工程力學(xué)-平面任意力系

1、工程力學(xué)平面任意力系第1頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三力線平移定理定理：可以把作用在剛體上點(diǎn)A的力F平行移到任一點(diǎn)B，但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶，這個(gè)附加力偶的矩等于原來(lái)的力F對(duì)新作用點(diǎn)B的矩。力線平移定理的逆步驟，亦可把一個(gè)力和一個(gè)力偶合成一個(gè)力。4.1 平面任意力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡(jiǎn)化ABMABFFFFABFF=F=F第2頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三力線平移定理揭示了力與力偶的關(guān)系：力 力+力偶 力平移的條件是附加一個(gè)力偶m，且m與d有關(guān)，m=Fd 力的平移定理是力系簡(jiǎn)化的理論基礎(chǔ)。說(shuō)明：第3頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)4

2、9分，星期三OxyijOOxyF1F2FnF1F2FnMnM2M1MOFR4.2 平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化主矢與主矩第4頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三4.2 平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化主矢與主矩平面力 偶 系力偶，MO (主矩，作用在該平面上)平面任意力系平面匯交力系+平面力偶系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化其中平面匯交力系的合力為平面力偶系的合成結(jié)果為平面匯交力系力， (主矢，作用在簡(jiǎn)化中心)第5頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三 平面任意力系中各力的矢量和稱為平面任意力系的主矢。主矢與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)。4.2 平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化主矢與主矩第6頁(yè)，共64頁(yè)，2

3、022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三 原力系各力對(duì)簡(jiǎn)化中心力矩的代數(shù)和稱為原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。一般來(lái)說(shuō)，主矩與簡(jiǎn)化中心的位置有關(guān)。4.2 平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化主矢與主矩 平面任意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)O簡(jiǎn)化，可得一個(gè)力和一個(gè)力偶。這個(gè)力等于該力系的主矢，作用線通過(guò)簡(jiǎn)化中心O 。這個(gè)力偶的矩等于該力系對(duì)于點(diǎn)O的主矩。主矢與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)，主矩與簡(jiǎn)化中心的位置有關(guān)。第7頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三AAA 一物體的一端完全固定在另一物體上所構(gòu)成的約束稱為固定端或插入端約束。補(bǔ)充內(nèi)容： 平面固定端約束MAFAyFAxFAMA說(shuō)明 認(rèn)為Fi這群力在同一平面內(nèi);

4、 將Fi向A點(diǎn)簡(jiǎn)化得一力和一力偶; FA方向不定，可用正交分力FAx, FAy表示; FAx, FAy , MA為固定端約束反力; FAx, FAy限制物體平動(dòng)，MA限制物體轉(zhuǎn)動(dòng)。第8頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三4.3 平面任意力系簡(jiǎn)化結(jié)果分析四種情況：(1) FR0，MO0 ; (2) FR 0，MO 0 ; (3) FR 0，MO0 ; (4) FR0，MO0 (1)平面任意力系簡(jiǎn)化為一個(gè)力偶的情形原力系合成為合力偶。合力偶矩M等于原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。此時(shí)主矩與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)。 FR0，MO0第9頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期

5、三4.3 平面任意力系簡(jiǎn)化結(jié)果分析(2) 平面任意力系簡(jiǎn)化為一個(gè)合力的情形合力矩定理如果主矩等于零，主矢不等于零，則此時(shí)平面力系簡(jiǎn)化為一合力，作用線恰好通過(guò)簡(jiǎn)化中心。(3) 如果主矢和主矩均不等于零，此時(shí)還可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為一合力。如圖OOFRdFRFRFRMOFROOdOO第10頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三結(jié)論：平面任意力系的合力對(duì)作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩等于力系中各力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。這就是平面任意力系的合力矩定理。4.3 平面任意力系簡(jiǎn)化結(jié)果分析FRdOO從圖中可以看出所以由主矩的定義知：第11頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三634ABC

6、 例 圖示力系，已知：P1=100N, P2=50N, P3=200N,圖中距離 單位cm。 求：1、力系主矢及對(duì)A點(diǎn)之矩？ 2、力系簡(jiǎn)化最后結(jié)果。解：1、建立坐標(biāo)系xy2、X=Fx=P3 =200NY=Fy=P1+ P2 =100+50 =150N 主矢 =36.9第12頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三ABCxy2、簡(jiǎn)化最終結(jié)果LA =mAh主矢主矩最終結(jié)果合力大?。悍较? =36.9位置圖示：方向： =36.9在A點(diǎn)左還是右？第13頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三1、均布荷載2、三角形荷載3、梯形荷載補(bǔ)充：平行分布線荷載的簡(jiǎn)化結(jié)果l/2l

