立體幾何中體積與表面積三年高考數(shù)學(文)真題分項版解析

1、 【2017 課 3文 9已知圓柱的高為 1，它的兩個底面的圓周在直徑 2 同一個球的 球面上，則該圓柱的體積為（）A BC2D4【答案B【解析】如果，畫出圓柱的軸截面，AC 3以 r 么柱的體積是2 3 V 2 ，故選 B.【考點】圓柱體積【名師點睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊(一般為接、切點或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半(直 徑與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程組求.2.【 高山東，文 】已知等腰直角三角形的直角邊的長為 ，將該三角形繞其斜邊所 在的直

2、線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積( )（A【答案】（） （ ） （ ）【考點定位1.旋轉(zhuǎn)體的幾何特征2.幾何體的體積【名師點睛本題考查了旋轉(zhuǎn)體幾何特征及幾何體的體積計算答本題的關(guān)鍵是理解1所得旋轉(zhuǎn)體的幾何特征，確定得到計算體積所需要的幾何.本題屬于基礎(chǔ)題考旋轉(zhuǎn)體幾何特征及幾何體的體積計算方法的同時查了考生的 空間想象能力及運算能力，是無考的一道好題.【2016 高新課標 文數(shù)】平面過正文體 ABCDA B C D 的頂點 A1 1 1則 mn 所角的正弦值為（）（A （B （ （）【答案A【解析】考點：平面的截面問面面平行的性質(zhì)異面直線所成的【名師點睛】求解本題的關(guān)鍵是作出異面直線所

3、成角 ,求異面直線所成角的步驟是：平移定 角、連線成解形求角、得鈍求補.【2017 天津，文 11】已知一個正方形的所有頂點在一個球面上，若這個方體的表面積 為 18則這個球的體積為 .【答案】2【解析】試題分析：設(shè)正方體邊長為 a ，則 6a2 a 2，外接球直徑為 27 9 3 8 【考點】球與幾何體的組合體【名師點睛】正方體與其外接球的組合體比較簡單，因為正方體的中心就是外接球的球心，對于其他幾何體的外接球，再找球心時，注意球心到各個頂點的距離相等1.若柱體，球心肯定在中截面上底外圓的圓心心做底面的垂線與中截面的交點就是球心，若是錐，可以先找底面外接圓的圓心，過圓心做底面的垂線，再做一條

4、側(cè)棱的中垂線，兩條直線的交點就是球心平幾何關(guān)系求半徑若是三棱錐側(cè)棱兩兩垂直時， 也可補成長方體，長方體的外接球就是此三棱錐的外接球，這樣做題比較簡.【 新課標 文 】已知是球的球面上兩點,為該球面上的動點若三棱錐 B.【答案C【解析】體積的最大值為 36,則球 C. D.的表面積為（）【考點定位】本題主要考查球與幾何體的切接問題及空間想象能.【名師點睛由三棱錐底面 AOB 面積為定值故高最大時體積本題就是利用此結(jié)論求球的半徑 然后再求出球的表面積 由于球與幾何體的切接問題能很好的考查空間想象能使得這類問題一直是高考的熱點及難提醒考生要加強此方面的訓練 2016 高新標數(shù) 在封的直三棱柱， ，

5、， ，內(nèi)有一個體積為的最大值是（）的球，若（A）（）（）（）【答案B【解析】試題分析：要使球的體積最大，必須球的半徑最大由題意知球的與直三棱柱的上下3底面都相切時的徑取得最大值 時的體積為 選 考點：1、三棱柱的內(nèi)切球；2、球的體積【思維拓展】立體幾何是的最值問題通常有三種思考方向據(jù)何體的構(gòu)特征，變 動態(tài)為靜態(tài)，直觀判斷在什么情況下取得最值將何體平面化，如利用開圖，在平 面幾何圖中直觀求解建立函數(shù)，通過求函數(shù)的最值來求解7.【 全國 2文 】正三棱柱中點，則三棱錐的體積為( )（A （ （C） （D）的底面邊長為 ，棱長為 ，為【答案C【考點定位】棱柱、棱錐、棱臺的體積【名師點睛本題考查幾何體

