專升本《高等數(shù)學(xué)》易錯(cuò)題解析-第八章：多元函數(shù)微分法

1、PAGE 多元函數(shù)微分學(xué)一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖二、典型錯(cuò)誤分析例1.求錯(cuò)解 引入極坐標(biāo),并注意到,故原式錯(cuò)因分析 若, 則要求動(dòng)點(diǎn)沿任何方向、任意方式趨于點(diǎn)時(shí),函數(shù)均趨于A. 本題的以上解法僅反映了動(dòng)點(diǎn)沿從原點(diǎn)引出的射線方向趨向于時(shí),函數(shù)的極限是零,這不足以說(shuō)明該函數(shù)的極限就是零.正確解法 由于 且 于是 例2.求錯(cuò)解 由于 于是 又 故 錯(cuò)因分析 未必成立,例如,取則正確解法 由于 于是 而 故 例3.設(shè)問在點(diǎn)處:(1)偏導(dǎo)數(shù)是否存在? (2)偏導(dǎo)數(shù)是否連續(xù)? (3)是否可微?錯(cuò)解 (1) 可見及都不存在.(2)顯然可知及在處不連續(xù).(3)由上述知在處不可微.錯(cuò)因分析 忽略了分段函數(shù)在其分界點(diǎn)處的偏

2、導(dǎo)數(shù)必須利用定義來(lái)求.正確解法 (1)由于故存在. 同理也存在且等于零.(2) 由于 可知該極限不存在. 同理可證不存在. 故及在處不連續(xù).(3)注意: 函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)是函數(shù)可微的充分條件, 而不是必要條件,因此不能由(2)直接得出在處不可微.由于 且知 因而 故函數(shù)在處可微.例4.設(shè),.試將,用的偏導(dǎo)數(shù)表示.錯(cuò)解 如下圖,可知 故 又由 故 由,聯(lián)立解之, 得其中錯(cuò)解分析由得到的是錯(cuò)的. 中等式左右兩端的不能消掉,這是因?yàn)閮烧叩暮x截然不同. 等式左邊的是在中把看作常量對(duì)求偏導(dǎo)而得;而等式右端的是把與看作相互獨(dú)立的變量,即把看作常量對(duì)求偏導(dǎo)而得. 以后凡遇到一個(gè)變量即是自變量又是中間變量的

3、情況,兩邊對(duì)該變量的偏導(dǎo)數(shù)要寫成不同的符號(hào)以示區(qū)別.正確解法 由前面圖可知 解之, 可得其中.例5.設(shè),而是由方程所確定的的函數(shù),試求.錯(cuò)解 由,則 又由,則 將代入得 錯(cuò)因分析 沒有弄清函數(shù)的關(guān)系是問題所在. 一般來(lái)說(shuō), 三個(gè)未知量?jī)蓚€(gè)方程所反映的函數(shù)關(guān)系是其中兩個(gè)變量是另一個(gè)變量的函數(shù).從所求之結(jié)果可知,均是的一元函數(shù).正確解法由及確定出為的函數(shù),將給定的兩個(gè)方程的兩邊對(duì)求導(dǎo),便有 解之, 得例6.設(shè),且具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),求,.錯(cuò)解 錯(cuò)因分析在求二階偏導(dǎo)數(shù)時(shí),把僅僅看作是或的函數(shù)是不妥當(dāng)?shù)?事實(shí)上它們?nèi)匀皇且詾橹虚g變量, 以為自變量的函數(shù).正確解法 三、綜合題型分析例7.證明極限不存在

