154一維定態(tài)問題

1、15-7 波函數(shù) 薛定諤方程1薛定諤（1887-1961）奧地利物理學(xué)家。建立了薛定諤方程，很好的解釋了電子的行為，導(dǎo)致波動(dòng)力學(xué)出現(xiàn)（1926年1月）。除波動(dòng)力學(xué)外，當(dāng)時(shí)已建立了海森堡的矩陣力學(xué)（當(dāng)時(shí)被稱為量子力學(xué)），薛定諤證明了這兩種理論在數(shù)學(xué)上是完全等價(jià)的。薛定諤由于建立波動(dòng)力學(xué)（現(xiàn)一般稱為量子力學(xué)）而和狄拉克同獲1933年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。2波函數(shù)31、波函數(shù)（wave function）平面簡(jiǎn)諧波函數(shù)： y = Acos( t-kx)復(fù)數(shù)表示：概率波波函數(shù)：2、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋一維三維物質(zhì)波是“概率波”，它是怎樣描述粒子在空間各處出現(xiàn)的概率呢？ 量子力學(xué)假定：微觀粒子的狀態(tài)用波函數(shù)表示。

2、 玻恩對(duì) 的統(tǒng)計(jì)解釋(1926) ：波函數(shù) 是描述粒子在空間概率分布的“概率振幅”。其模方代表 t 時(shí)刻，在坐標(biāo) 附近單位體積中發(fā)現(xiàn)一個(gè)粒子的概率，稱為“概率密度”。4rdVx yz 在t 時(shí)刻，在 附近dV內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率為：在空間 發(fā)現(xiàn)粒子的概率為：它無直接的物理意義，對(duì)單個(gè)粒子：不同于經(jīng)典波的波函數(shù)，和波函數(shù)的位相。有意義的是給出粒子概率密度分布；對(duì)大量粒子：給出粒子數(shù)的分布；53、統(tǒng)計(jì)解釋對(duì)波函數(shù)提出的要求1）有限性：在空間任何有限體積元V中找到 歸一化：在空間各點(diǎn)的概率總和必須為1。 歸一化因子歸一化條件：根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，它應(yīng)有以下性質(zhì)：必須為有限值。粒子的概率若則62）單值性

3、：度在任意時(shí)刻、任意位置都是確定的。3）連續(xù)性：波函數(shù)應(yīng)單值，從而保證概率密波函數(shù)連續(xù)，保證概率密度連續(xù)。波函數(shù)作出的統(tǒng)計(jì)解釋，獲得了1954年諾貝玻恩（M.Born，英籍德國(guó)人，1882 1970）由于進(jìn)行了量子力學(xué)的基本研究，特別是對(duì)爾物理學(xué)獎(jiǎng)。7 波函數(shù)本身“測(cè)不到，看不見”，是一個(gè)很抽象的概念，但是它的模方給我們展示了粒子在空間分布的圖像，即粒子坐標(biāo)的取值情況。當(dāng)測(cè)量粒子的某一力學(xué)量的取值時(shí)，只要給定描述粒子狀態(tài)的波函數(shù)，按照量子力學(xué)給出的一套方法就可以預(yù)言一次測(cè)量可能測(cè)到哪個(gè)值，以及測(cè)到這個(gè)值的概率是多少。 對(duì)波恩的統(tǒng)計(jì)詮釋是有爭(zhēng)論的，愛因斯坦就反對(duì)統(tǒng)計(jì)詮釋。他不相信“上帝玩擲骰子游

4、戲”，認(rèn)為用波函數(shù)對(duì)物理實(shí)在的描述是不完備的，還有一個(gè)我們尚不了解的“隱參數(shù)”。雖然至今所有實(shí)驗(yàn)都證實(shí)統(tǒng)計(jì)詮釋是正確的，但是這種關(guān)于量子力學(xué)根本問題的爭(zhēng)論不但推動(dòng)了量子力學(xué)的發(fā)展，而且還為量子信息論等新興學(xué)科的誕生奠定了基礎(chǔ)。8 與自由粒子相聯(lián)系的德布羅意波，是一個(gè)單色平面波。4、自由粒子的波函數(shù)沿+x傳播的單色平面波，波函數(shù)：復(fù)數(shù)形式可寫成 微觀粒子波函數(shù)一般是坐標(biāo)和時(shí)間的復(fù)函數(shù)，因此采用復(fù)數(shù)形式的平面波表達(dá)式，只要把其中描述波動(dòng)性的參量、k換成描述粒子性的參量E、p就可以了。自由粒子：能量和動(dòng)量都不變的粒子9其中由德布羅意關(guān)系 ，得自由粒子波函數(shù)：（空間因子）105、狀態(tài)疊加原理量子力學(xué)要