6、的積的求法于中檔題求幾何體的底面面積與高是解 題的關(guān)鍵，對于三棱錐的體積還可利用換底法與補形法進行處理8. 高考新課標 1文 6章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，周八尺，高五尺，問：積及為米幾何？”其意思為：“屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一底部的弧長為 8 尺，米堆的高為 5 尺，米堆的體積和堆放的米各為多已知 1 斛的體積約為 1.62 立尺，圓周率約 為 3，估算出堆放的米有（）（A）斛（B斛（C斛（）斛【答案B4【解析】設(shè)圓錐底面半徑為r ， ，以 ，以米堆的體積為=，故堆放的米約為1.62B.【考點定位】圓錐的性質(zhì)與圓錐的體積公

7、式【名師點睛】本題以九章算術(shù)中的問題為材料，試題背景新穎，解答本題的關(guān)鍵應想到米堆是圓錐，底面周長是兩個底面半徑與圓的和，根據(jù)題中的條件列出關(guān)于底面半徑的方程，解出底面半徑，是基礎(chǔ)【2017 課 ，文 】知三棱錐 S-ABC 所有頂點都在球 O 的面上， 是 O 直徑若平面 平面 ，=，=BC三棱錐 的積為 ，則球 的表 面積為【答案】36因為平面 SAC 平面 所以 OA 平面 SBC設(shè)OA 1 r r 33所以r r ，所以球的表面積為 【考點】三棱錐外接球【名師點睛本題考查了球與幾體的問題高考中的重點問題要有一定的空間想象能力樣能找準關(guān)系到結(jié)外接球需要求球心和半徑應確定球心的位置，借助于

8、外接球的性質(zhì)心各點距離相等樣可先確定幾何體中部分點組成的多邊形的外接圓的圓心心垂直于多邊形所在平面的直線上任一點到多邊形的頂點的距離相等同的方法找到另一個多邊形的各頂點距離相等的直個多邊形需有公共點這樣兩條直線的交點，就是其外接球的球心根據(jù)半徑，頂點到底面中心的距離，球心到5底面中心的距離，構(gòu)成勾股定理求解，有時也可利用補體法得到半徑三條側(cè)棱兩兩垂 直的三棱錐，可以補成長方體，它們是同一個外接球【2017 課 II，文 15長方體的長、寬、高分別為 3 ，頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為【答案】14 .【解析】球的直徑是長方體的體對角線，所以 3 2 S 4 14 【考點】球的表面積【名

9、師點睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊(一般為接、切點或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半(直 徑與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程組求. 江蘇，6】如圖在柱 O 內(nèi)一個球 ,球與圓柱的上、下面及母線均相. 2記圓柱 , 的積 V ,球 O 體積為 則 的值是【答案】【考點】圓柱體積【名師點睛】空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略若給的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行求解 (2)若所給定的幾何的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法

10、、分割法、補形法 等方法進行求解【2015 高四川， 14在三棱住 A C 中，BAC90，其正圖和側(cè)視圖都1 1 162323是邊長為 的正方形視是直角邊長為 1 的腰直角三角形 分是 ， ， C 的點，則三棱錐 A 的體積1 【答案】C1P【解析】由題意，三棱柱是底面為直角邊長為 1 A1B1等腰直角三角形，高為 1 的三棱柱，底面積為CN如圖，因為 PN故 AA 面 ，1 故三棱錐 P 與棱錐 AMN 體相等，1AMB三棱錐 PAMN 的面積是三棱錐底積的 ，高為 故三棱錐 P 的積為1【考點定位本題主要考查空間何體的三視圖觀圖及空間線面關(guān)系三柱與三棱錐的體積等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力

