該素數(shù)的合數(shù)，要么不是。于是，是該素數(shù)S的合數(shù)的奇數(shù)對為全部以所給偶數(shù)的中點數(shù)為中心的素數(shù)隊總數(shù)的個；反之，不是該素數(shù)合數(shù)的奇數(shù)對占總數(shù)的個。而對于情況4及情況2、3中，如果以中間數(shù)為中心左右（大、小方向）對稱的奇數(shù)對中所包含的素數(shù)因子并非我們上面所討論的情況，則相對該中點對所論素數(shù)是非對稱的，即所論奇數(shù)對不能在中點二邊對稱位置同時得到包含所論素數(shù)的合數(shù)，而是有先有后。于是，滿足所論素數(shù)S的合數(shù)的奇數(shù)對為所論奇數(shù)對總數(shù)的個；

6、反之，不是該素數(shù)合數(shù)的奇數(shù)對占總數(shù)的個。當(dāng)然，上述結(jié)果沒有述及所論奇數(shù)對的總數(shù)不能被該素數(shù)S整除這一極其普通的情況。實際上，在此情況下，我們舍棄相除的余數(shù)，只保留整數(shù)，如果結(jié)論不變，將會有誤差。但如果所論偶數(shù)足夠大時，誤差是極小的，而且隨偶數(shù)的增大越來越小?，F(xiàn)舉例予以直觀說明：如果所選偶數(shù)為30，則中點數(shù)為30/2=15，這符合“情況2”，其為素數(shù)3的合數(shù)。分別對稱地位列15兩邊（滿足其和等于30的）奇數(shù)對為13、17；11、19；9、21；7、23；5、25；3、27。注意，奇數(shù)對1、29不被計入，因為1通常不被認為是有意義的素數(shù)。我們看到，滿足要求的奇數(shù)對共有6個，可以被所論素數(shù)3整除，其

7、中有素數(shù)3因子的有兩對，為9、21；3、27。2/6=1/3，即為總奇數(shù)對6的三分之一。如果所論偶數(shù)為36，則中點數(shù)為36/2=18，符合“情況3”，其兩邊對稱的奇數(shù)對為17、19；15、21；13、23；11、25；9、27；7、29；5、31；3、33。共8對，8除以所論素數(shù)3得：83=2，不能被所論素數(shù)3整除，如果如前面所論的做法舍棄余數(shù)（即分數(shù)2/3），則得整數(shù)2，但有所論素數(shù)3因子的奇數(shù)對有15、21；9、27；3、33。共三對，有誤差。但這種誤差隨著所選偶數(shù)的增大將越來越小，而且對下面的討論沒有任何影響。如果所選偶數(shù)為32，則中點數(shù)為16，其不是所論素數(shù)3的合數(shù)（同時符合“情況4”

8、），于是應(yīng)該是“滿足所論素數(shù)S的合數(shù)的奇數(shù)對為所論奇數(shù)對總數(shù)的個，具體這里也就是2/3（因為這里的“所論素數(shù)S”為3），而不再是1/3了。在16兩邊對稱的奇數(shù)對為15、17；13、19；11、21；9、23；7、25；5、27；3、29。共7對。7乘以2/3，舍棄余數(shù)（分數(shù)部分）后整數(shù)部分為4，我們看到，上述7對奇數(shù)對中含有素數(shù)3因子的為5對，分別是15、17；11、21；9、23；5、27；3、29。相對于4而言，有所誤差。但如果所選偶數(shù)非常大，我們將會看到，這種誤差對下面將要進行的討論無任何影響。對于所論素數(shù)大于3的情況，讀者可自行驗證。引理2：有某素數(shù)A及整數(shù)N，當(dāng)A2N時，從N以下的任

9、何數(shù)不會是大于A的兩個素數(shù)相乘的合數(shù)。證明很容易。設(shè)BA，則ABA2N,得證。以下將在上述討論的基礎(chǔ)上，證明強哥德巴赫猜想。對任一偶數(shù)N，小于它的奇數(shù)有個；分別位于中點二邊的奇數(shù)對有對只取整數(shù)部分個（即如有分數(shù)部分，就將分數(shù)部分舍棄）。當(dāng)然，這里是將1這個特殊的奇數(shù)包括在內(nèi)的。由引理1可知，這些奇數(shù)對（）中有素數(shù)3因子的奇合數(shù)最多，最多占奇數(shù)對總數(shù)的（此時不考慮相對中點對素數(shù)3對稱的情況，也就是有素數(shù)3因子的奇合數(shù)占奇數(shù)對總數(shù)的情況）。換言之，沒有素數(shù)3因子的奇數(shù)占奇數(shù)對總數(shù)的1=，即個（不考慮除不盡時的分數(shù)部分）。而在這些已不含素數(shù)3因子的奇數(shù)對中，同理，含有素數(shù)5因子的，又占其（同樣考慮相