5、求：也是該體系的一個(gè)可能的狀態(tài)。展開系數(shù)Cn為任意復(fù)常數(shù)。 若疊加中各狀態(tài)間的差異無窮小，積分代替求和：則應(yīng)該用，則它們的線性組合 若體系具有一系列互異的可能狀態(tài)11薛定諤方程12一、自由粒子薛定諤方程自由粒子波函數(shù)（一維）13 對(duì)波函數(shù)的運(yùn)算、變換或操作。：算符 代表用 乘波函數(shù) ：對(duì)波函數(shù)取復(fù)共軛：算符 代表對(duì)波函數(shù)關(guān)于 求導(dǎo)：算符 代表對(duì)波函數(shù)關(guān)于 求導(dǎo)例如算符(operator)14 對(duì)于非相對(duì)論性自由粒子： 算符對(duì)應(yīng)關(guān)系：作用于波函數(shù)， 算符和力學(xué)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系：一維運(yùn)動(dòng)自由粒子的薛定諤方程15 設(shè)粒子在勢(shì)場(chǎng)U(x,t)中運(yùn)動(dòng)，能量關(guān)系為二、薛定諤方程 算符對(duì)應(yīng)關(guān)系：作用于波函數(shù)，得薛

6、定諤方程。16三維：引入拉普拉斯算符：薛定諤方程：17若 和 是薛定諤方程的解，則 也是薛定諤方程的解。是線性齊次微分方程，解滿足態(tài)疊加原理。方程中含有虛數(shù) i它的解 是復(fù)函數(shù)，復(fù)數(shù)不能直接測(cè)量。而 的模方代表概率密度，可測(cè)量。是量子力學(xué)的基本方程，描述非相對(duì)論性粒 子波函數(shù)隨時(shí)間演化規(guī)律。18三、一維不含時(shí)薛定諤方程除以 ，得若勢(shì)函數(shù)U(x)不顯含時(shí)間 t，代入薛定諤方程，=E (常數(shù))（1）（2）方程（1）的解為：C 為積分常量19數(shù)學(xué)上：E 不論取何值，方程都有解。 物理上：E 只有取一些特定值，方程的解才能滿足波函數(shù)的條件（單值、有限、連續(xù)）。滿足方程的特定的E 值，稱為能量本征值。

7、E ：與 E 對(duì)應(yīng)的本征波函數(shù)。結(jié)論：定態(tài)粒子在空間的概率分布不隨時(shí)間改變。定態(tài)：能量取確定值的狀態(tài)。E ( x)：定態(tài)波函數(shù)一維定態(tài)薛定諤方程。若粒子處于E，則粒子的能量為E。2015-8 一維定態(tài)問題 15-8-1 一維無限深勢(shì)阱 求解步驟：1.寫出具體問題中勢(shì)函數(shù)U(x)的形式，代入一維定態(tài)薛定諤方程的一般形式，得本問題中的薛定諤方程。代入一維定態(tài)薛定諤方程： 勢(shì)函數(shù)為一維有限深勢(shì)阱一維無限深勢(shì)阱21得薛定諤方程：2.求解波函數(shù)粒子不能逸出勢(shì)阱令方程解：223.用歸一化條件和標(biāo)準(zhǔn)化條件確定積分常數(shù)方程解邊界條件： 邊界條件：得：A不可能為零23歸一化條件： 于是，波函數(shù)：241)由于波函