11、、圖形分割與轉(zhuǎn)換的能力，考查基本運算能【名師點睛本要確畫出三棱柱的直觀圖各個點的對應字母所在位置，結(jié)合條件，三棱錐 PA 的體積可以直接計算，但轉(zhuǎn)換為三棱錐 P 體積，使得1計算更為簡便，基本上可以根據(jù)條件直接得出結(jié)屬于中檔偏難【2016 高考浙江文數(shù)】某幾何體的三視圖如圖所示（單位cm該幾何體的表面 是_cm ,積是_cm .【答案】80；7考點：三視.【方法點睛決三視圖求空幾何體的表面積與體積問題般先根據(jù)三視圖確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再準確利用幾何體的表面積與體積公式計算該幾何體的表面積與體積 【2017 課標 II， 】如圖，四棱錐 P ABCD 中，側(cè)面 為邊角形且垂直于底面ABCD

12、BAD ABC 90.（1證明：直線BC / 平面 PAD ;（2 eq oac(, ) 面積為 ，求四棱錐 ABCD的體積【答案）解析（） 【解析】試 題 解 析 1 ） 在 平 ABCD 內(nèi) 因 為 ABC=90 ， BC 又BC 面P， 平面P，故 BC平面 PAD.（2取 的點 M，連結(jié) PMCM由AB AD及 BC，得四邊形 ABCM 為方形，則 CM8因為側(cè)面 PAD 為等邊三角形且垂直于面 ABCD，平面 PAD 平 ，所以 PMAD，底面 ABCD，因為CM底面，所以 PM設(shè) ， CM=xCD=PM=，取 中點 N，結(jié) ，則 PNCD，所以因 的積為 ，以，解得 （舍去，于是

13、AB=BC=2，AD=4PM=，所以四棱錐 P-ABCD 的體積【考點】線面平行判定定理，面面垂直性質(zhì)定理，錐體體積【名師點睛】垂直、平行關(guān)系證明中應用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類.證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂.證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂.【2017 課標 ，文 】圖，四體 ABCD 中 正三角形，CD證明：BD；已 ACD 是角三角形，=若 E 為 BD 上與 D 不合的點，且 ， 求四面體 與四面體 的積比【答案】（1）詳見解析；（2）9試題解析：）證明：取 中點 O ，連OD AD CD，O為AC中點， AC OD ，又 ABC 是邊三角形，AC

14、 OB，又OB OD O，AC 平面OBD， 平面OBD，AC BD .（2設(shè) ， AC ， AB ，又 ， ， ABD CBD ， ，又AE EC， AC 2 ，在中 ，設(shè)DE x，根據(jù)余弦定理AD BD 2 AB 2 AD DE AE ADB 2 2 AD 22 (2 2 2) 22 22 2 2 解得 ，點 E 是 BD 的中點，則 ACE，VD VB ACE【考點】線面垂直判定及性質(zhì)定理，錐體體積【名師點睛】垂直、平行關(guān)系證明中應用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類.證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂.證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂.【 北京 圖棱錐 P 中B

15、C=BC，10D 為段 AC 的點， 為段 上點（）求證：BD（）求證：平面 BDE面 PAC（）當 平面 BDE 時，求三棱錐 EBCD 的積 【答案】詳見解析【解析】試題解析：證明：（I）因為 ， BC，所以 平面ABC，又因為 BD 平 ABC ，以 PA BD（II）為 BC，D為AC中點，所以BD AC，由（I）知，PA BD，所以 平面PAC，所以平面BDE 平面PAC（III）因為 平 平面 PAC 所以 PADE .平面 ，因為 D 為 的中點，所以 ， BD 由（I）知，PA 平面PAC，所以 平面PAC11所以三棱錐 E BCD 的積 1 BD 3【考點】線面垂直的判斷和性

16、質(zhì)2,面面垂直的判斷和性質(zhì)3.何體的體【名師點睛線線線的位置系以及證明是高考的重點內(nèi)容其中證明線面垂直又是重點和熱點，要證明線面垂直，根據(jù)判斷定理轉(zhuǎn)化為證明線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，而其中證明線線垂直又得轉(zhuǎn)化為證明線面垂直線線垂直是根據(jù)面面垂直面的線垂 直于交線，則垂直于另一個平這兩種途徑都可以證明線面垂【2016 高新課標 文題分 分）如圖,已知正三棱錐 P 的側(cè)面是直 角三角形PA頂 在面 ABC 內(nèi)正投影為點 ,連接 并長交 AB 于 G證明 是 AB 的點；在答題卡第18題圖中作出點 在面 內(nèi)正投影 F（說明作法及理由）, 求四面體 PDEF 體積【答案）見解析（II作圖見解體積為