7、/2qQQqq2q1可以看作一個(gè)三角形荷載和一個(gè)均布荷載的疊加第14頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三簡(jiǎn)化中心：A點(diǎn)主矢三角形分布載荷的簡(jiǎn)化問(wèn)題主矩簡(jiǎn)化最終結(jié)果yxmAdxl利用合力矩定理第15頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三 分布在較大范圍內(nèi)，不能看作集中力的荷載稱分布荷載。若分布荷載可以簡(jiǎn)化為沿物體中心線分布的平行力，則稱此力系為平行分布線荷載，簡(jiǎn)稱線荷載。補(bǔ)充： 平行分布線荷載的簡(jiǎn)化qQxyxxCdx第16頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三結(jié)論： 1、合力的大小等于線載荷所組成幾何圖形的面積。2、合力的方向與線載荷

8、的方向相同。3、合力的作用線通過(guò)載荷圖的形心。qQxyxxCdx第17頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三4.4 平面任意力系的平衡條件和平衡方程平衡條件平面任意力系平衡的必要與充分條件是：力系的主矢和對(duì)任一點(diǎn)的主矩都等于零。即第18頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三平衡方程即：平面任意力系平衡的解析條件是：力系中所有各力在其作用面內(nèi)任意兩個(gè)不平行的坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和等于零，所有各力對(duì)任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和等于零。上式稱為平面任意力系的平衡方程。 由于所以第19頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三解：以剛架為研究對(duì)象，受力如圖。

9、解之得：例1例1 求圖示剛架的約束反力。APabqAPqFAyFAxMA第20頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三例2例2 求圖示梁的支座反力。解：以梁為研究對(duì)象，受力如圖。解之得：ABCPabqmABCPqmFBFAyFAx第21頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三(1) 二矩式其中A、B兩點(diǎn)的連線AB不能垂直于投影軸x。平衡方程的其它形式第22頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三(2) 三矩式其中A、B、C三點(diǎn)不能在同一條直線上。注意：以上格式分別有三個(gè)獨(dú)立方程，只能求出三個(gè)未知數(shù)。第23頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日

10、，19點(diǎn)49分，星期三例3例3 懸臂吊車如圖所示。橫梁AB長(zhǎng)l2.5 m，重量P1.2 kN，拉桿CB的傾角a30，質(zhì)量不計(jì)，載荷Q7.5 kN。求圖示位置a2 m時(shí)拉桿的拉力和鉸鏈A的約束反力。第24頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三例3解：取橫梁AB為研究對(duì)象。ABEHPQFTFAyFAxaa從(3)式解出代入(1)式解出代入(2)式解出第25頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三例3CABEHPQFTFAyFAxaa如果再分別取B和C為矩心列平衡方程得有效的方程組合是：1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；2,4,5 ；3,4,5第2

11、6頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三 力的作用線在同一平面且相互平行的力系稱平面平行力系。 平面平行力系作為平面任意力系的特殊情況，當(dāng)它平衡時(shí)，也應(yīng)滿足平面任意力系的平衡方程，選如圖的坐標(biāo)，則Fx0自然滿足。于是平面平行力系的平衡方程為：平面平行力系的平衡方程也可表示為二矩式：其中AB連線不能與各力的作用線平行。4.5 平面平行力系的平衡方程F2F1F3Fn第27頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三例4 已知：塔式起重機(jī) P=700kN, W=200kN (最大起重量)，尺寸如圖。求：保證滿載和空載時(shí)不致翻倒，平衡塊Q=？ 當(dāng)Q=180kN時(shí)，求滿

12、載時(shí)軌道A、B給起重機(jī)輪子的反力？第28頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三限制條件：解： 首先考慮滿載時(shí)，起重機(jī)不向右翻倒的Q：空載時(shí)，W=0由限制條件為：解得因此保證空、滿載均不倒，Q應(yīng)滿足如下關(guān)系：解得:第29頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三求當(dāng)Q=180kN，滿載W=200kN時(shí)，NA ,NB為多少 由平面平行力系的平衡方程可得： 解得：第30頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三 在靜力學(xué)中求解物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題時(shí)，若未知量的數(shù)目不超過(guò)獨(dú)立平衡方程數(shù)目，則由剛體靜力學(xué)理論，可把全部未知量求出，這類問(wèn)題稱為靜定問(wèn)題。若

