流體力學(xué)知識點總結(jié)

1、流體力學(xué)流體的本性質(zhì)1) 壓性流體是液體與氣體的總稱宏觀上看體也可看成一種連續(xù)媒質(zhì)彈性體相似，流體也可發(fā)生形狀的改變，所不同的是靜止流體內(nèi)部不存在剪切應(yīng)力是因為如果流體內(nèi)部有剪應(yīng)力的話流體必定會流動對靜止的流體 來說流動是不存在的前所述用在靜止流體表面的壓應(yīng)力的變化會引起流 體的體積應(yīng)變，其大小可由胡克定律 p 描述。大量的實驗表明，無論氣體還是液體都是可以壓縮的，但液體的可壓 縮量通常很小。例如 00大氣壓下，每增加一個大氣壓，水的體積減少量不 到原體積的兩萬分之一樣的條件下銀的體積減少量不到原體積的百萬分 之四。因為液體的壓縮量很小，通?？梢圆挥嬕后w的壓縮性。氣體的可壓縮性表 現(xiàn)的十分明顯

2、如用不大的力推動活塞就可使氣缸內(nèi)的氣體明顯壓縮在可 流動的情況下時也把氣體視為不可壓縮的是因為氣體密度小在受壓時體積還未來得及改變就已快速地流動并迅速達到密度均勻。物理上常用馬赫數(shù) 來判定可流動氣體的壓縮性，其定義M=流速/聲速，M，可視氣體為不可壓縮的。由此看出，當(dāng)氣流速度比聲速小許多時可將空氣視為不可壓縮的，而當(dāng) 氣流速度接近或超過聲速時氣體應(yīng)視為可壓縮的在實際問題中若不考慮流 體的可壓縮性時，可將流體抽象成不可壓縮流體這一理想模型。2) 粘性為了解流動時流體內(nèi)部的力學(xué)性質(zhì)，設(shè)想如10.1.1所示的實驗。在兩個靠得很近的大平板之間放入流體，下板固定，在上板面施加一個沿流體表面切向的 F 。

3、此時上板面下的流體將受到一個平均剪應(yīng)力F/A的作用，式中是上板的面積。實驗表明，無論 F多么小都能引起兩板間的流體以某個速度流動，這正是流 體的特征，當(dāng)受到剪應(yīng)力時會發(fā)生連續(xù)形變并開始流動。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，在 流體與板面直接接觸處的流體與板有相同的速度。若 10.1.1中上板以速度 沿方向運動下板靜止，那么中間各層流體的速度是 （下板）到 u（上板）的 一種分布，流體內(nèi)各層之間形成流速差或速度梯度。實驗結(jié)果表明，作用在流體 上的切向力 正比與板的面積和流體上表面的速 u反比與板間流體的厚 l ，所 以F可寫成 l，因而流體上表面的剪應(yīng)力可以寫成ul。式中ul是線段 aba的角速度或者說是單位

4、時間內(nèi)流體的角形變。若用微分形式表示更具有普遍性，這時上式可以改寫成dudl，或du dF dAdl。上式就是剪應(yīng)力所引起的一維流體角形變關(guān)系式，比例系數(shù)稱為流體的粘滯系數(shù)，上式叫做牛頓粘滯性定。 為常數(shù)的流體稱為牛頓流體，它反映了切應(yīng)力與角形變是線性關(guān)系，不是常數(shù)的流體稱為非牛頓流體。流體的粘滯系數(shù) 滯系數(shù)的單位是牛頓是反映流體粘滯性的大小的物理量國際單位制中 秒/米所謂粘滯性是當(dāng)流體流動時，由于流體內(nèi)各流動層之間的流速不同起各流動層之間有障礙相對運動的內(nèi)“摩擦”這個 內(nèi)摩擦力就是上式中的切向力理學(xué)中把它稱為粘滯阻力此上式實際上是 流體內(nèi)部各流動層之間的粘滯阻力。實驗表明，任何流體流動時其內(nèi)

5、部或多或少的存在粘滯阻力。例如河流中心的水流動的較快，而靠近岸邊的水卻幾乎不動就是水的粘滯性造成的。在實際處 理流體的流動問題時，若流動性是主要的粘滯性作用影響不大，則可認(rèn)為流體 是完全沒有粘滯性的，這種理想的模型叫做非粘滯性流體。3 ）壓與壓強從前面的討論知道靜止流體表面上沒有剪應(yīng)力，所以容器壁作用在靜止流體 表面上的力是與液體表面正交的，按牛頓第三定律流體作用在容器壁上的力也與 容器壁表面正交，這一點對靜止液體內(nèi)部也成立。在靜止液體內(nèi)過某一點作一假 想平面，平面一方流體作用該平面的力也總是垂直于該假想平面。流體表面與流 體內(nèi)各點的壓力一般是不一樣的，在流體表面壓力的方向只能是垂直于液體表面

6、 ，而流體內(nèi)部某點的壓力沿各個方向都有，因為過流體內(nèi)部一點我們可以取任意 方向的平面。在流體力學(xué)中為了描述流體內(nèi)部的作用力，引入一個叫做壓強的物 理量，規(guī)定壓強是作用于流體內(nèi)單位面積上垂直力的數(shù)值，它是一標(biāo)量。為了計算流體內(nèi)某一點的壓強，我們應(yīng)該設(shè)想通過該點的假想平面 面上的正壓力為 F，則定義該點的壓強s是無限小的，若該p 。在國際單位制中壓強的單位是牛 / 也稱為帕 a 示。在實際應(yīng)用中 壓強也有用等價的流體柱高表示的用測量血壓的儀器就是用水銀柱高作為 壓強的單位。流體力學(xué)中壓強是標(biāo)量但力是矢量，面元的法向也是矢量。既然流 體內(nèi)部的力總是垂直于假想平面可定義流體內(nèi)某點力的方向與它所作用平