4、.分析 為了證明二元函數(shù)在點(diǎn)處極限不存在,只需找出兩條不同的路徑和,使點(diǎn)在定義域D內(nèi)沿和趨向于點(diǎn)時(shí)趨向于兩個(gè)不同數(shù)值;或找出一條路徑,使點(diǎn)在定義域D內(nèi)沿趨向于點(diǎn)時(shí)的極限不存在.證明 因沿:,有,而沿:,有,故不存在.例8.分別討論下列函數(shù)在其定義域中的連續(xù)性:(1) (2) 分析 題設(shè)的兩個(gè)函數(shù)都是二元分段函數(shù),當(dāng)時(shí)它們分別是由自變量與自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)四則運(yùn)算得到的函數(shù),利用已知一元函數(shù)的連續(xù)性知它們?cè)谔庍B續(xù),在點(diǎn)是否連續(xù),則需按二元函數(shù)連續(xù)性定義來(lái)判斷.解(1) 當(dāng)時(shí)連續(xù), 但不存在,故在點(diǎn)處不連續(xù).(2) 當(dāng)時(shí)連續(xù), 且由 以及.可得, 即在其定義域全平面上連續(xù).注本例（）中的

5、函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù), 但兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在且=;而函數(shù)則是在點(diǎn)處連續(xù),但兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)和都不存在. 這兩個(gè)例子表明對(duì)多元函數(shù)而言,連續(xù)性與偏導(dǎo)數(shù)存在這二者是既不充分又不必要的條件.與一元函數(shù)的情況不大相同.例9.設(shè)則在點(diǎn)的值為_.答案 分析一 ,將該式對(duì)求導(dǎo)得令并代入上式,得.分析二 .例10 求下列極限(1) ; (2) 解 (1)由于因?yàn)?故原極限等于零.(2)令,則.又令,則故不存在.方法小結(jié) 二元函數(shù)的極限比一元函數(shù)的極限要復(fù)雜得多, 計(jì)算也更困難. 通常從以下三個(gè)方面考慮.(1)設(shè)法利用變換化為一元函數(shù)的極限;(2)掌握絕對(duì)值不等式的放縮技巧, 使用夾逼定理;(3)通過(guò)觀察, 若能大致估計(jì)所

6、求極限不存在, 可選擇兩條不同路徑, 求出不同的極限值, 借以證明原式極限不存在.例11設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 求函數(shù), 求,.分析本題給出的函數(shù)沒有具體的表達(dá)式,這類函數(shù)稱為抽象函數(shù), 求抽象函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù), 一定要明確中間變量,中間變量可分別設(shè)為等. 一般來(lái)說(shuō),抽象函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)采用如下記號(hào)較為簡(jiǎn)便不易出錯(cuò),用記號(hào)分別表示函數(shù)對(duì)第一、第二、第三中間變量的偏導(dǎo)數(shù)(多個(gè)中間變量可類推).用分別表示函數(shù)對(duì)第一、第二中間變量，第二、第三中間變量，第三、第一中間變量的二階偏導(dǎo)數(shù). 另外需注意,一般而言,函數(shù)對(duì)中間變量的偏導(dǎo)數(shù)仍是中間變量的函數(shù),從而也是自變量的復(fù)合函數(shù), 故對(duì)它們求高階偏導(dǎo)時(shí)重復(fù)使用

7、復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)法則. 本題采用后一記號(hào).解 例12設(shè), ,求復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與.解 由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法,得.注 在本題的情況下, 記號(hào)的含意是不清楚的. 作為的三元函數(shù)求與作為的二元函數(shù)求的含意是不同的.因此,這里應(yīng)避免使用記號(hào),若要使用它,則必須對(duì)其含意加以說(shuō)明.若表示對(duì)的偏導(dǎo)數(shù),則該例中的偏導(dǎo)數(shù),也可表示為.應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則應(yīng)注意以下幾點(diǎn):復(fù)合函數(shù)對(duì)指定的自變量求偏導(dǎo)數(shù),其中是中間變量的個(gè)數(shù).原則上函數(shù)有幾個(gè)中間變量,公式中就有幾項(xiàng).要分清中間變量與自變量,一定要注意對(duì)哪個(gè)自變量求導(dǎo),對(duì)中間變量求導(dǎo), 對(duì)中間變量求導(dǎo)不要漏項(xiàng).有時(shí)公式中右端項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)比中間變量個(gè)數(shù)少,那是因?yàn)橛械闹虚g變量與