10、對中點非對稱的“最不利”情況，否則為）。而不含素數(shù)5因子的奇數(shù)，占奇數(shù)對總數(shù)的1=，即個（舍棄分數(shù)部分），余類推，比如素數(shù)7、11、13、等等。直到某素數(shù)S，S為小于的最大一個素數(shù)，這是引理2所決定的。于是，在N之下，再無素數(shù)因子大于等于S的合數(shù)存在。于是我們有所給偶數(shù)N之內(nèi)的不含合數(shù)奇數(shù)對（即素數(shù)對）為： .1 倒數(shù)第二步，為倒數(shù)第三步分子、分母上下相消所得。此式在N16時總被滿足。特別當(dāng)N時，即滿足哥德巴赫猜想偶數(shù)N的素數(shù)對數(shù)不少于（由公式1）且隨N趨于無窮而趨于無窮。這是一個比傳統(tǒng)哥德巴赫猜想強的結(jié)論，因此，可稱之為“強哥德巴赫猜想”。這里應(yīng)該特別說明的是；上式中我們是把式中的素數(shù)本身也

11、算作合數(shù)的，并未加以區(qū)分。也就是所有小于素數(shù)，也被刪去了。但即使如此，哥德巴赫猜想也能被滿足。如果算上由這些本不該刪的素數(shù)可能構(gòu)成的素數(shù)對，滿足歌德巴赫猜想的素數(shù)對將更多。此外，也應(yīng)該說明，偶數(shù)N內(nèi)的奇數(shù)對為（取整）個，但1+（N1）類型的奇數(shù)對不能算。因為1不是一般的素數(shù)。通常將其排除在外，哥德巴赫猜想也不包含這種類型的素數(shù)對。所有公式1中的，實際應(yīng)為1。比如偶數(shù)32，中間數(shù)（中點）為16，算1+15的奇數(shù)對共8個，不算的則為7個（有效的），但N足夠大時，此誤差幾乎不用考慮。 前已述及，盡管公式1歲證明哥德巴赫猜想已經(jīng)足夠，但由于將3、5、7、11等素數(shù)也記入了含素因子的合數(shù)中，因此度與確定

12、素數(shù)對而言，并不精確。盡管這與傳統(tǒng)哥德巴赫猜想已無關(guān)系，但給出一個更精確的素數(shù)對公式還是有意義的。這里我們提出更精確的公式： 2其中N、S的含義與前文相同。N為所論偶數(shù)；S是滿足小于.的最大的一個素數(shù)。我們之所以在每一因子項中加一項，是為了取回已被刪去的相應(yīng)素數(shù)。不難看出，式2的每一因子都大于式1的相應(yīng)因子（不考慮。因此，式2之值大于式1之值，不影響強哥德巴赫猜想的結(jié)論。當(dāng)然，此式有一不能整除時的取模問題。可以證明，一個分數(shù)取模后再加1，與其加1后再取模是一樣的（證明從略）。即：+1= 3 其中符號表示“取?！?，即取整數(shù)部分。由于此細節(jié)對證明已無大礙，故可不予考慮。 至此，強哥德巴赫猜想得到證

13、明。文后說明：筆者自2010年12月中旬偶然涉足哥德巴赫猜想，至12月23日筆者60歲生日當(dāng)天獲關(guān)鍵性突破，2011年元月初基本解決此問題（可見相關(guān)筆記）。2011年2月，筆者購得幾本有關(guān)哥德巴赫猜想的書，其中有有唐國勝先生的用分層對應(yīng)篩法對“哥德巴赫猜想”的證明（2002年出版），筆者發(fā)現(xiàn)唐先生總結(jié)出的公式、結(jié)論與本文結(jié)果竟然相同，盡管唐先生的論述過于復(fù)雜以致別人很難理解，且似并未給出嚴格意義的證明。此后，筆者又在互聯(lián)網(wǎng)上發(fā)現(xiàn)胡楨先生（可能已于2006年去世）2000年在與網(wǎng)友的討論中，也有相似結(jié)果出現(xiàn)。筆者認為，對于這么一個有著二、三百年歷史，被公認相當(dāng)困難的問題，在短時期內(nèi)竟然有三個人完

14、全獨立地得到同樣結(jié)果，是很奇妙的一件事。同時，可以想見，三個人就同一問題犯同樣錯誤的可能性也是極低的，幾乎沒有可能。因此希望此文能引起廣大數(shù)學(xué)愛好者的充分重視。同時，實事求是地評價相關(guān)作者們的貢獻、成就，不使其被埋沒（盡管他也許已不在人世），也是一個學(xué)者所應(yīng)該作的。特此為記。 以上文章的基本思路，是十幾年前2010年12月23日我的60歲生日當(dāng)天得到的，記得我當(dāng)時在隨手拿到的一張紙上記的筆記的一角寫下了：“今日是我60歲生日，當(dāng)可一記也！”幾個字。回想起來，又十年矣！特為之再記一次吧。. 最近的重要補充，關(guān)于孿生素數(shù)猜想的： 還有一點，我要做些重要的補充：實際上，按此種方法，證明的不止是哥德巴