7、面的內(nèi)法線方向一致，這樣作用流體內(nèi)任一面元上的力 F可寫成 pds 。 由于流體內(nèi)部每一點都有壓強所以說流體內(nèi)每一點都存在壓力壓力的方向 由所考慮平面的法線決定以是任何的方向流體流動時壓強與壓力的關(guān)系 不變。4流體的密度比重在流體力學(xué)中常用密度來描述流體的動力學(xué)規(guī)律，其定義和固體定義一樣為 單位體積流體的質(zhì)量，即流體內(nèi)某點的密度為 dmlim dv。對均勻不可壓縮的流體密度是常數(shù)情況下流體內(nèi)部各點的密度是不相同 的。單位體積流體的重量稱為流體的比重。設(shè)想在流體內(nèi)部取一小體積 v， v 中包含流體的質(zhì)量為 m，因而 v內(nèi)流體的重量為 mg，由定義該流體的比重 。流體靜學(xué)方程1靜止流體內(nèi)一點的壓強

8、靜止流體內(nèi)過一點可以沿許多不同的方向取面元在來研究這些不同取向 的面元上壓強有什么關(guān)系的流體內(nèi)部取一個很小的四面體BC包圍該點， 如圖10.2.1所示。設(shè)面元 BC法線的方向余弦為 、 、 ，周圍流體對該點作 用力（壓力）可以用壓 、P 、P P示，當(dāng)流體靜止時1 2 3所受到的合外力為零，即P 1 ABCP 2 OAC ABCP 3 OAB ABC因為 ABC ABC OAC ABC OAB由上式得到P = P = P = P 。1 2 3由于四面體是任意選取的，于是我們可以得出結(jié)論 靜止流體內(nèi)部任一點上 沿各個方向的壓強都相等過這點所取面元法線的方向無關(guān)因為如此 體力學(xué)中壓強只與流體內(nèi)的點

9、對應(yīng)而不必強調(diào)壓強是對哪一個面的2流體靜力學(xué)程處理流體靜力學(xué)問題時，常常取流體內(nèi)部一個小流體元作為研究對象。作 用在小流體元上的力大致可分為兩類。一類是作用在小流體元外表面上的壓力， 我們稱之為面力，如液體表面的正壓力 ds另一類是作用在整個小流體元上與 流體元的體積成正比的力，如重力 gdv、慣性力等，我們稱為體力。下面從牛 頓定律出發(fā)推導(dǎo)流體靜力學(xué)滿足的普遍方程流體處于靜止?fàn)顟B(tài)時體內(nèi)任 一小流體元受到的面力與體力之和必定為零，即平衡條件為 面 體。與壓強類似，我們引入一個體力密度f dF體dv，它yyy zxxyyzyyy zxxyyz表示作用在單位體積流體上的 體力如在只有重力作用下力密

10、度的大小 就是比重 g沿重力方向慣性力的作用下密度就是 a 為了建立流體靜力學(xué)方程靜止流體內(nèi)部取如圖0.2.2所示的立方體流體 元，根據(jù)平衡條件有 ) f x x x x (p ) f y zx y y y ) f 0z xy z xy z整理后得 f x yz x f y zx y f z xy z利用 x x x z xyz xyz可將前式簡化成 ( x f ) f ) z f ) 顯然體積 v0，所以只能是xzxz x f 0, y f 0, y f 。在上面的式子中取極限 任一點都必須滿足的方程 0，就可得靜止流體內(nèi) f z。借助梯度算符 i j k 上式可以改寫成更簡潔的形式，f 。

11、這就是流體靜力學(xué)的普遍方程，它表明若流體內(nèi)任一點的總體力密度等于該 點處壓強的梯度則流體一定處于靜止?fàn)顟B(tài)3 ）重場中流內(nèi)部壓強分i)體 我們先來討論靜止液體內(nèi)部的壓強分布。設(shè)液體的密度為放置在一長方形的容器內(nèi)，液面的柱面高為z ，液體表面的壓強為 如圖10.2.3所示。0 0在重力場中液體受到的體力密度為 力學(xué)普遍方程得gk體靜0,。由上述方程知液體內(nèi)部壓強與坐標(biāo) 無關(guān)，只是深度的函數(shù)。積分第三 式得p = gz + ，0000當(dāng)z=z 時P=P .故c=P + gz ，所以液體內(nèi)部壓強隨深度變化的關(guān)系為 0 0 0 0P =g(z0z) + P = gh + P00 ,式中 液面下的深度。上

12、式表 止液體內(nèi)部的壓強只與距離液面下的 深度有關(guān)與液體內(nèi)部水平位置無關(guān)ii)氣體 討論重力場中空氣壓強隨高度變化的規(guī)律起見， 假定空氣的溫度是不隨高度變化的而且空氣可以看成理想氣體。如果在地 面處空氣的壓強為P 、密度為00，則理想氣體的狀態(tài)方程可表示成P 0。以地面為坐標(biāo)系原點所在處， z 垂直地面向上，由流體靜力學(xué)方程dp=將理想氣體狀態(tài)方程代入上式消除gdz,。得到pdp p0，分離變量后p p pp ，完成上面的積分得p g 0p 0 0。所以壓強隨高度的變化 exp 0 這表明空氣壓強隨高度的變化滿足波爾茲曼分布 ，4帕斯卡原理如果將不可壓縮液體放在一個密閉的容器內(nèi)器上端與一個可移動

13、的活塞相連活塞對液體表面施加的壓強為 時照重力場中液體內(nèi)部壓0強公式，在液面下深度為h處的壓強為P = P + g h 。 0如果把活塞對液體表面的壓強增大 P +0化，P ，液面下h深處的壓強也會變 0按照液體內(nèi)部壓強公式，此時液體下h深處的壓強變?yōu)镻 0 0 這就是說當(dāng)液體表面壓強增加 大了P 時液體內(nèi)任一 h是任意 壓強也增 0P 此可以形象地說不可壓縮液體可將作用在其表面的壓強傳遞到液 0體內(nèi)的各個部份包括存放液體的器壁一結(jié)論稱之為帕斯卡原理早期 由帕斯卡從實驗中總結(jié)出來的觀點看它是流體靜力學(xué)方程的一個推 論。5阿基米德定任何形狀的物體置于密度為的液體中都會受到液體的浮力，浮力的大小等