13、未知量的數(shù)目多于獨(dú)立平衡方程數(shù)目，則全部未知量用剛體靜力學(xué)理論無(wú)法求出，這類問(wèn)題稱為靜不定問(wèn)題或超靜定問(wèn)題。而總未知量數(shù)與總獨(dú)立平衡方程數(shù)之差稱為靜不定次數(shù)。4.6 靜定和超靜定問(wèn)題第31頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三 靜不定問(wèn)題將在其它力學(xué)課程（材力,結(jié)力,彈力）中用位移協(xié)調(diào)條件來(lái)求解。靜定（未知數(shù)三個(gè)） 靜不定（未知數(shù)四個(gè)）第32頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三判斷各圖的超靜定次數(shù)第33頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三4.7 物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題 由若干個(gè)物體通過(guò)約束所組成的系統(tǒng)稱為物體系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱物系。外界物體作

14、用于系統(tǒng)的力稱該系統(tǒng)的外力。系統(tǒng)內(nèi)各物體間相互作用的力稱該系統(tǒng)的內(nèi)力。當(dāng)整個(gè)系統(tǒng)平衡時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)每個(gè)物體都平衡。反之，系統(tǒng)中每個(gè)物體都平衡，則系統(tǒng)必然平衡。因此，當(dāng)研究物體系統(tǒng)的平衡時(shí)，研究對(duì)象可以是整體，也可以是局部，也可以是單個(gè)物體。第34頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三例5例5 求圖示三鉸剛架的支座反力。解：先以整體為研究對(duì)象，受力如圖?？山獾茫篊BqaaaAFFAxFAyqCBAFFBxFBy第35頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三例5再以AC為研究對(duì)象，受力如圖。解得：FAxFAyFCxFCyAFCCBqaaaAF第36頁(yè)，共64頁(yè)，2

15、022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三例6例6求圖示多跨靜定梁的支座反力。解：先以CD為研究對(duì)象，受力如圖。再以整體為研究對(duì)象，受力如圖。CBq22FAD13FCxFCyFDqFFAxFAyFDFBq解得CDCBAD第37頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三例7例7 求圖示結(jié)構(gòu)固定端的約束反力。解：先以BC為研究對(duì)象，受力如圖。再以AB部分為研究對(duì)象，受力如圖。求得CBqFAMbaaFBMCBFCFBFAyqFBAMAFAx第38頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三例4例8 組合結(jié)構(gòu)如圖所示，求支座反力和各桿的內(nèi)力。解：先以整體為研究對(duì)象，受力如

16、圖。解之得：aaabDACEFBq123DACEFBq123FDFAxFAy第39頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三F1F2F3Cxy45例4再以鉸C為研究對(duì)象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。aaabDACEFBq123第40頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三例8例9 結(jié)構(gòu)的荷載和尺寸如圖，CEED，試求固定端A和鉸支座B的約束反力。解：先以BD為研究對(duì)象，受力如圖。再以CDB局部為研究對(duì)象，受力如圖。MFByFBxBDFDxFDyMFByFBxFCxFCyFBDC30q0FABDC30M3aaE第41頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分

17、，星期三例8最后以整體為研究對(duì)象，受力如圖。解之得：q0FABDC30MFByFBxFAyMAFAxq0FABDC30M3aaE第42頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三例9例10 圖示結(jié)構(gòu)，各桿在A、E、F、G處均為鉸接，B處為光滑接觸。在C、D兩處分別作用力P1和P2，且P1P2500 N，各桿自重不計(jì)，求F處的約束反力。解：先以整體為研究對(duì)象，受力如圖。解得：2m2m2m2m2m2mADEFGBCP1P2P1P2ADEFGBCFAxFAyFB第43頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三例9再以DF為研究對(duì)象，受力如圖。解得：最后以桿BG為研究對(duì)象

18、，受力如圖。解得：P2DEFFEyFFyFFxFExFGyFBFGBFGxFFyFFx2m2m2m2m2m2mADEFGBCP1P2第44頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三例12例11 兩根鉛直梁AB、CD與水平梁BC鉸接，B、C、D均為光滑鉸鏈，A為固定支座，各梁的長(zhǎng)度均為l2 m，受力情況如圖所示。已知水平力F6 kN，M4 kNm，q3 kN/m。求固定端A及鉸鏈C的約束反力。ABCDF2l/3l/2 Mq0MBCFByFBxFCxFCy解: (1) 取BC分析求得結(jié)果為負(fù)說(shuō)明與假設(shè)方向相反。第45頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三例12(