15、赫猜想。實際上孿生素數(shù)猜想也一并證明了。因為前面的素數(shù)對，并沒有特殊的要求。對哥德巴赫猜想而言，是從給定偶數(shù)的中間數(shù)的兩邊去配對，而對孿生素數(shù)猜想，就是相間地配對，結(jié)論都一樣。舉例說明如下：比如有終結(jié)于一個偶數(shù)N（這里是50）的自然數(shù)集如下： 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37、38、39、40、41、42、43、44、45、46、47、48、49、50 哥德巴赫猜想所要求的素數(shù)對是從此區(qū)間最大的偶數(shù)50的中點也就是以50/2

16、= 25的兩邊配對的。即有奇數(shù)對23、27；21、29；19、31；17、33；15、35；13、37；. 而孿生素數(shù)猜想要求的奇數(shù)對是 3、5；7、9；11、13；15、17；19、21；23、25；27、29；31、33；35、37；39、41；43、45；47、49 其根號下N，的N，可以認為是近似50的49，根號下49，就是7這個素數(shù)。小于50以下，不可能有含有大于7的素數(shù)構(gòu)成的合數(shù)。這就是問題的根本。直觀上可以看到，我們把小于7的素數(shù)對都舍棄（為了計算方便而已）剩下的奇數(shù)對是大于合數(shù)對的，剩下的奇數(shù)對必然只能是素數(shù)對。大于7的奇數(shù)對共10個，其中合數(shù)對（兩個奇數(shù)中只要有一個合數(shù)就算“

17、合數(shù)對”）為15、17；19、21；23、25；27、29；31、33；35、37；39、41；43、45、47、49共9個，還剩一個11、13，是個素數(shù)對。 其它滿足要求的分法也一樣。比如按分法 9、11；13、15；17、19；21、23；25、27；29、31；33、35；37、39；41、43；45、47 十個奇數(shù)對中有5對合數(shù)對，剩下的5個即為素數(shù)對。其它的配對法應(yīng)該也一樣。 對于誤差的排除問題，筆者早有專文討論，這里不去贅述了。 所以說，本方法原本是設(shè)計用于單純證明哥猜的，但卻意外地發(fā)現(xiàn)也同樣可以證明孿生素數(shù)猜想。這其實也沒有什么奇怪的。當(dāng)年希爾伯特提出20世紀(jì)的20多個問題時，他

18、并沒有單獨提出具體的素數(shù)問題，而是把這些問題歸于一類。他是有眼光的！其實素數(shù)問題是相同的，規(guī)律就一個，體現(xiàn)在不同的方面而已。 以下提兩點：可先不說證明的得失，就按上述思路去用計算機驗證之（指這兩個問題）；提出“反哥德巴赫猜想”、“反孿生素數(shù)猜想”。大白話就是我的證明哪里不對，用反證法給證明出來不對的地方。 順便說一句，對試圖用“解析數(shù)論”解決命題極其簡單明確的這類數(shù)論問題，動輒幾百頁的東西，一定不要信。在我本人現(xiàn)在的心目中，不用簡單明確的所謂“初等數(shù)論”方法解決此類問題，根本就不叫解決。不要說幾十年了，解析數(shù)論方法走入了死胡同，就算哪天有什么人聲稱用解析數(shù)論解決了這類問題，并且有權(quán)威專家認可了

19、，大家也要存疑不信。幾百頁的東西，每一行都是陷阱。而且什么極限，趨于無限之類，本身就問題多多（見我對微積分、集合論的文章），自己都自顧不暇，還能解決什么哥猜？按那條思路，永遠沒有出路。這就是我的判斷。這不禁使我想到數(shù)學(xué)大家丘成桐先生在其自傳中提到，他對費爾德曼解決彭加勒猜想的結(jié)果總是感到什么地方有問題，他說提出來肯定會得罪一些人，但自己只能據(jù)實以告（大意）。連他都對這種異常復(fù)雜的東西有懷疑。他疑得，我輩疑不得？ 二、 關(guān)于哥德巴赫猜想證明中的誤差問題的說明及補充證明 自筆者在文獻1中提出一個對哥德巴赫猜想的證明后，有學(xué)者就其誤差問題提出質(zhì)疑。提出：筆者發(fā)現(xiàn)并證明的有關(guān)素數(shù)及哥德巴赫猜想證明中的

20、重要規(guī)律，即在我們針對某具體素數(shù)并用其去除奇數(shù)對的個數(shù)時，每該素數(shù)個奇數(shù)對，最多會有2個含有該素數(shù)的奇合數(shù)對（包括該素數(shù)本身。所謂“奇合數(shù)對”，是指一對奇數(shù)（相加后等于所論偶數(shù)的兩個奇數(shù)）中，只要其中一個奇數(shù)是該素數(shù)或更多情況是含該素數(shù)的合數(shù)即可），也就是最多有兩個必須刪去的奇合數(shù)對。這在整除時是精確的，或在相除后的整數(shù)部分是精確的。但用素數(shù)去除奇數(shù)對的個數(shù)時，由于通常不能整除，小數(shù)（或純分數(shù)）部分會有誤差。隨著我們從小到大地對素數(shù)進行這種先除再刪含該素數(shù)因子的奇合數(shù)對（也可以說是保留不含該素數(shù)的奇數(shù)對），參與相除的素數(shù)不斷增多，且不斷增大。所以盡管通常誤差會正負相消而趨于0，但也不能絕對地排