14、于物體排開液體的重量。這是一個實驗規(guī)律稱為阿基米德定律。從現(xiàn)代 觀點看，它也是流體靜力學(xué)方程的推論。如圖10.2.4所示全浸沒在密度為 中。由于物體在液體中處的液體于平衡狀態(tài)受到的浮力與同體積的液體所受到合外力相同，這樣我們可以將此物體用同體積的液體置換，置換部份液體 受到的重力是 gdv使液體保持平衡圍的液體必然對它有一個向上 的面力（浮力）作用于它。由流體靜力學(xué)方程得ggk p，dp dz dxdydz ，或者dF 。積分后得 F =F合2F =F浮1F =1F =2gv. ，于是得到浮力大小 gv這就是說浮力是鉛直向上的其大小等于物體排開液體的重量。密度為例一；在密閉的容器內(nèi)盛滿密度為1

15、的液缽，在液體中浸放一長為L、2的物體，如圖10.2.5所示。設(shè)21，則它必定浮于液體表面，當(dāng)容器以加速度a前運動時物體相對液體向哪一方向運動？ 解了弄清物體向哪個方向運動用同體積的液體置換物體。容器運動時，置換部分的液體必然與其它部份 保持平衡。若將容器取為參照系，可利用流體靜力學(xué)方程 求出液體整體運動時內(nèi)部壓力分布。由 p,得fdpdx,dpdyf由于無沿y方向運動的可能性，故只討論上式的第一個方程，其中f = 慣所以液體內(nèi)部沿x軸壓強分布為p=11a（c為常量液體相對其它部份液體靜止時兩端的壓強差為 p=1La相應(yīng)的壓力差為F=1av(v為置換部份的體積 ，在所選擇的參照系看來，合外 =

16、 F+F = av av=0，液慣 1 1體相對靜止。對實際物體來說，受到的慣性力為 F =慣2av而物體兩端的壓力差不變?nèi)匀粸?F，因此實際物體受到的合外力 =F+F = av慣 12av 0，由此可知，實際物體必然會相對液體沿x軸方向運動。例二度為的不可壓縮液體置于一開口的圓柱形容器內(nèi)此容器繞對稱軸作高速旋轉(zhuǎn)，求液體內(nèi)壓強分布和液體表面的形狀。解容器為參照系時流體內(nèi)任一流體元都受到 重力與慣性力的作用，相應(yīng)的體力密度為 gk和 a由流體靜力學(xué)方程 2xi 2yj，得到22y,。所以有 dx dy xdx ydy 1 2 ) 2積分后得 。如附圖10.2.6所示，r=0時z=h (p 是液體

17、表面的壓強) ，所c = p0 00+ gh，最后求得液體內(nèi)壓強分布p r 2 h)2。又取液體表面上任一點為研究對象，由于流體相對坐標(biāo)系處于靜止?fàn)顟B(tài)， 液體表面上任一點的合力必然沿曲線的法線方向或者說曲線的斜率滿足下式dz r g。積分后 2 當(dāng)r=0時z=h，故c=h。最后得到液體表面的曲線方程， 2g由此式知道液體表面為一旋轉(zhuǎn)拋物線。，流體運學(xué)描述1流體運動分流體流動的分類有許多種，這里介紹經(jīng)常遇到的幾種。理想流體；流體流動過程中不計流體的內(nèi)摩擦力，不計流體的體積壓縮，把 流體看成是無粘滯性可壓縮的理想模型此理想流體的流動過程是無能耗 的可逆過程定流動體內(nèi)任何一點的物理量不隨時間變化的流

18、動稱為穩(wěn)定 流動，這意味著穩(wěn)定流動過程中，流體內(nèi)任一點的流速、密度、溫度等物理量不 隨時間變化。例如在穩(wěn)定流動時果流體內(nèi)某點的速度是沿軸方向量值為3cm/s 在流體以后的流動中該點的流速永遠保持這個方向與量值用v 分別表示流體內(nèi)部速度度以及溫度的分布穩(wěn)定流動時滿足 。反之若流體內(nèi)任一點的速度不滿足就說流動不是穩(wěn)定的，例如變速水泵噴出的水流就是如此。均勻流動 流體流動過程中如果任意時刻流體內(nèi)空間各點速度矢量完全相同空間位置的變化就稱流動是均勻的式表示可寫成 l表示沿任意方向求導(dǎo)數(shù)之某一時刻流體內(nèi)部各點的速度不全相同的流動 稱為非均勻流動。例如流體以恒定速率通過一均勻長管的流動是穩(wěn)定的均勻流 動流

19、體以恒定速率通過一喇叭形長管的流動是穩(wěn)定的非均勻流動體加速 通過一喇叭形長管的流動是不穩(wěn)定的非均勻流動。層流與湍流；在流體流動過程中如果流體內(nèi)的所有微粒均在各自的層面上作 定向運動就叫做層流于各流動層之間的速度不一樣以各流動層之間存在 阻礙相對運動的內(nèi)摩擦個內(nèi)摩擦力就是粘滯力它滿足牛頓粘滯性定律流 在低粘滯性速度及大流量的情況下是不穩(wěn)定的會使各流動層之間的微粒 發(fā)生大量的交換從而完全破壞流動層流體內(nèi)的微粒運動變得不規(guī)則種現(xiàn) 象叫做湍流，湍流發(fā)生時流體內(nèi)有很大的縱向力（垂直流動層的力多 的能量損耗。有旋流動：在流體的某一區(qū)域內(nèi)，如果所有微粒都繞著某一轉(zhuǎn)軸作旋轉(zhuǎn)就稱 流體是作有旋流動。最直觀的有旋