17、試題解析）為在平面內(nèi)的正投影為所以12因為所以在平面平面內(nèi)的正投影為 故,所以又由已知可,從而是的中點（II）平面內(nèi),過作的平行線交于點即為在平面內(nèi)的正投影理由如下：由已知可得 平面為即點在平面 內(nèi)的正投影. 所 此連接因為在平面內(nèi)的正投影為所以是正三角形的中心由（I）知,是的中點所在上故由 題 設(shè) 可 得平 面平 面 所 以因 此由已知正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且可得在等腰直角三角形所以四面體中可得的體積考點：線面位置關(guān)系及幾何體體積的計算【名師點睛】文科立體幾何解答題主要考查線面位置關(guān)系的證明及幾何體體積的計算 空間中線面位置關(guān)系的證明主要包括線線、線面、面面三者的平行與垂直關(guān)系 ,其推理

18、論證的關(guān)鍵是結(jié)合空間想象能力進行推要防止步驟不完或考慮不全致推理片該類題目難度 不大以中檔題為【 高考北京 題分 14 圖三棱錐中面平面 ，為等邊三角形，13且，分別為 ，的中點（I）求證：平面；求證：平面求三棱錐平面的體積；【答案）證明詳見解析）證明詳見解析）（II先在三角形中得到 再用面面直的性質(zhì)得平面 最后利用面面垂直的判定得出結(jié)論III將三棱錐進行等體積轉(zhuǎn)化，利用，先求出三角形的面積，由于平面 ，所以為錐體的高，利用錐體的體積公式計算出體積即.試題解析）因為 所以分別為 ，的中點，又因為平面，所以平面（）因為 所以，為的中點，又因為平面 所以平面平面，且平面 ，所以平面平面（）在等腰直

19、角三角形中， ，14所以所以等邊三角形的面積又因為平面，所以三棱錐又因為三棱錐的體積等于的體積與三棱錐的體積相等，所以三棱錐的體積為考點：線線平行、線面平行、面面平行、線線垂直、線面垂直、面面垂直、三棱錐的體積公 式【名師點晴】本題主要考查的是線面平行、面面垂直和幾何體的體積中題證明線面平行的關(guān)鍵是證明線線平行線線平行常用的方法是三角形的中位線和構(gòu)造平行四邊形證面面垂直的關(guān)鍵是證明線面垂直明線面垂直可由面面垂直得到由面垂直得到線面垂直一定要注意找兩個面的交線則很容易出現(xiàn)錯誤幾體的體積的方法主 要有公式法、割補法、等積法等，本題求三棱錐的體積，采用了等積法19.2016 高新標文如圖，四棱錐中，

20、平面 ，為線段上一點，為的中點證明求四面體平面 ；的體積.【答案）解析）15試題解析已知得 取的中點 連 由為中點知， 又，故，四邊形為平行四邊形，于是因為平面 ，平面，所以平面 .6 分（）因為平面 ，為的中點，所以到平面的距離為 分取的中點，連結(jié)由得 ，由得到的距離為 ，所以四面體的體積 . 分考點：1、直線與平面間的平行與垂直關(guān)系、三棱錐的體積【技巧點撥證明立體幾何中的平行關(guān)系，常常是通過線線平行來實現(xiàn)，而線線平行常常利用三角形的中位線平四形與梯形的平行關(guān)系來推證三錐體積關(guān)鍵是確定其高而的確定關(guān)鍵又推頂點在底面上的射影位置然有時也采取割補法體積 轉(zhuǎn)換法求解【 高考陜西 角形中，是的中點，