8、求偏導(dǎo)數(shù)的自變量無(wú)關(guān),從而導(dǎo)數(shù)為零.如上例中.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式中,函數(shù)對(duì)中間變量的偏導(dǎo)數(shù)仍然是中間變量的函數(shù),如設(shè), 則這里仍然是的函數(shù),而,. 于是,它們?nèi)允堑膹?fù)合函數(shù),求高階偏導(dǎo)數(shù)時(shí)要注意這一點(diǎn).例13. 設(shè),其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且, 求.分析隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)時(shí),要弄清楚哪個(gè)是因變量, 哪個(gè)是自變量, 哪個(gè)是中間變量, 然后將方程兩邊對(duì)自變量求偏導(dǎo), 再解相應(yīng)的方程得出所出的偏導(dǎo)數(shù).解 由所求結(jié)論可知是因變量, 又因只有一個(gè)方程, 可知均為自變量, 將方程 兩邊對(duì)求偏導(dǎo), 有 由于與無(wú)關(guān), 故 將式的兩邊對(duì)求偏導(dǎo), 得將,代入上式并整理可得例14. 證明曲面的切平面通過(guò)一定點(diǎn).分析所謂

9、定點(diǎn)就是三個(gè)坐標(biāo)均為固定常數(shù)的點(diǎn), 由題設(shè)考慮, 極有可能是以為坐標(biāo)的點(diǎn).證明 由方程有 其切平面方程為 即顯然, 當(dāng)時(shí),上式恒成立,故所證命題成立.例15.設(shè)在區(qū)域上有定義,若在中任一點(diǎn)處的一階偏導(dǎo)數(shù)存在且有界, 則在上連續(xù).分析 由函數(shù)連續(xù)的定義可知, 若能證明 或 即可證明在中任一點(diǎn)處連續(xù).證明 設(shè)為中任一點(diǎn), 則 由于存在, 依據(jù)拉氏定理有 其中分別在與,與之間.又因在中有界, 故一個(gè), 使得, 利用式, 有于是 故 即在點(diǎn)處連續(xù). 由于在中的任一點(diǎn)處, 因而可知原結(jié)論成立.例16.求由方程確定的函數(shù)的極值.解法一 將方程的兩邊分別對(duì)求偏導(dǎo), 得 由函數(shù)極值的必要條件知,將其代入得,

10、即得駐點(diǎn).由的兩個(gè)方程分別對(duì)求偏導(dǎo), 得 因?yàn)?故為極值.將代入方程,得將代入中可知故為極小值.將代入中可知故為極大值.解法二 配方法. 方程可變形為 顯然, 當(dāng)時(shí), 根號(hào)中的極大值為4, 由此可知, 為極值.即為極大值, 為極小值.例17.當(dāng)時(shí), 求函數(shù)在球面上的最大值, 并證明對(duì)任意的正實(shí)數(shù)成立不等式解 令有由, 得代入,得 及可知最大值為即 亦即 或 令, 于是例18.設(shè)方程確定為的函數(shù), 則=_答案解法一 設(shè), 由公式,得解法二 , 方程兩端對(duì)求導(dǎo), 得,解得四、考研試題分析例19.(1991年數(shù)學(xué)一、二)由方程所確定的函數(shù)在點(diǎn)處的全微分_答案分析本題是隱函數(shù)全微分的題. 有兩種方法:

11、其一是對(duì)方程兩邊求全微分,解出, 另一種方法是先求出.再利用全微分公式 .解法一 對(duì)方程兩邊求全微分可得將代入上式可得由此得到解法二 設(shè)= ; =;=;將代入上式可得例20.(1998年數(shù)學(xué)一)設(shè),具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 則=_.答案分析這是一道基本運(yùn)算題, 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 依題意是一元函數(shù).解答;點(diǎn)評(píng)本題中的,其中間變量均是一元, 如果考生誤認(rèn)為中間變量是二元,將出現(xiàn)等記號(hào),從而無(wú)法化簡(jiǎn)導(dǎo)致錯(cuò)誤.,.都是用表示,而不能將前一式寫成,后一式寫成 .對(duì)于亦如此, .而2000年數(shù)學(xué)一第四題設(shè),其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 求.這個(gè)題目從題設(shè)條件中就可看出,的不同,前者二個(gè)中間變量,

12、后者一個(gè)中間變量,要區(qū)別開. 例21.（2001年數(shù)學(xué)一）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可微, , 求分析求全導(dǎo)數(shù),應(yīng)用多元復(fù)合函數(shù)求全導(dǎo)數(shù)的法則求之. 關(guān)鍵是弄清復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系.如果,就少?gòu)?fù)合了一次.解.取,由于,故=.例22.(2002年數(shù)學(xué)一)考慮二元函數(shù)的下面4條性質(zhì):在點(diǎn)處連續(xù),在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),在點(diǎn)處可微,在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在.若用表示可由性質(zhì)推出性質(zhì),則有( )(A) ; (B) ;(C) ; (D) .答案(A)分析本題考查下面因果關(guān)系的認(rèn)知: 記住上述因果關(guān)系,不難看出應(yīng)選(A).如果誤認(rèn)為偏導(dǎo)數(shù)存在必然為連續(xù)函數(shù), 就有,就選擇了(C).錯(cuò)誤在于把一元函數(shù)的情形搬到二元函數(shù)中來(lái)了

13、.例23.(2001年數(shù)學(xué)二)設(shè)函數(shù)由方程所確定,則曲線在點(diǎn)處的法線方程為_.答案分析本題考查隱函數(shù)求導(dǎo)和曲線的法線方程,本題應(yīng)注意的是求法線方程而不是切線方程.解法一方程兩邊對(duì)求導(dǎo),得解得 ,所以 因此法線的斜率為,法線方程為.解法二設(shè), ,則 因此法線的斜率為,法線方程為.例24.(1994年數(shù)學(xué)二)在橢圓上求一點(diǎn), 使其到直線的距離最短.分析點(diǎn)到直線的距離,因此問題變成了求函數(shù)在限制條件下的極值問題.解問題可以轉(zhuǎn)化成求函數(shù),在限制條件下的極值問題, 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)=那么 消去, 解得,于是由問題的實(shí)際意義知最短距離是存在的, 因此即為所求的點(diǎn).例25.(2002年數(shù)學(xué)一)設(shè)有一小山,

14、取它的底面所在的平面為坐標(biāo)面, 其底部所占的區(qū)域?yàn)?小山的高度函數(shù)為.(1)設(shè)為區(qū)域上一點(diǎn), 問在該點(diǎn)沿平面上什么方向的方向?qū)?shù)最大?若記此方向?qū)?shù)的最大值為,試寫出的表達(dá)式.(2)現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動(dòng), 為此需要在山腳尋找一上山坡度最大的點(diǎn)作為攀登的起點(diǎn), 也就是說(shuō), 要在的邊界線上找出使(1)中的達(dá)到最大值的點(diǎn), 試確定攀登起點(diǎn)的位置.分析和解法一(1)高度函數(shù)在點(diǎn)處的梯度是由梯度的幾何意義知, 沿此梯度方向, 高度函數(shù)的方向?qū)?shù)取最大值, 并且這個(gè)最大值就是此梯度的模, 于是(2) 令,依題意, 只需求二元函數(shù)在約束條件下的最大值點(diǎn).令, 則 消去, 解得,于是得到4個(gè)可能的極值點(diǎn)