20、流動是渦流，但不是僅僅只有渦流才是有旋流動，物理上判斷流體是否作有旋流動是用所謂的環(huán)量來刻畫的。設(shè)想在流體內(nèi)取一任意的閉合回路Cv沿此回路的線積分定義為環(huán)量 ，用公式表示就是 l c。流體內(nèi)部環(huán)量不為零的流動叫做有旋流動，環(huán)量處處為零的流動稱為無旋流 動。按照上面的定義，層流也是有旋流動，參見圖0.3.0。2) 流與流管研究流體的運動以觀察流體內(nèi)微粒經(jīng)過空間各點時的流速般情況 下體內(nèi)各點的速度是隨時間和空間位置變化的此流體內(nèi)各點的速度分布 是時間與空間的函數(shù)，即v = v x, y, z, t )。物理學(xué)中常把某個物理量的時空分布叫做場，所以流體內(nèi)各點流速分布就可 以看成速度場幾何方法是引入所

21、謂的場線場中引入電力線， 磁場中引入磁力線一樣流速場中可以引入流線線是這樣規(guī)定的線為 流體內(nèi)的一條連續(xù)的有向曲線每一點的切線方向代表流體內(nèi)微粒經(jīng)過該 點時的速度方向，圖10.3.1（a）給出了幾種常見的流線。一般情況下空間各點的流速隨時間變化此流線也是隨時間變化的 于流線分布與一定的瞬時相對應(yīng)（參見圖10.3.1況下，流線并不代表流體中微粒運動的軌道定流動中時間變化，此時流線才表示流體中微粒實際經(jīng)過的行跡流線的切線表示流體內(nèi)微粒運動的方向流線永遠不會相交如果流線在空間某處相交就表示流體中的微粒經(jīng)過該點時同時具有兩個不同的速度，這當(dāng)然是不可能的。如果在流體內(nèi)部取一微小的封閉曲線，通過曲線上各點的

22、流線所圍成的 細管 就稱為流管，如1）所示。由于流線不會相交，因此流管內(nèi)、外的流體都不具有穿過流管的速度，也就是說流管內(nèi)部的流體不能流到流管外面，流管外的流體也不能流入流管內(nèi)。3) 流流體力學(xué)中用流量來描述流體流動的快慢業(yè)上也稱流量為排泄量想在流 體內(nèi)部截取一個面A，定義單位時間內(nèi)通過截面流體的體積為通過截面A的（體 積量圖10.3.2.所示流體內(nèi)部取一小面元A通過它的邊界作一流管， 在流管上截取長度為流速v的一段體積，由于單位時間內(nèi)該體積內(nèi)的流體會全部 通過面元dA，所以通過面元dA的流量就是dQ vcos dA。如果把面元定義為矢 量法線方向為面元的正方向即d 那么通過面元dA的流量可以表

23、示 成dQ=v，而通過整個截A的流量就可以表示成更簡潔的形式Q cos dA A A。t t dt 流體力基本方程1 ）一方程在流體內(nèi)沿流管截取一小流體元，設(shè)在t時刻小流體元占有體積為V，邊界為S。 按照它的體形在速度場中選取一假想體積，使得 時刻假想體積與截取流體元 的體積完全一致如圖 0.4.1）所示。圖中虛線表示實際的流體元，實線表示 假想的體積。流體會流動，其體積與假想體積之間會發(fā)生相對運動變成圖 10.4.1.(b)所示的情況體元的一部分會穿出假想體積元的邊界周圍的流 體會流入假想的體積元體積內(nèi)有流體流入也有流體流出。設(shè)是流體元所攜帶的某種物理量的總量，它可以是質(zhì)量、動量，或者是能量

24、。 是單位體積流體中這種物理量的含量或者說是N的密度們來考查流體流動時理量隨時 間的變化規(guī)律。注意到在 + t時刻流體元占據(jù)的體積是 I+，而在 t時刻占據(jù)的體積是I或+，因此在t到t+t時間內(nèi)流體元所攜帶物理量N的變化量Nt Nt II IV It。在上式右側(cè)加上零因子 t t III III重新組合，然后除以dt得 t 。上式的第一部分 dt I，是單位時間內(nèi)假想體積內(nèi)流體所攜帶量的變化率。第二部分的第一、二項分 別為 IVdtt vdA, IIIdtt ，表示單位時間內(nèi)流入流出假象邊界的物理量N，它們可以用密度對流量的積分給出。選擇假想體積邊界 來 假象界 A。將 上 果 方 dN A

25、dt 假體積 假邊界。上式說明流體元的某個物理量 時間的變化可以化為假想體積內(nèi)流體的物 理量N隨時間的變化等于假想體積內(nèi)對時間的變化偏導(dǎo)數(shù)上從該體 積邊界流入N量的凈增加值 。這是流體動力學(xué)的一個普遍規(guī)律，由此可以推出 流體動力學(xué)的幾個重要方程。2連續(xù)性方程若考查流體流動過程中質(zhì)量變化規(guī)律， N=m這時。由于流體流動過程中質(zhì)量不變dt，一般方程式化為假想體積 A 假想邊界。這就是流體力學(xué)的連續(xù)性方程（積分形式質(zhì)量守恒出發(fā)得到的， 其意義為在一個假想體積中質(zhì)量隨時間的變化等于單位時間從其邊界流 入該體積的凈質(zhì)量。利用體積分化為面積分的公式V ，連續(xù)性方程可化為V V)dV ，即V 。由于dV 0