21、是與的交點，將沿折起到圖 2 中的位置，得到四棱錐16證：平面；(II)當平面平面時，四棱錐的體積為 ， 的.【答案】(I) 證明略，詳見解析；(II) .(II)由已知面，所以行 四 邊 形平面平面面 積平，即平面是四棱錐， 從 而 四 棱 錐由I)知，的高，易求得平的 為，由 ，得試題解析(I)在 中，因為，是的中點 ，以，即在圖 ，從而平面又所以平面(II)由已知，平面 且平面平面又由(I)知平面，所以，平面，17即是四棱錐的高，由圖 可知， ，平行四邊形面積 ，從而四棱錐的為，由 ，【考點定位1.線面垂直的判定面垂直的性質(zhì)定理3.間幾何體的體積【名師點睛在理有關(guān)空間中的線面平行、線面垂

22、直等問題時，常常助于相關(guān)的判定定理來解題時注意恰當?shù)膶㈩}進行轉(zhuǎn)化求幾何體的體積的方法主要有公式法、 割補法、等價轉(zhuǎn)化法等，本題是求四棱錐的體積，可以接使用公式.21. 【2014 全國 ，文 小題滿分 12 分）如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面 ，是的中點（）證明：/平面 ；（）設(shè)，三棱錐的體積 ，到平面的距離【答案）見解析）18平面 以 ，平面的距離為 平面 以到【考點定位1.直線與平面平行點平面的距離.【名師點睛考了直線與平面平行的判斷與證明積的求法求距離中題， 考查學生分析解決問題的能力證線面平行由判定定理可知只需在面內(nèi)作一直線與已 知直線平行即可何出這條內(nèi)線就是平時的經(jīng)驗積累與分析思維

23、的能力了點到平 面的距離，可用等體積法【2015 高新課標 1文 小滿分 分如圖四邊形 ABCD 為形，G 為 AC 與 BD 交， ，證明：平面若 ，平面 ；三棱錐的體積為 求三棱錐的側(cè)【答案）見解析（II【解析】試題分析）四邊形 ABCD 為菱形知 AC BD，由 BE平面 ABCD 知 BE由線19面垂直判定定理知 AC平面 BED面直的判定定理知平面平面 設(shè) AB= ，通過解直角三角形將 AG、GC、GB、GD 用 表示出來，在 中用 表示 EG在即可求出三棱錐 中，用 x 示 ，根據(jù)條件三棱錐的側(cè)面的體積為求出 x，試題解析）為四邊形 為形，所以 AC，因為 平面 ，所以 BE故 A

24、C平面 .又 平 ，所以平面 AEC（II） AB ，在菱形 中由平面 ABC=120可得 AG=GC= GB=GD= 因為 ，所以在 中，可得 = .由 平面 ABCD，知 為直角三角形，可得 BE= 由已知得，三棱錐 體積從而可得 = .故 所以 EAC 的積為 3 EAD 的積與 的積均為故三棱錐 E-ACD 的面積為考點線垂直的判定與性質(zhì)面垂直的判定三棱錐的體積與表面積的計算邏推理 能力；運算求解能力【名師點睛】對空間面面垂直問題的證明有兩種思路，思路1幾何法，先由線線垂直證明線面垂直由線面垂直證明面面垂直 用向量法過算兩個平面的法向量，證明其法向量垂直從證明面垂直對幾何體的體積和表面

25、積問題用解法有直接法 和等體積法.【 高考重慶，文 】如題20圖，三棱錐 -ABC 中，平面 平面 ABC，ABC=，點 D、E 在段 AC 上且 AD=DE=EC=2，PD=PC=4點 F 在段 AB 上且20(證明：AB平面 PFE.(若四棱錐 的體積為 7，求線段 BC 的【答案）見解析）或（）設(shè)則可用 將棱錐的體積表示出來，由已知其體積等于 ，從而得到關(guān)于 的個一元方程，解此方程，再注意到即可得到的長試題解析明(20)圖由知， 為腰中邊的中點，故，又平面平面面平面，平面 ， ，所以平面，從而因從而所以與平面平面內(nèi)兩條相交直線 ，都垂直，解：設(shè)則在直角中，從而21由 ，知 ，故 ，即由從