8、數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件和邊界條件的約束，E 只取能某些特定值，即無限深勢(shì)阱中粒子的能量是量子化的。激發(fā)態(tài)能級(jí)的能量： 4.討論解的物理意義基態(tài)能級(jí)的能量： 最小能量E1不為零粒子不可能靜止不動(dòng)，滿足不確定關(guān)系。25能級(jí)間隔 能量趨于連續(xù)，回到經(jīng)典情況。在 n 很大時(shí)，能量趨于連續(xù)，這就是經(jīng)典物理的圖象。 即本征值26概率密度： （2）勢(shì)阱中不同位置粒子出現(xiàn)的概率不相同。波函數(shù)為駐波形式，勢(shì)阱中不同位置粒子出現(xiàn)的概率不相同,峰值處較大。兩端為波節(jié)，粒子不能逸出勢(shì)阱。能級(jí)越高，駐波波長(zhǎng)越短，峰值增多，相同，量子經(jīng)典歸一化條件，曲線下面積相等。2715-8-2 一維勢(shì)壘 隧道效應(yīng) 隧道效應(yīng)：粒子能量小于勢(shì)壘而穿

9、透勢(shì)壘的現(xiàn)象。勢(shì)壘一、一維方勢(shì)壘問題： 勢(shì)函數(shù) 28區(qū)（xa) 區(qū)薛定諤方程為： ( )區(qū)薛定諤方程為：（E U0可以有：粒子穿過勢(shì)壘區(qū)和能量守恒并不矛盾。只要?jiǎng)輭緟^(qū)寬度 x = a 不是無限大，粒子有波動(dòng)性，遵從不確定關(guān)系，從能量守恒的角度看是不可能的。以至33經(jīng)典量子隧道效應(yīng)343. 掃描隧道顯微鏡（STM）（Scanning Tunneling Microscopy） STM是一項(xiàng)技術(shù)上的重大發(fā)明，原理：利用量子力學(xué)的隧道效應(yīng)1986. Nob：魯斯卡（E.Ruska） 1932發(fā)明電 子顯微鏡畢寧（G.Binning）羅爾（Rohrer）發(fā)明STM表面的微觀結(jié)構(gòu)（不接觸、不破壞樣品）。

10、用于觀察35掃描隧道顯微鏡探針樣品表面材料表面碳原子的排列結(jié)構(gòu)36例. 能量為30eV的電子遇到一個(gè)高為40eV的勢(shì)壘，試估算電子穿過勢(shì)壘的概率。 勢(shì)壘寬度為1.0nm； 勢(shì)壘寬度為0.1nm。解 （1）（2）估算時(shí)可以忽略G。幾乎就不能穿透勢(shì)壘！ 電子穿透勢(shì)壘的概率很大，接近于4%。 37 諧振子不僅是經(jīng)典物理的重要模型，而且也是量子物理的重要模型。如：黑體輻射、分子振動(dòng)，若選線性諧振子平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)和勢(shì)能m 粒子的質(zhì)量k 諧振子勁度系數(shù)諧振子的角頻率15-8-4 一維諧振子零點(diǎn)，則一維線性諧振子的勢(shì)能可以表示為：晶格點(diǎn)陣振動(dòng)。1.勢(shì)能382. 諧振子的定態(tài)薛定諤方程3. 諧振子的能量

11、n = 0, 1, 2, 解定態(tài)薛定諤方程得由和有39 能量特點(diǎn)：(1)量子化，等間距： 符合不確定關(guān)系(3)有選擇定則： (2)有零點(diǎn)能：所以室溫下分子可視為剛性。能級(jí)躍遷要滿足(4) 當(dāng)n 時(shí)，符合玻爾對(duì)應(yīng)原理。能量量子化能量連續(xù)（宏觀振子能量相應(yīng)n 1025 ，E 10-33J ）分子振動(dòng)E （10 2 10 1 eV） kT (室溫)，404. 諧振子的波函數(shù)Hn是厄密（Hermite）多項(xiàng)式，最高階是 415. 概率密度波函數(shù)概率密度n = 0 xn = 0 xn = 1xn = 1xn = 2xn = 2x42線性諧振子 n =11 時(shí)的概率密度分布： 經(jīng)典諧振子在原點(diǎn)速度最大，停留時(shí)間短，振子在兩端速度為零，粒子出現(xiàn)的概率?。怀霈F(xiàn)的概率最大。虛線是經(jīng)典結(jié)果43xn很大EnE1E2E00U(x)概率密度的特點(diǎn)：(1) 概率在E U 區(qū)仍有分布 隧道效應(yīng)44例如基態(tài)位置概率分布在 x = 0 處最大，(3) 當(dāng)n 時(shí)，經(jīng)典振子在x = 0處概率最小。符合玻爾對(duì)應(yīng)原理。量子概率分布xn很大0n=1n