15、又.故可以作為攀登起點(diǎn).分析和解法二把山看作曲面, 山崗某一處坡度的大小就是曲面在該處的切平面與水平面的夾角的大小, 也就是切平面的法線與軸的夾角(銳角的那個(gè))的大小. 山曲面在點(diǎn)處的切平面法向量是, 設(shè)它與軸的夾角(銳角的那個(gè))為,那么由此可見, 為了要在的邊界線上找出使最大, 只要最小, 也只要二元函數(shù)在條件下找最大值.以下同解法一.例26.(1994年數(shù)學(xué)四)某養(yǎng)殖場(chǎng)飼養(yǎng)兩種魚, 若甲種魚放養(yǎng)(萬(wàn)尾), 乙種魚放養(yǎng) (萬(wàn)尾), 收獲時(shí)兩種魚的收獲量分別為 和,求使產(chǎn)魚總量最大的放養(yǎng)數(shù).解 設(shè)總產(chǎn)量為, 則,由極值的必要條件,得方程組 , 方程組的唯一解.記, 有, 因此在處有極大值. 又

16、由問題的實(shí)際意義,知最大值是存在的, 所以即最大值.易驗(yàn)證,且綜上所述, 和分別為所求甲和乙兩種魚的放養(yǎng)數(shù).例27.(2005年數(shù)學(xué)四)設(shè)二元函數(shù)則答案分析利用二元函數(shù)的全微分公式,再在中以代入.解應(yīng)用二元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)法則得,所以 +,以代入得 .例28.(2005年數(shù)學(xué)四) 設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且,求.解利用復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的鏈鎖法則,可得,于是= .例29.(2004年數(shù)學(xué)三)函數(shù)由關(guān)系式確定, 其中函數(shù)可微, 且, 則=_.答案 分析第一種解法可令解出代入以求出,再計(jì)算所求的偏導(dǎo)數(shù).第二種解法是,在題給的等式兩邊求偏導(dǎo), 使出現(xiàn)待求的,從而解之.解法一令即 代入原式得 ,兩邊對(duì)求偏

17、導(dǎo)得兩邊對(duì)求偏導(dǎo)得.解法二在等式兩邊對(duì)求偏導(dǎo)2次, 得 但按已知, , 所以.在等式兩邊對(duì)求偏導(dǎo), 得 以代入, 并解出得 ,其中滿足方程組, 從而例30.(2003年數(shù)學(xué)三)設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且滿足 又, 求.分析利用求偏導(dǎo)數(shù)的鏈鎖法則求二元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).解 . . .例31.(2003年數(shù)學(xué)一)已知函數(shù)在點(diǎn)(0,0)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù), 且, 則(A)點(diǎn)(0,0)不是的極值點(diǎn). (B)點(diǎn)(0,0)是的極大值點(diǎn).(C)點(diǎn)(0,0)是的極小值點(diǎn). (D)根據(jù)所給條件無(wú)法判斷點(diǎn)(0,0)是否為的極值點(diǎn).答案(A)解由在點(diǎn)(0,0)的連續(xù)性及知.且,其中則令, 得令, 得從而在(0,0)點(diǎn)的鄰域內(nèi)始終可正可負(fù), 又, 由極值定義可知在點(diǎn)(0,0)沒有極值,故應(yīng)選(A).例32.(2004年數(shù)學(xué)一)設(shè)是由方程確定的函數(shù),求的極值點(diǎn)極值.分析是求二元函數(shù)的極值問題. 應(yīng)用隱函數(shù)求偏導(dǎo)法則求兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù),并求出函數(shù)的駐點(diǎn).再求二階偏導(dǎo)數(shù), 判斷是否為極值點(diǎn). 解法一方程兩邊分別對(duì)求偏導(dǎo)得 令, 得故 將上式代入, 可得 或方程兩邊分別對(duì)求偏導(dǎo)得方程兩邊對(duì)求偏導(dǎo)