21、除（起碼還沒有證明）極端情況下的誤差累計越來越大，以至于最終威脅到這一證明的成立與否。比如，我們有23個奇數(shù)對，被素數(shù)5除，將得4又3/5。也就是整除部分為4，但還余3個奇數(shù)對。由于我們必須要在存在5個奇數(shù)對時才能確定肯定會有2個含5因子的合數(shù)對（含5本身），現(xiàn)在只有3個奇數(shù)對，在這3個中，究竟是有1個含5因子的奇合數(shù)對，還是2個，還是沒有，無法預(yù)先確定，也似乎無法在這種從小到大的操作過程中針對各種情況總結(jié)出規(guī)律性的東西。而且即使有規(guī)律，肯定也太復(fù)雜而不直觀。還有一點必須說明的，我們在計算刪去含素數(shù)5因子的合數(shù)對后，所剩余的奇數(shù)對的比例為（1-2/5）=3/5，如果原先的奇數(shù)對仍為23個，要求

22、出確定值，不能23先乘以分子上的3再除以5，這樣得到13又4/5，不對。不是13個為確定值，4個不確定。應(yīng)該是23先除以5，得4又3/5，其意義是23個奇數(shù)對中，有如果5個一組，有4組，但還有3個奇數(shù)對不能成為一個完整的組。也就是前面說的無法一般性地確定究竟該刪去幾個（除非針對具體的偶數(shù)已經(jīng)確定的情況，但這對我們的討論沒有意義，我們研究的是針對所有偶數(shù)的情況），也就是說，經(jīng)過先除5的操作后，我們可以確定肯定是可以留下4*3=12個奇數(shù)對的，還有3個無法確定究竟是否應(yīng)該留下來。我們只能說，這3個奇數(shù)對能否留下來的概率，每一個是3/5。3個，就是3*（3/5）=9/5=（1又4/5）。這是一個概率

23、的概念，是不確定的。由以上討論，我們明確了誤差究竟是怎么回事和怎么來的。有關(guān)學(xué)者的質(zhì)疑是：如果我們在對每一個素數(shù)進行上述除法操作時都可能有誤差，那么，其累計誤差是否太大，從而使筆者的證明不再能夠成立？換言之，如果我們?nèi)O端情況（實際幾乎就不可能，但需要證明），即對每一個素數(shù)操作時都少刪了2個奇合數(shù)對，或者雖然沒有每次都少刪2個，但刪的足夠多，如此，可能刪光了所有的奇數(shù)對，也就是所有的奇數(shù)對都是奇合數(shù)對，都該刪去，也就是沒有一個素數(shù)對會被留下來，也就是哥德巴赫猜想不成立。但情況真的會是這樣嗎？這種極端的情況會真的在現(xiàn)實中發(fā)生嗎？直觀上不可能，但需要嚴格的證明。筆者在前期的論文（見文獻1）中，對此

24、重視不夠，太過簡略。事實上，如果我們從最小的素數(shù)3刪起，逐漸再依次從小到大刪除含5、7、11、13。等素數(shù)的奇合數(shù)對，直到小于根號下N的最大（第一個）素數(shù)，這里N是當(dāng)時所選取的偶數(shù)。一個事實是，素數(shù)越小，刪除的奇合數(shù)對的比率越大，保留下的奇數(shù)對的比率越小。比如，我們就素數(shù)3操作時，每3個奇數(shù)對中，要刪除2個，保留1個，也就是僅僅保留了1/3。而對素數(shù)5操作時，每5個奇數(shù)對中，要刪除2個，保留3個，也就是3/5，保留的比率多了。以下依次類推。這樣一來，刪除（也就是保留）操作一開始，涉及的素數(shù)還不多時，就已經(jīng)刪除了較多的奇合數(shù)對，而保留的較少，于是，在后面刪（保留）更大的素數(shù)所對應(yīng)的含該素數(shù)的奇合

25、數(shù)對時，所剩奇數(shù)對少了，不夠那個或那些更大的素數(shù)去整除了。由此造成誤差或不確定性。因為我們前面已經(jīng)說過，只有整除或除后的整數(shù)部分，刪除或保留的奇數(shù)對數(shù)才是確定的。而不能整除的部分，是在一般意義上是不確定的。只能在概率意義上討論問題。既然不確定，也就無法確定是否全部奇數(shù)對都不會被刪去，也就是哥德巴赫猜想沒有嚴格意義上地被證明。那如何擺脫這一困境？其實再簡單不過了：我們僅僅反過來做，先從大的素數(shù)起開始操作（指同樣的刪除或保留）就可以了。比如，我們在文獻1種已經(jīng)得到計算公式（1）： .1其中N為所論及的那個足夠大的偶數(shù)，或更嚴格地，是比那個偶數(shù)小的第一個這樣的奇數(shù)：它是某一個素數(shù)的平方。這個素數(shù)用“