26、，所以只能 上式就是連續(xù)性方程的微分形式，它對流體內(nèi)任一點都成立 3能量方程如果我們討論流體的能量變化，可 N=E，此時 流體的能量。由一般方程式得，式中 單位質(zhì)量 edV Adt 假想積 假邊界，上式就是流體內(nèi)部能量滿足的方程 表示流體能量隨時間的變化可由假想 體積內(nèi)流體能量隨時間的變化與單位時間從邊界流入假想體積內(nèi)的凈能量確定。4 ）動方程如果我們討論的是流體動量如何隨時間變化，可N=P此時 此關(guān)系代入一般方程可得流體力學(xué)的動量方程d dA dt 假體積 假邊界。將其意義 體的動量隨時間的變化率等于假想體積內(nèi)流體的動量隨時間的 變化加上從假想體積邊界流入該體積中的凈動量。5方程的應(yīng)用i)作

27、為連續(xù)性方程的應(yīng)用，考慮在流管中穩(wěn)定流動的流體。由于流動是穩(wěn) 定的線的位置不隨時間變化流管截取一假想體積如圖10.4.3示體積由流管的邊界與上兩個面1和2包圍穩(wěn)定流動時連續(xù)性方程退化成假想界 A 。這表明單位時間內(nèi)通過假想體積邊界流入流出的凈 質(zhì)量為零，由于管內(nèi)外的流體均不能穿過管壁，所以流體 只能通過下截 1 入，上截 出。這意味著從截 1 流入的流體質(zhì)量必定等于通過截面2流出假想體積的質(zhì)量，即dA 1 1 dA2 2。如果用1及2分別表示截面 與截面2處的平均密度，用Q 、Q 表示通過截面1與截面2的流量，上式可以表示成更方便的形式 1 2 1 1 2，對于不可壓縮的流體 12，上式退化為

28、 Q =Q 。1 2結(jié)果表明，不可壓縮的流體在流動時，沿流管的任意截面上流量均相同， 它是質(zhì)量守恒的必然結(jié)果。ii)作為動量方程的應(yīng)用，考慮在一彎管中穩(wěn)定流動的流體，如圖 10.4.4 所 示。沿載流管截取一假想體積，該體積由載流管內(nèi)邊界與、2兩個截面包圍，同樣地，對穩(wěn)定流動有且任意一點流速 v= 常 量 ， 因 此 動 量 方 程 退 化 成dpdt假想邊界 d )。由于在載流管的邊界處流速v直于載流管的內(nèi)表所以上式中對假象體 積的外表面積分實際上退化為對1、2兩個截面的面積分d 1 d ) A S1 v111 A v222 A Q Q 1 1 22這里的1、2 1兩個截面上的平均密度與平均

29、速度。如果 1 2流體是不可壓縮的且流動過程中質(zhì)量守恒，這時1=2= ，Q =Q = Q，1 2結(jié)果簡化成ddt v ) 1。從圖10.4.4看出載流管內(nèi)動量的改變是由于管壁施加給流體作用力 的緣故大小與方向由上式?jīng)Q定此由牛頓第三定律可以得到結(jié)論體對 載流管的作用力也由上式?jīng)Q定，但作用力的方向相反理想流的流動1沿一條流線歐拉方程先來介紹流體力學(xué)中一個十分重要的方程歐拉方程，它是流體動力學(xué)的基本程之一。當(dāng)無粘滯 性的流體穩(wěn)定流動時，取流體內(nèi)一根流線 S ，如圖 10.5.1 示。沿流線截取一橫截面為 dA ，長 ds 一小流體元。該流體元受到來自沿流線前、后兩個 方向 ） (p ，力的方向沿著流

30、線的切向。這段流體元還受到重力的作用，其大小為mg =gdv ,方向豎直向下。設(shè)重力與流線之間的夾角為 向的投影為（見圖10.5.1），則重力沿著流線切線方cos 。對所取的流體元，按牛頓第二定律寫出沿流線切向的動力學(xué)方程就是 dv dv ，式中 流體元沿流線切向的加速度。將 得到 式中的切向加速度a可改寫成g 比重。(1)表示，并消除上式 dva dt ，把上面的式子代回前面的式子1)就可以得到 v ，這就是沿一條流線的歐拉方程。對于穩(wěn)定流動，歐拉方程退化成 v 0 。由于此時只有一個變量（空間變 的偏微分可用全微分代替，去 掉微分公因子ds后得 。2 ）柏利方程無粘滯性的流體穩(wěn)定流動時一條

31、流線必定滿足上式流體，由于不可壓縮上式中的密度是常數(shù)上式沿流線積分意此時密度為常量就可以得到理想流體沿任何一條流線流動時必須滿足的方程 1gz v 2數(shù)。上式就是著名的柏努利方程中的積分常數(shù)也稱柏努利數(shù)是隨著不同流線 而變化的。式中每一項的量綱都是單位質(zhì)量的能量M2S-2。若將上式除以g，每項就成為單位重量的能量，即 2 。對液體來說，用上式比較方便。若用 g乘上式就得到1p 2 數(shù) 2，該式用于氣體顯得方便一些，因為對氣體來說高度 z 變化往往是不很重要 的，在精度要求不很高的情況可將其略去，這樣方程顯得簡單?，F(xiàn)在來說明一下柏努利方程中各項的物理意義。第一 /是單位質(zhì)量流體流動時對外做的功或

32、者流功就是單位質(zhì)量流體對周圍環(huán)境所做的功 了弄清這一點可參見圖10.5.2裝置個由葉片構(gòu)成的渦輪放置在水槽下端的出水口處水流動時液體會對渦輪施加一個力矩使渦輪旋轉(zhuǎn)用在 葉片上的力可近似地認(rèn)為是壓強乘以葉片的表面積A以壓力作用中心到 渦輪轉(zhuǎn)軸的距離r是作用在渦輪轉(zhuǎn)軸上的力矩定葉片在t時間內(nèi)轉(zhuǎn)過d 角度，則力矩對渦輪做功dw PdArd。式 是壓力中心位移的大小，將上式除以 d t 間內(nèi)流出液體的總質(zhì)量 dAds，就是單位質(zhì)量的液體對渦輪所作的功pdA p 。第二項gz是單位質(zhì)量流體的勢能量為m的流體在重力場中提高z高 度時重力所做的功是mgz時流體的勢能增加了mgz以單位質(zhì)量流體的勢能就是gz。