26、 而 四 邊 形DFBC的 面 積 為由1)知，PE在直角體積故得所以中，或平面 ，以 PE 為棱錐 的.，解得，由于 ，得【考點定位 空間線面垂直關(guān)系2. 錐的體積方思.【名師點睛本題考查空間直線直線直與平面平與平面的垂直關(guān)系的判定及簡單幾何體的體積的運算一通應用面面垂直的性質(zhì)定理將面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直而轉(zhuǎn)化為線線垂直來完成證明，第二通過設(shè)元，將已知幾何體的體積表示出來，建立方程， 通過解方程完成解答.本題屬于中檔題，注意方程思想在解題過程中的應24. 【 高 考 ， 文 】 如 ， 三 棱 錐 P- 中 ， PA（）求三棱錐 P-ABC 的積；平 面 ABC ，（）證明：在線段 PC 上

27、在點 M使得 BM，求的值【答案） （）22由可知面是三棱錐的高,所以三棱錐的體積（證在面內(nèi)過 B 作 垂為 過作交于，連接由面知由 面 ，又面，所以在直角得中，從而 由 ，【考點定位】本題主要考查錐體的體積公式、線面垂直的判定定理和其性質(zhì)定.【名師點睛將弦定理求三角形的面積巧妙地結(jié)合到求錐體的體積之中的）問需要學生構(gòu)造出線面垂直而利用性質(zhì)定理證明出面面垂直題查了考生的空間想 象能力、構(gòu)造能力和運算能力【2015 高湖北，文 20章術(shù)中，將底面為長形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑 在圖所示的陽馬中棱底面 點是的中點接（）證明：平面 試斷四面是

28、否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結(jié)論是，請說明理由；（）記陽馬的體積為 ，面體的體積為 ，的值23【答案底面以 由面為長方形，而以平面平面以 又為，點是的中點所以 而所以平面四面體是一個鱉臑（知是陽馬的高知，是鱉臑的高，所以 在中 ， 因 為 ， 點是的 中 點 ， 所 以 ， 是【考點定位題查直線與平垂直的判定定理線與平面垂直的性質(zhì)定理和簡單幾何 體的體積，屬中高檔.【名師點睛】以九章算術(shù)為背景，給予新定義，增添了試題的新穎性，但其實質(zhì)仍然是考查線面垂直與簡單幾何體的體積計算解題思路第問通過線線線面垂直相互之間的轉(zhuǎn)化進行證明，第二問關(guān)鍵注意底面積和高之比，運用錐體的體積計算公式進

29、行求 結(jié)合數(shù)學史料的給予新定義僅查學生解題能力也強對數(shù)學的興趣培養(yǎng)為空間立體 幾何注入了新的活力.26. 高考福建文 20如，是圓的直徑點是圓上異于的點，垂直于圓（）若所在的平面，且為線段的中點，求證平面 ；（）求三棱錐體積的最大值；（）若，點在線段上，求的最小值24【答案）見解析）【解析】解法一）在）中，因為，為的中點，所以又垂直于圓所在的平面，所以因為（II）為點，所以在圓上，平面所以當時，到的距離最大，且最大值為 又 ，以面積的最大值為又因為三棱錐的高 ，三棱錐體積的最大值為 又因為，所以垂直平分 ，即亦即為中點從而的最小值為 ，25解法二）解法一（III）在所以所以在三棱錐中，所以中，將側(cè)面，繞，同理旋轉(zhuǎn)至平面 ，之與平面共面，如圖所示當 ， ，共線時，取得最小值所以在中，由余弦定理得：從而 所以的最小值為 【考點定位、直線和平面垂直的判定2、三棱錐體積【名師點睛證明直線和平面垂可以利用判定定理線線垂直到線面垂直也以利用面面垂直的性質(zhì)定理，即面面垂直到線面垂直；決定棱錐體積的量有兩個，即底面積和高，當研究其體積的最值問題時若中有