26、根號下N”即N的開平方來表示。而N/4，就是在這個偶數(shù)下的所有滿足二者之和等于該偶數(shù)的奇數(shù)對的數(shù)量（這在文獻1中早有論述，這里不再重復(fù)）。我們看到，當(dāng)N也就是那個偶數(shù)（不太嚴格地）足夠大時，作為奇數(shù)對的N/4是遠大于作為那個素數(shù)的“根號下N”的，也就是，它必然可以被整除或者有整數(shù)部分。于是我們干脆舍棄小數(shù)部分（即那個不能再被整除的分數(shù)），整數(shù)部分再乘以“（根號下N）-2”這就是確切可以留下的奇數(shù)對的個數(shù)。而我們知道，兩個素數(shù)之間最小可以只相差2（孿生素數(shù)情況下），這是個極端情況，而即使在這種情況下，比素數(shù)“根號下N”小的第一個素數(shù)也剛好是“（根號下N）-2”，顯然，前面那個比之大2的素數(shù)除后的

27、所留下的奇數(shù)對的個數(shù)正好是它的的整數(shù)倍。極端情況，就算1倍，它也已經(jīng)可以被與其大小一樣的下一個（比這一個素數(shù)小2的）素數(shù)（孿生素數(shù)情況下）整除了，而且得數(shù)為1，再乘以分子上的“（根號下N）-2-2”，也就是“（根號下N）-4”，當(dāng)然就是它本身，余下的依次類推，也就是即使在最極端的情況下，也能保證整除或者有整數(shù)部分，也就是能刪的奇合數(shù)對或能保留的奇數(shù)對是完全可以確定的。依次操作下來，當(dāng)我們除完最小的素數(shù)3時，就算只保留一個，也是總會有起碼一個素數(shù)對滿足哥德巴赫猜想，于是這個猜想成立顯然，也就是被證明。 這個從大到小的刪除（或保留）順序，宗旨是越大的素數(shù)，可刪除的奇合數(shù)對占總奇數(shù)對的比率越低，也就

28、是可保留下來的奇數(shù)對越多，這樣可以為對較小的素數(shù)進行刪除（保留）操作提供“充足的數(shù)量空間”，明確說就是使剩下的奇數(shù)對足夠多，以滿足整除或除后得到的數(shù)有小數(shù)點前的整數(shù)部分，以致去掉小數(shù)后面的部分，也還能保證對下面更小的素數(shù)的同樣的操作。 舉個例子說明：設(shè)“根號下N”這個序列中最大的素數(shù)是7，7的平方是49，其上對應(yīng)的偶數(shù)是50。我們用50或49除以4為12（取整數(shù)即可）。12/7，當(dāng)然有整數(shù)部分。舍棄小數(shù)點后的部分，為1，再乘以5/7中的分子5，還是5，它又完全可以被下一個小些的素數(shù)5整除，得1，1再乘以3/5中的分子3，還是3，而3又可以被最小的素數(shù)3整除，得1，1 再乘以1/3中的分子中的1

29、（多此一舉了），還是1，也就是起碼有1個素數(shù)對中的兩個素數(shù)相加是得該偶數(shù)50的，也就是能滿足哥德巴赫猜想。注意，這里的操作應(yīng)該先作除法，再乘分子上的數(shù)，而不能先乘再除，否則有誤差。理由前文已述。如果我們在這個例子中沿相反的方向，也就是從小到大地刪除奇合數(shù)對（或保留奇數(shù)對），看看會出現(xiàn)什么情況：還是那12個奇數(shù)對，除以3，得4，再用4乘以1/3中分子上的1，還是4。也就是還剩4個奇數(shù)對。此時再用下一個素數(shù)5除，則不能整除了，得4/5，如果不看這4個具體數(shù)，我們不知道在一般情況下我們應(yīng)該刪或保留4個奇數(shù)對中的幾個。而盲目地保留或刪除，或依據(jù)概率給個數(shù)，都不是有充分把握的。 以上，通過簡單、明確的說

30、明，應(yīng)該已經(jīng)可以徹底澄清哥德巴赫猜想證明過程中的誤差問題。其中從大到小地刪除還是從小到大地刪除，起著決定性的作用。當(dāng)然，與“刪除”相對應(yīng)的，就是“保留”，我們刪的是合數(shù)，留的是素數(shù)。沿此思路，其實我們完全還可以很好地解釋（1）式的成立。這里不想占篇幅詳細論述了，只提供一個思路：由于在（1）式中，小數(shù)點后面的小數(shù)（或整數(shù)部分后面的分數(shù)）表示的是一個概率，比如，5/7，表示此時還剩5個奇數(shù)對，但如果被素數(shù)7除，不夠除的，所以無法確定究竟該如何決定5個奇數(shù)對的取舍。所以，每一個奇數(shù)對，它保留的概率是5/7。在（1）式中，由于所有這些素數(shù)的不能整除的分數(shù)部分是參與連乘的關(guān)系，所以概率是累積的。但實際上