33、 v2/2項是單位質(zhì)量流體的動能。因為質(zhì)量為 m的流體以速度 運動時它具有動能是 mv2/2 故單位質(zhì)量流體的動能為 2/2。從上面的分析可以知道，柏努利方程實際上是理想流體沿著流線運動時的能量方 程。關(guān)于柏努利方程的應(yīng)用應(yīng)注意下面幾點所有的流線都源于同一流 體庫，且能量處處相同，這時柏努利方程中的常數(shù)不會因流線不同而有所不同。 這時對所有的流線來說柏努力數(shù)都相同努力方程不限于對一條流線的應(yīng) 用。b）在通風(fēng)系統(tǒng)中的氣流，若壓強變化相對無氣流時變化不大，這時氣體可 以看成不可壓縮的，柏努利方程仍可適用，不過氣流的密度應(yīng)取平均密度。 c) 對漸變條件下的非穩(wěn)定流動努利方程求解的誤差不會很大。 d)

34、對于實際流體的穩(wěn)定流動先忽略流體的粘滯性柏努利方程得到一個理 想的結(jié)果，然后再用實驗作一些修正，也就是說要加入能量損耗項。例題正沿著如附圖所示的管內(nèi)流動上端的直徑為2米內(nèi)流速 為3米/秒端的直徑為1米流速為10米/秒流體可視為理想流體， 沿著流線壓強不變，求管的上端相對地面的落差。解：沿管的中心取一條流線，按柏努利方程在流線的兩端、2處122g2g122g2gv p v p 1 z 2 z 2g 2g 由已知P =P 所以1 21(z z (v 2 v 2 )2 。，設(shè)管上端與地面的落差為y，顯然 y=z1z2，由此得到1y 2 v 2 ) 1。將v =3米/秒，v 米/秒代入上式，解得y=3

35、.64米。 1 2實際流的流動1斜面上穩(wěn)定層流在實際流體的流動過程中必須考慮流體的粘滯性層之間的內(nèi)摩擦力 使實際流體的流動變成不可逆過程，也造成流動過程中能量的損耗?，F(xiàn)在考慮平行斜面的穩(wěn)定層流，如圖10.6.1所示平面的流速為v流動平行于斜面，下平面與斜面接觸流速為零，整個流動層的厚度為a動層之間存在速度梯度分析方便，在流體內(nèi)沿流動層隔離出一個高度為y、長度為dl位寬度的薄片狀流體元圖中央的長方塊所示穩(wěn)定流動條件 下此薄片以恒定速度 斜面向下流動。在流動過程中，該薄片狀流體元一共受 到三個力的作用。a)平行于斜面方向的壓力，其大小為（以流速方向為正方向）dp pdy dydldl dl。b)粘

36、滯力，薄片流體元上、下兩面的剪應(yīng)力，由牛頓粘滯力定律知其大小為 dydl) dydl 。c)薄片狀流體元受到的重力大小為gdldy方向豎直向下重力與斜面法線的夾角為q，則重力在沿斜面方向分量就是dh dldy )dldydl。式中dl是流體元沿斜面的長度， 流體元兩端距地面的高度差。由于討論 的是穩(wěn)定流動薄片狀流體元沿斜面方向運動的加速度為零動力學(xué)方程就 是 dh dydl dydl )dldy 0 dy 將上式除以dydl，整理后得， (p dl另一方面，利用牛頓粘滯性定律。，可得 d 2 d (p dy 2 。式中(p+gh)與y無關(guān)只是沿斜面l 將上式對y積分一次后的函數(shù)，這是因為流體元

37、沿著y方向無運動。 y (p A dl，再積分一次就得到速度分布 A 2 (p 。式 A 是積分常數(shù)，利用邊界條件 時 u=0 及 。可得 dA (p a dl將其代回到解式最后得到流體內(nèi)部速度分布v 2 a 。如果層流的寬度不是一個單位而是任意寬度上式仍然成立，這是因為流動層 的速度與寬度無關(guān)可從方程中消除平面層流的速度分布函數(shù)可以看出體 沿斜面穩(wěn)定流動時其內(nèi)部的速度分布是拋物線形的著流速最大的流動層 并不在上表面而是在流體內(nèi)部的某一 。將上式對y分可以求出流體沿斜面流 動的平均速度 d a 02，所以沿斜面穩(wěn)定流動過程中每米寬度的流量 1 dQ (p 12dl2 ）圓內(nèi)穩(wěn)定層流當(dāng)流體在圓管

38、內(nèi)穩(wěn)定流動時，由于流體的流動具有圓柱形對稱性，故取一軸對稱圓柱殼形的流體元作為研究對象，如10.6.2所示。圓柱薄殼的半徑為r，殼的厚度 柱高 l 。作用在流體元前后兩個面上的壓力差為（以流速方向為正方向）dp 2 dl 。流體元內(nèi)外兩邊界上受到的粘滯力為。 (2dr (rdr而流體元受到的重力大小為 2 它在沿圓柱管軸線方向的分量為 dl。對穩(wěn)定流動來說流體元的加速度為零第二定律流體元的動力學(xué)方程 是dp dl ( r)dldr dl dl 。用2rdrdl除上式并整理得d (p dl r dr。同樣(p+gh)不是r的函數(shù)，故可直接將上式對r積分，得到r 2 dl (r 。du式中A是積分

