大學數(shù)學(高數(shù)微積分)第五章二次型第二節(jié)(課堂講解)

1、主要內容標準形的定義第二節(jié) 標 準 形配方法及其證明配方法的矩陣形式初等變換法一、標準形的定義定義4 二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) 經過非退化線性替換 X = CY 所變成的如下形式(只含平方項)d1y12 + d2y22 + + dnyn2 的二次型稱為二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) 的標準形.這一節(jié)我們要討論的問題是如何用非退化的線性替換把二次型變成標準形.關于這個問題，我們有以下定理：二、配方法及其證明定理 1 數(shù)域 P 上任意一個二次型都可以經過非退化的線性替換變成標準形.證明下面的證明實際上是一個具體把二次型化成標準的方法，這就是中學里學過的“配

2、方法”.我們對變量的個數(shù) n 作歸納法.對于 n = 1 ，二次型就是f ( x1 ) = a11x12 .它已經是平方和了，結論成立.現(xiàn)假設對 n - 1 元的二次型，定理的結論成立.再設分三種情形來討論：1) aii ( i =1 , 2 , , n ) 中至少有一個不為零， 不妨設 a11 0 , 這時這里是一個 x2 , x3 , , xn 的二次型.令即這是一個非退化線性替換，它使由歸納法假設，對有非退化線性替換能使它變成標準形d2z22 + d3z32 + + dnzn2 .于是非退化線性替換就使 f ( x1 , x2 , , xn ) 變成f ( x1 , x2 , , xn

3、) = a11z12 + d2z22 + + dnzn2 ,根據歸納法原理，此時定理得證.2) 所有 aii = 0，但是至少有一個 a1j 0 ( j 1 )不失一般性，設 a12 0 .令它是非退化的線性替換，且使f ( x1 , x2 , , xn ) = 2a12x1x2 + .= 2a12(z1 + z2)(z1 - z2) + .= 2a12z12 -2a12z22 + ,這時上式右端是 z1 , z2 , , zn 的二次型，且 z12 的系數(shù)不為零，屬于第一種情況，定理成立.3) a11 = a12 = = a1n = 0 .由對稱性，有a21 = a31 = = an1 =

4、0 .這時是 n - 1 元二次型，根據歸納法假設，它能用非退化線性替換變成標準形.這樣我們就完成了定理的證明.證畢不難看出，標準形的矩陣是對角矩陣，d1x12 + d2x22 + + dnxn2反過來，矩陣為對角形的二次型就只含平方項.按上一節(jié)的討論，經過非退化的線性替換，二次型的矩陣變到一個合同的矩陣，因此，用矩陣的語言，定理 1 可以敘述為：定理 2 在數(shù)域 P 上，任意一個對稱矩陣都合同于一對角矩陣.定理 2 也就是說，對于任意一個對稱矩陣 A都可以找到一個可逆矩陣 C 使CTAC成為對角矩陣.例 1 用配方法化二次型為標準形.解由于二次型的平方項的系數(shù)全為零，故屬于定理 1 的證明過

5、程中的第二種情形，作非退化線性替換則再令即則最后令即則這即為標準形，而這幾次線性替換的結果相當于作一個總的線性替換，例 2 用配方法把三元二次型化為標準形，并求所用的線性替換及變換矩陣.三、配方法的矩陣形式前面所講的配方法的過程，可以用矩陣寫出來.我們按前面的每一種情況寫出相應的矩陣.情形一 a11 0這時的變數(shù)替換為該變數(shù)替換的矩陣為則上述變數(shù)替換相應于合同變換A C1TAC1 .為了計算 C1TAC1 ，可令于是 A 和 C1 可寫成分塊矩陣其中 T 為 的轉置，En - 1 為 n - 1 級單位矩陣，于是矩陣 A1 - a11-1 T 是一個 ( n - 1 ) ( n - 1 ) 對

6、稱矩陣，由歸納法假設，有 ( n - 1 ) ( n - 1 ) 可逆矩陣 G 使GT( A1 - a11-1 T )G = D為對角形.令于是這是一個對角矩陣.我們所要的可逆矩陣為C = C1C2 .情形二 a11 = 0 但有一個 aii 0這時，只要把 A 的第一行與第 i 行互換，再把第一列與第 i 列互換，就歸結成情形一，根據初等矩陣與初等變換的關系，取i行i 列顯然P( 1 , i )T = P( 1, i ) .矩陣C1TAC1 = P( 1 , i ) A P( 1 , i )就是把 A 的第一行與第 i 行互換，再把第一列與第i 列互換的結果.因此， C1TAC1 左上角第一

7、個元素就是 aii ，這樣就歸結到第一種情形.情形三 aii = 0, i = 1, , n, 但有一 a1j 0, j 0與上一種情形類似，作合同變換P( 2 , j )TAP( 2 , j )可以把 a1j 搬到第一行第二列的位置，這樣就變成了配方法中的第二種情況.與那里的變數(shù)替換相對應，取于是 C1TAC1 的左上角就是也就歸結到第一種情形.情形四 a1j = 0, j = 1, , n由對稱性，aj1 , j = 1, 2, , n , 也全為零，于是A1 是 n - 1 級對稱矩陣.由歸納法假設，有n - 1 級可逆矩陣 G 使GTA1G = D成對角形.取CTAC 就成為對角形.例

8、 3 用配方法化二次型為標準形.解該二次型對應的矩陣為因為 a11 = a22 = a33 = 0, 但 a12 0, 故屬于情形三取再取再取A3 已是對角矩陣，因此令就有作非退化線性替換X = CY ,即得四、初等變換法在本節(jié)的最后，再來討論化二次型為標準形的初等變換法.由本節(jié)知，對任意一個對稱矩陣 A都可以找到一個可逆矩陣 C 使CTAC成為對角矩陣.由于 C 可逆，由第四章知，存在初等矩陣 P1, P2 , , Pk , 有C = P1P2 Pk . PkT P2TP1T A P1P2 Pk 于是為對角矩陣.這說明，任意一個實對稱矩陣 A，可以經過一系列相同類型的初等行、列變換化為對角形

9、矩陣.這里所謂的相同類型的初等行、列變換指的是：每對 A 進行一次行變換，緊接著對 A 進行一次相同類型的列變換.又因為C = P1P2 Pk =EP1P2 Pk ，所以，對 A 作的列變換同樣施加于 E，即得變換矩陣 C .于是就有用初等變換法化二次型為標準形的方法是：將二次型的矩陣 A 與單位矩陣 E 構造矩陣 B對 B 作相同類型的初等行、列變換，直到 B 中的即為標準形的系數(shù).子塊 A 成為對角矩陣, 則 B 中原來對應于 E 的部分即為線性變換矩陣.對角矩陣的主對角線上的元素例 4 用初等變換法化二次型為標準形.解該二次型對應的矩陣為構造矩陣 B初等變換 所以二次型的標準形為 所用線

10、性替換為例 5 用初等變換法化二次型為標準形.本節(jié)內容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內容已結束 !若想結束本