31、，由于我們是從最大的那個素數(shù)開始操作的，這個素數(shù)自乘（平方），是小于該所論偶數(shù)的最大的奇數(shù)的，凡大于此數(shù)的，都會大于該偶數(shù)而不予考慮了，因此，所謂該刪的含該素數(shù)的奇合數(shù)，它含有的其它素數(shù)，只能比這個素數(shù)小。也就是會在刪比這個素數(shù)小的奇合數(shù)是被刪掉。同時我們前面已經(jīng)證明，按這種操作方法，都會有整數(shù)部分，因此實際保留下來的素數(shù)對，應(yīng)該只能比（1）式中含概率意義的下的素數(shù)對多，因此（1）式完全成立?？偟脑瓌t和思路，是先刪除含可能的最大的素數(shù)組成的奇合數(shù)對，由于這個素數(shù)大，所以那個含有它的奇合數(shù)對占總奇數(shù)對的比率必低，可刪的少；另一方面，也就是說可保留的奇數(shù)對必多，下面再去對更小的素數(shù)操作時，可以保證

32、能夠逐次刪掉余下的含較大素數(shù)的奇合數(shù)對。而如果先從小的素數(shù)操作起，結(jié)論就比較模糊了。這個思路理解起來要復(fù)雜一些，這里只是提一下，由于哥德巴赫猜想已經(jīng)可以由前面的方法證明了，所以對這個證明的理解就不是很重要了。讀者可以略去。至此，筆者在文獻1中對哥德巴赫猜想的證明過程中的誤差問題，應(yīng)該得到了很好的說明，同時本身也是一個更確切的證明。它徹底地排除了誤差問題的困擾，無任何懸念地證明了哥德巴赫猜想。本文請對照文獻1閱讀?？煽闯墒俏墨I1的一個補充，也可看成是一個補充證明。我為什么敢說哥德巴赫問題已獲解決？ 自徐遲的文章發(fā)表后，“引無數(shù)英雄競折腰”，搞哥德巴赫猜想的人一時多如“過江之鯽”，科學(xué)院數(shù)學(xué)所收稿

33、是現(xiàn)代版的“汗牛充棟”裝滿了麻袋。終于，不耐煩的專家們煩了，宣布：用初等方法解決哥德巴赫問題，無異于“騎著自行車上月球”根本不可能！可是我不得不怯生生地向這些凡事都號稱追求嚴密的“數(shù)學(xué)家”們請教一哈：說哥猜不能用初等方法證明這個命題本身，您給出證明了嗎？也就是，您用怎樣的方法，證明了對此問題，初等方法無解？也許有人會說，一般如此。但是，難道科學(xué)研究的目的，就是不斷去推翻這些“一般如此”嗎？數(shù)論方面的“素數(shù)定理”，很長時間也被公認是不能用初等方法解決的，但后來不是被外國人初等地解決了嗎？再透露一個小秘密：騎著自行車是完全可以上月球滴！你在飛船上放一輛自行車，再騎上去，不就“騎著自行車上月球”了。

34、如此說來，別說是騎車，就是步行，甚至站著不動，都是可以上月球滴。 言歸正傳。我是去年底才去關(guān)注此問題的。以下實話實說。單位發(fā)了圖書大廈的購書卡，快到期了。去買書時，看到一本外國人寫的介紹黎曼猜想的書。過去一直以為，此方面不是我的研究領(lǐng)域，對我是高不可攀的，但看了此書，引起了我的興趣。同時認為，黎曼猜想可能更難，還是哥德巴赫猜想的命題簡單明確，或許簡單些。而且我始終有一種感覺，如此簡單、明確的斷言，如果是真理，它一定應(yīng)該存在非常簡單的內(nèi)在原因。我并不是特別認真的，屬無心插柳一類。能搞成則搞，搞不成拉倒。這原本不是我的領(lǐng)域嘛。根據(jù)我的筆記，我是2010年12月14日開始有筆記的，12月23日，取得

35、重大突破，因為當(dāng)日是我的生日，所以特別在筆記上寫了“特此一記”之類的話。2011年1月初，更加完善了證明。其后，就放下了此問題，又去搞黎曼、角谷、孿生素數(shù)問題。并也有所心得。2月，我突然想看看此問題的研究狀況，就在網(wǎng)上買了一些有關(guān)哥猜的書。書送達后，我隨便翻翻，突然在一本書上發(fā)現(xiàn)了與我得到的結(jié)果完全一樣的公式。我大為吃驚。仔細看后，斷定其思路盡管不同于我，而且其表述過于繁復(fù)，如果不是我已經(jīng)有了此思路，別人是很難理解他的本意的。但本質(zhì)是一回事，都反映了素數(shù)的同一個規(guī)律。只不過他似乎沒有給出嚴格的證明。但路子無疑是對的！此書的作者是上海的唐國勝律師，書是2002年出版的。我給他打了電話，充分肯定他