39、常數(shù)粘滯阻力 加速度u減小以 這里有一負號）將其代入上式整理后 r d A (p dl ，把上式對r再積分一次就得到圓管內(nèi)穩(wěn)定層流的速度分布r d A (p B 。特別地，若流體在內(nèi)半徑b，外半徑a的圓柱形套筒之間流動，則必定滿 足下列邊界條件r=au=0及r=bu=0由此可定出式中的積分常數(shù)與B滿足 2 2 a A ) (p 4 dl b，1 d a 2 B ln lnb所以圓柱套筒內(nèi)流體速度分布。 d a (p 2 ln ) dl ln(a r。相應(yīng)地圓柱套筒內(nèi)流體的流量是Q d (a 2 ) (p 4 4 ln(a b)。例題 附圖表示沿斜面下滑的層流，假如流 體的粘滯系 m= s/m

40、2 流體的密 r=850kg/m 利 用圖中所給的數(shù)據(jù)求流體內(nèi)的速度分布、平均流速、 每米寬度的流量，以及作用上平面的平均剪應(yīng)力。解，A點處； B點處）因此 AP + gh = 800PaBddl(p 800 264003 2N 3又因為a=0.006m，上表面流速v= 1m/s. 由層流的速度分布公式1 u y (0.006y y 0.08)。最大速度由求出在y=0.0052m處處的速度為u =1.02m/smax米寬度的流量Q 0.006oudy 196y 2 3 0 3 / s平均流速Q(mào) u 0.72( a )。為求得上平面的剪應(yīng)力，先求速度梯度dudy 0.006 所以上平面處的剪應(yīng)力

41、du / 2dy負號表示剪應(yīng)力是阻礙流體上表面流動的。3 ）穩(wěn)層流的能量耗由于流體內(nèi)部存在粘滯性，在流動過程中受到粘滯阻力的作用流體的能量會減少了計算一維穩(wěn)定層流過程中能量的損耗流體內(nèi)沿流動層取長 dx,為 y 位寬度的薄片狀流體元作為研究對象，如圖10.6.3所示。假定流體元沿 向流動其速度 ，距地面高度為h。如前所述，該流體元受到軸前后兩個面的壓力，重力，以及上下兩面的粘滯阻力們可用功能原理分析流體元穩(wěn)定流動過程中的能量損耗照前面的討 論作用在流體元上前后兩個面上壓力差是dp 該壓力差對流體元輸入的功率為，dp ，因此壓力差對單位體積的流體做的功率為dw dt 。的流體元的勢能變重力做功負

42、值容易求得流體元相對于零勢能面 高度變化為dh么重力對流體元做功重力對單位體積流體做功的功率dw dx dh dt dt dt dx。粘滯力對流體元做功情況稍稍復(fù)雜一點，因為流體元上下兩個面的相對流速 不一樣此上下兩面的相對位移不同必須分開討論以證明滯力對單位 體積的流體元做功的功率為dw du d 3 dy dy上式證明留給讀者自行完成。，由于流動是穩(wěn)定的流速不變因而動能不變照功能原理述三種 力做功之和就是流體的能量損耗。結(jié)合上面三式就可得到 d dh dp dx 。利用穩(wěn)定層流的動力學(xué)方程化簡上式最后三項就是 dy2。容易看出程中流體內(nèi)部能量損失與各流動層之間的速度梯度有很大 關(guān)系是穩(wěn)定層

43、流過程中沿著任意流動層所取流體元的功率密度損失計算 式流動層積分就可以得到總的損失功率面穩(wěn)定層流條件下， 假定流線的長度為L流平面的高度為a(見圖10.6.1)單位寬度層流所損耗 的功率是a ) dy (p a) dL 0a 3 L (p dL4泊肅葉方程將半徑為a 的圓管水平放置使流體在管內(nèi)作穩(wěn)定層流內(nèi)流體的速 度分布由下式確定r d A (p 。對水平放置的管 =0, A也必定為零，因為在管中央處 r=0流速要有限。此 時的邊界條件為r=a（管的半徑）時u=0, 由邊界條件容易定出上面表達式中的 2 4dl，故水平管內(nèi)的流體的速度分布 2 dp4 。結(jié)果表明管內(nèi)流體的速度分布是一旋轉(zhuǎn)拋物線

44、，如 0.6.6所示。管中心處 （r=0）層流的速度最大，其大小為max 2 。由于速度分布是旋轉(zhuǎn)拋物線型的此圓 管 內(nèi) 流 體 平 速 為 最 值 一 半 dp8，管內(nèi)的流量Q u dp 。若用管的長度L與直徑D表示上式，就可寫成容易用實驗測量的形式Q 4 128 ，。上面的第一個式子就是著名的泊肅葉粘滯性方程和泊肅葉分別獨立地 用實驗進行了驗證公式與柏努利方程最明顯的差別在于前者考慮了流體 的粘滯性為流體在水平管內(nèi)連續(xù)流動時須在該流體兩端存在壓力差 按照柏努利方程水平管內(nèi)穩(wěn)定流動時(Dh=0)有壓力差流體照樣能連續(xù) 流動，相比較之下泊肅葉公式更接近實際流體5雷諾數(shù)當(dāng)流體作穩(wěn)定層流時，流體內(nèi)

45、大多數(shù)分子的定向運動基本上是在某個薄層 狀的平面內(nèi)動層與相鄰流動層之間只有少量的分子交換流動層之間的縱 向力是導(dǎo)致層流不穩(wěn)定的根本因素起相鄰流動層之間的分子進行動量交 換縱向力大到一定的程度時流動層之間的分子發(fā)生激烈交換全破壞 層流發(fā)展成一種無規(guī)則的流體運動湍流定流體內(nèi)部出現(xiàn)的是層流還是 湍流呢？雷諾在18世紀(jì)提出了在什么情況下同然而類似的流體有相似的 動力學(xué)方程過研究兩種幾何形狀完全相同的不同流體的流動諾指出要使 描述這些流體流動的動力學(xué)方程完全相同是這兩種流體的一個無量綱的參數(shù) ur)/m必須相同 里 u 流體的特征速度 是流動的特征長度、流體的密度、 是粘滯系數(shù)這個數(shù)被稱為雷諾數(shù)R是 。