19、2) 取CD分析FCDFCxFCyFDxFDy求得結(jié)果為負(fù)說(shuō)明與假設(shè)方向相反。ABCDF2l/3l/2 Mq0MBCFByFBxFCxFCy第46頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三例12Mq0FCxFCyFAyMAFAxBCA(3) 取ABC進(jìn)行分析求得結(jié)果為負(fù)說(shuō)明與假設(shè)方向相反，即為順時(shí)針?lè)较?。ABCDF2l/3l/2 Mq0MBCFByFBxFCxFCy第47頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三4.8 平面簡(jiǎn)單桁架(補(bǔ)充)平面簡(jiǎn)單桁架的內(nèi)力分析第48頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三第49頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月2

20、0日，19點(diǎn)49分，星期三工程中的桁架結(jié)構(gòu)第50頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三 桁架是由桿件彼此在兩端用鉸鏈連接形成的幾何形狀不變的結(jié)構(gòu)。桁架中所有桿件都在同一平面內(nèi)的桁架稱為平面桁架。桁架中的鉸鏈接頭稱為節(jié)點(diǎn)。 為簡(jiǎn)化桁架計(jì)算，工程實(shí)際中采用以下幾個(gè)假設(shè)： (1)桁架的桿件都是直桿； (2)桿件用光滑鉸鏈連接； (3)桁架所受的力都作用到節(jié)點(diǎn)上且在桁架平面內(nèi)； (4)桁架桿件的重量略去不計(jì)，或平均分配在桿件兩端的節(jié)點(diǎn)上。這樣的桁架，稱為理想桁架。其中的每根桿件都只是在兩端受力,所以所有的桿件都是二力桿。第51頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期

21、三 桁架內(nèi)每個(gè)節(jié)點(diǎn)都受平面匯交力系作用，為求桁架內(nèi)每個(gè)桿件的內(nèi)力，逐個(gè)取桁架內(nèi)每個(gè)節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，求桁架桿件內(nèi)力的方法即為節(jié)點(diǎn)法。節(jié)點(diǎn)法第52頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三 例12 平面桁架的尺寸和支座如圖，在節(jié)點(diǎn)D處受一集中荷載F = 10 kN的作用。試求桁架各桿件所受的內(nèi)力。解：先以整體為研究對(duì)象，受力如圖。節(jié)點(diǎn)法2mF2mABCD3013425AB30134DCFFByFAyFAx第53頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三再分別以節(jié)點(diǎn)A、C、D為研究對(duì)象，受力如圖。FAyFAxF1F2AFF3F2F5DF3F4F1C節(jié)點(diǎn)A節(jié)點(diǎn)C節(jié)點(diǎn)D解

22、上述5個(gè)方程得其中1，4桿受壓。25AB30134DCFFByFAyFAx第54頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三三桿節(jié)點(diǎn)無(wú)載荷、其中兩桿在一條直線上，另一桿必為零力桿。四桿節(jié)點(diǎn)無(wú)載荷、其中兩兩在一條直線上，同一直線上兩桿內(nèi)力等值。兩桿節(jié)點(diǎn)無(wú)載荷、且兩桿不在一條直線上時(shí)，該兩桿是零力桿。特殊桿件的內(nèi)力判斷第55頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三例13 已知 P d,求：四桿的內(nèi)力？ 解：由零桿判式研究A點(diǎn)：第56頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三 用假想的截面（截面可以是平面，也可以是曲面）將桁架截開(kāi)，取至少包含兩個(gè)節(jié)點(diǎn)以上部分為研究對(duì)象，考慮其平衡，求出被截桿件內(nèi)力，這就是截面法。截面法第57頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三例15FAyFAxABCDEFGFEFGFF123FBy例14 圖示平面桁架，各桿長(zhǎng)度均為1m，在節(jié)點(diǎn)E，G，F(xiàn)上分別作用荷載FE10 kN， FG7 kN， FF5 kN。試求桿1、2、3的內(nèi)力。解：取整體分析解得第58頁(yè)，共64頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)49分，星期三ABCDE