36、的成就。并寄去了我的筆記復(fù)印件。后來，我在網(wǎng)上又發(fā)現(xiàn)有一個叫胡楨的，其未正式發(fā)表的文中竟然也有這個公式。日期是2000年，好像。他的東西我沒有細看，不管嚴格不嚴格，別的途徑是得不出此公式及結(jié)論的。2003年后，再無此人消息?？赡芤呀?jīng)去世（2006年）。我的意思是，原先有兩個人獨立地得到同樣的結(jié)果，就已經(jīng)很讓我吃驚了，這一下有三個人獨立地得到相同的結(jié)果。諸位網(wǎng)友，您們不認為我們?nèi)齻€人錯到一起的可能性是非常低的嗎？這種概率發(fā)生的可能性應(yīng)該是可以算出來的吧？我之所以稱我們的結(jié)果為“強哥德巴赫猜想”的原因，是我們的結(jié)果比傳統(tǒng)哥德巴赫猜想的內(nèi)容要多。哥猜并未給出滿足的素數(shù)對的個數(shù)（即只要有一對就可），而

37、我們是給出了下限的，也就是隨著所給偶數(shù)的增大，滿足哥猜的素數(shù)對也是隨之增多的（按一定規(guī)律、比例）。不信諸位可以驗證，只要出現(xiàn)少于此規(guī)律的素數(shù)對，就算我們錯！而不必哥猜不滿足才算我們錯。 還有一點，我想特別強調(diào)?，F(xiàn)在這個問題從圣壇上走下來了。隨便什么人，只要他有個中學(xué)水平，都可以進行判斷對錯。我在此號召有興趣者：都來跟著我們思路算一算，想一想，判斷一下。如果有錯，是很容易指出來的。 四、我對哥德巴赫猜想的證明思路 筆者在“國家科技圖書文獻中心預(yù)印本”發(fā)表了“強哥德巴赫猜想的證明”一文。不但證明了該猜想，而且得到了更強的結(jié)果。因而謂之“強哥德巴赫猜想”。有興趣的數(shù)學(xué)愛好者可去該中心下載。由于該證明

38、文章必須顧及數(shù)學(xué)證明的“嚴格性”，因此有面面俱到的缺點，反使解決該問題的重點思路不突出了。此文試圖用極其通俗易懂的語言，解釋筆者的證明思路而不涉及具體的證明過程。也就是，使此證明所反映的整數(shù)間的客觀規(guī)律突出出來，大家一看就懂。然后就可以品評一番了。以下分步驟詳述之。任何偶數(shù)N，滿足兩個奇數(shù)相加等于它的奇數(shù)對共有N/4個（取整）。而且這兩個奇數(shù)分別小于、大于該偶數(shù)除以2的“中間數(shù)”，也就是在該“中間數(shù)”的兩邊。這都是顯然的。比如偶數(shù)20，其中間數(shù)是10，滿足兩個奇數(shù)相加等于它的奇數(shù)對分別是：9、11；7、13；5、15；3、17；1、19。其中1、19沒有意義，可以舍去。在所取偶數(shù)很大時，誤差是

39、很小的。在我們對任何偶數(shù)N，在其中點N/2兩邊等距地取奇數(shù)以構(gòu)成其和等于N的奇數(shù)對時，是存在周期性的規(guī)律的：對任何小于根號下N（也就是N的1/2次方）的素數(shù)S（注意，這里不是“奇數(shù)”）而言，在上述奇數(shù)對中，如果兩個奇數(shù)中都含有S因子（也就是能被S整除），則這樣的奇數(shù)對占全部奇數(shù)對總數(shù)（N/4）的1/S；而如果是該奇數(shù)對的兩個奇數(shù)中只有一個奇數(shù)含有S因子，則這樣的奇數(shù)對占全部奇數(shù)對總數(shù)（N/4）的2/S。讀者可自行驗證上述規(guī)律。注意，上面的第一種情況（也就是占1/S的情況），是該偶數(shù)N的中點N/2中含有素數(shù)S因子時的情況。而第二種情況（也就是占2/S的情況），是中點數(shù)不含該素數(shù)S因子的情況。比如

40、，如果所論偶數(shù)N為42，則其中點數(shù)是21，為素數(shù)3的合數(shù)，也就是含有素數(shù)3因子（能被3整除），于是，在滿足要求的奇數(shù)對19、23；17、25；15、27；13、29；11、31；9、33；7、35；5、37；3、39中（1、41無意義，舍棄），含有3因子的奇數(shù)對是15、27；9、33；3、39，正好3對，正好占全部奇數(shù)對總數(shù)9個的1/3（這里S為3）。而對于素數(shù)5，則中點數(shù)21中不含5因子，所以，可以看出，含5因子的奇數(shù)不會同時出現(xiàn)在上述奇數(shù)對的兩個奇數(shù)中，比如17、25；15、27；7、35；5、37，是分別出現(xiàn)的。而且其數(shù)目基本占全部奇數(shù)對總數(shù)N/4（這里也就是42/4=10（取整）的2/