46、雷諾數(shù)給出了各種流體之間出現(xiàn)相似動力學(xué)規(guī)律的判據(jù)，它是相似性原理在流體力學(xué)中的體現(xiàn)。當(dāng)一種流體的流動在某種條件會發(fā)生湍流，如果另一種流體在相同的條件下與這種流體的雷諾數(shù)相同，則另一種流體流動時也會發(fā)生湍流 。為了確定無量綱數(shù)的大小，雷諾設(shè)計了一個所圖 示的實驗。將一長為 的玻璃管水平放置其一端與一個大水桶相連，另一端接上一 開關(guān)璃管的入口處呈喇叭狀與一個裝滿染料的噴嘴相連以看到玻璃 管內(nèi)任何一點流體的流動情況諾取染料的平均速率為特征速度璃管的直 徑為特征長度，于是 VD。當(dāng)開關(guān)開的很小時流體的流動很慢，可以看到染料的流動呈直線狀，這表明 流體的流動是穩(wěn)定的層流著開關(guān)的逐漸開大料的流動出現(xiàn)上下擺

47、動 時染料的流動已變?yōu)榉欠€(wěn)定的了開關(guān)進一步開大料速度及D增大到一定 的程度時料擴散到整個玻璃管中流出現(xiàn)了就是從層流變成湍流的圖 像諾測得在出現(xiàn)湍流之前雷諾數(shù)R=2000來的研究工作進行了更仔細的測 定們將水先放上幾天讓它完全靜止時造一個相對水完全靜止的環(huán)境再進 行測量到的結(jié)果是R=4000個數(shù)叫做管流雷諾數(shù)的上臨界數(shù)實際情況 來說上臨界值沒有什么實際意義內(nèi)流體在雷諾數(shù)時就出現(xiàn)湍流了。雷諾在實驗中還發(fā)現(xiàn)流管內(nèi)一旦出現(xiàn)湍流欲使它重新回到層流只有 當(dāng)R小于2000流體才能完全恢復(fù)到層流，這個數(shù)就叫管流雷諾數(shù)的下臨界數(shù)。 這個數(shù)非常重要對不規(guī)則裝置有重要意義驗測得在各種不規(guī)則管內(nèi)流動 從層流過渡到湍流

48、前的雷諾數(shù)在 000-4000一范圍內(nèi)。層流的能耗正比與流體 的平均速度，而湍流的能耗正比平均速度的到次方。雷諾數(shù)的重要意義是它提供了一個用一種流體的實驗結(jié)果來預(yù)言另一種 流體在同樣條件下可能會發(fā)生結(jié)果的科學(xué)方法外于湍流出現(xiàn)是依賴系統(tǒng) 的參數(shù)是一種無規(guī)則運動有人認(rèn)為湍流也是一種混沌現(xiàn)象， 不過湍流問題在流體力學(xué)中還沒有得到圓滿的解決。流體對體的作用力1) 粘阻力、托克斯公式當(dāng)物體在流體中以速度v運動時，通常把物體本身為參照系，這時流體以速 度 v相對物體流動果流體的速度不大可將其視為穩(wěn)定流動體表面的流 動層叫做附面層粘附在物體的外表面相對物體靜止層外側(cè)的流動層相對 物體的流速不為零體周圍流動層

49、之間存在速度差使得這些流動層之間有 濕摩擦個摩擦力就是前面講的粘滯力物體在流體中運動時面層上的 粘滯力會阻礙物體相對流體的運動個阻力就叫做粘滯阻力般而言體 在流體中運動時所受到的粘滯力大小與物體的形狀有關(guān)而且理論推導(dǎo)非常復(fù)雜， 這里我們直接給出英國數(shù)學(xué)家家斯托克斯在851年研究球形物體在流體中運動時所受到的粘滯阻力的計算公式 ，r中為球體的半徑v為球體的運動速度， 是流體的粘滯系數(shù)當(dāng)注意算球形物體在流體中受 到的阻力時僅在雷諾數(shù)很小時（小于 的情況下上式才是主要的，也就是說斯 托克斯公式適用于小物體在粘滯性大的流體內(nèi)緩慢運動的情況如水滴在空氣中下落過程中受到空氣的阻力細胞 在血漿中下沉過程中受

50、到血漿的阻力等等都可用斯托克斯公式計算。2 ）壓阻力隨著了雷諾數(shù)的增加，斯托克斯公式已不能正確地描述物體受到的阻力， 為什么？我們以圓柱形物體相對流體運動為例加以說明圖10.7.1示雷 諾數(shù)小于1時體正前方A點及后側(cè)B點流速為零，這些點為駐點，物體周圍的流線始終貼著圓柱體的表面不與之分離圓柱體前后兩端的壓強相同，受到的阻力僅僅只有粘滯阻力。當(dāng)雷諾數(shù)增加到10 30柱體前端還是駐點處的流速仍為零于靠近圓柱體表面的流 體受附面層的影響較大流動緩慢附面層的流體受附面層的影響較小流動 快樣靠近附面層的流體還沒有到達圓柱體的后側(cè)層的流體已搶先到達并 且回旋過來補充由于內(nèi)層流體未到達所留下的空間，從而形成一對對稱的渦流， 如圖10.7.2所示時圓柱體后側(cè)不再是駐點諾數(shù)大約在40左右流開始擺脫圓柱體漂向下流柱體后又不斷的有新的渦流產(chǎn)生是在圓柱體后面出 現(xiàn)交替逝去的渦流，形成所謂的“卡門渦街”（參見 0.7.3體的流 動已經(jīng)從穩(wěn)定流動變?yōu)榉嵌鲃訕蚨蘸罅粝碌奈槽E就是一個直觀的“卡 門渦街”例子當(dāng)雷諾數(shù)達數(shù)百時會出現(xiàn)湍流，此時的流動已經(jīng)是三維的了。