41、5，也就是4個。其它情況，讀者可自行多舉幾個例子驗證之。所取偶數(shù)越大，誤差越小，因為不整除而有余數(shù)并被舍棄所產(chǎn)生的誤差將隨所論的偶數(shù)N的增大而變得微不足道。這里揭示的規(guī)律本不足為奇，因為對素數(shù)S而言，每隔S的倍數(shù)，就有一個含有S為因子的整數(shù)。每隔2S，就有含有S為因子的奇數(shù)（當(dāng)然，或偶數(shù)）。因此，對奇數(shù)對而言的規(guī)律，不過是這一整數(shù)規(guī)律的“次規(guī)律”而已。既然我們知道了含素數(shù)S因子的奇數(shù)對相對奇數(shù)對總數(shù)的比例（所占比例），那么，我們用1來減，就可得到不含素數(shù)S因子的奇數(shù)對相對奇數(shù)對總數(shù)的比例了。也就是（1-1/S），或（1-2/S）。比如，對素數(shù)3而言，在所論偶數(shù)N中，不含素數(shù)3因子的奇數(shù)對數(shù)為：

42、奇數(shù)對總數(shù)乘以（1-1/3），也就是乘以2/3；或者是奇數(shù)對總數(shù)乘以（1-2/3），也就是乘以1/3。而所謂“奇數(shù)對總數(shù)”，前面已經(jīng)指出了，很顯然，就是N/4。換言之，就是（N/4）*（2/3），或（N/4）*（1/3）。“*”在此處作為乘號。兩種情況何時適用，前面已經(jīng)所論甚詳了。對素數(shù)5、7等等，道理一樣，不過把上面的素數(shù)3換成5、7等等就可以了?？梢宰C明，當(dāng)然也可以實際去驗證，上面揭示的關(guān)于在奇數(shù)對中含或不含素數(shù)S因子的規(guī)律，即相對奇數(shù)對總數(shù)的比例的規(guī)律，不但對奇數(shù)對總數(shù)有效，對在所有在奇數(shù)對總數(shù)中刪去了所有或任何含有或不含小于素數(shù)S的素數(shù)因子的奇數(shù)對總數(shù)，仍然有效。比如相對于素數(shù)7，對前

43、面所述的一種情況而言，不含素數(shù)7的奇數(shù)對數(shù)為（N/4）*（1-2/7），當(dāng)然，這是相對奇數(shù)對總數(shù)（N/4）的。而對于在奇數(shù)對總數(shù)中已經(jīng)刪去了含有素數(shù)因子的奇數(shù)對數(shù)而言，也就是相對（/4）*（-2/3）而言，該規(guī)律仍然成立。換言之，在奇數(shù)對總數(shù)中，既不含因子，也不含因子的奇數(shù)對數(shù)為（）*（）*（）。這個規(guī)律是很重要的，但很好證明。此處從略了。對任何已經(jīng)選定的偶數(shù)，如果逐次（從小到大）刪去含有素數(shù)、，的素數(shù)對，那么，刪到什么時候為止呢？由于我們是從小到大去刪的，于是，當(dāng)刪到一個素數(shù)，其自乘（也就是平方）數(shù)大于所選定的偶數(shù)時，就不必再刪了，因為所有包含有小于素數(shù)的素數(shù)因子的奇數(shù)對都已經(jīng)被刪除了，而只

44、包含大于等于素數(shù)因子的合數(shù)，都已經(jīng)大于所選偶數(shù)了（包括其自乘數(shù)*，即的平方，此數(shù)為最小的，但也已經(jīng)大于了），所以不必考慮了。有了以上的準(zhǔn)備，現(xiàn)在我們要問：在所選偶數(shù)中，刪去所有包含合數(shù)的奇數(shù)對后，還剩下什么？能否肯定還有奇數(shù)對而此時已肯定成為了單純的素數(shù)對了存在？只要能證明有一對這樣的素數(shù)對存在，哥德巴赫猜想就告證明。根據(jù)以上討論，我們可以確定，對所選任一偶數(shù)而言，刪去其所有奇合數(shù)對的后的奇數(shù)對（也就是奇素數(shù)對）數(shù)顯然為：（）*（）*（）*（）*（）*（根號下）注意上式中沒有（），因為不是素數(shù)。其它不是素數(shù)的情況也一樣，不出現(xiàn)在上面的公式中。這里，我們在上式中加上（）這類的因子，由于這是一個分母大于分子的分數(shù)，乘上這么個因子，只能使整個式子變小，于是，上面的式子就大于下面的式子：（）