高考預(yù)測數(shù)學(xué)文真題分類匯編：專題圓錐曲線Word版含解析

1、1.【 2022 高考新課標(biāo) 1,文 5】已知橢圓 E 的中心為坐標(biāo)原點,離心率為 1, E 的右焦點與拋 22 物線 C : y 8x 的焦點重合, A, B 是 C 的準(zhǔn)線與 E 的兩個交點,就 AB （ A） 3（ B） 6 （ C） 9 （ D） 12 【答案】 B 【解析】拋物線 C : y 28x 的焦點為 （ 2,0）,準(zhǔn)線方程x 2 ,橢圓 E 的右焦點為 （ 2,0）, 為 2 2橢圓 E 的焦點在 x 軸上,設(shè)方程為 x 2 y 2 1a b 0 , c=2, a b e c 1, a 4 , b 2a 2c 212 ,橢圓 E 方程為 x 2y 21, a 2 16 12

2、 將 x 2 代入橢圓 E 的方程解 A（ -2,3）, B（-2, -3）, |AB|=6 ,應(yīng)選 B. 得 【考點定位】拋物線性質(zhì)；橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì) 【名師點睛】此題是拋物線與橢圓結(jié)合的基礎(chǔ)題目,解此類問題的關(guān)鍵是要熟識拋物線的定 義,標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì),橢圓的定義,標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì),先由已知曲線與待確定曲線的關(guān)系結(jié) 合已知曲線方程求出待確定曲線中的量,寫出待確定曲線的方程或求出其相關(guān)性質(zhì) . 2.【 2022 高考重慶,文 9】設(shè)雙曲線 2 x -2 y =1a 0,b 0 的右焦點是 F, a2b2左,右頂點分別是 A 1 ,A 2 ,過 F 做 A 1A 2 的垂線與雙曲線交于 B, C

3、 兩點,如 A 1B A 2 C ,就雙曲線的漸近線的斜率為（ ） A 12B 22C 1 D 2 【答案】 C 【解析】由已知得右焦點 F c,0 2 其中 c a2b2,c 0 , A1 a,0, A2 a,0 , Bc, b22 , Cc, ba , a第 1 頁,共 30 頁2 2從而 A1B c a, b, A2C c a, b,又由于 A 1B A 2 C , a a 2 2所以 A1B A2 C 0 ,即 c a c a b b 0 , a a2化簡得到 b 1 b 1 ,即雙曲線的漸近線的斜率為 1 , a 2 a應(yīng)選 C. 【考點定位】雙曲線的幾何性質(zhì)與向量數(shù)量積 . 【名師

4、點睛】此題考查雙曲線的簡潔幾何性質(zhì),利用向量垂直的條件來轉(zhuǎn)化兩直線垂直的條 件而得到 a 與 b 的關(guān)系式來求.此題屬于中檔題,留意運算的精確性 . 解 2 3.【 2022 高考四川, 文 7】過雙曲線 x 2 y 1 的右焦點且x 軸垂直的直線交該雙曲線的兩 3與 條漸近線于 A, B 兩點,就 | AB| D4 3 C6 A 43B2 3 3【答案】 D【解析】由題意, a 1,b 3 ,故 c 2, 漸近線方程為 y 3 x 將 x 2 代入漸近線方程,得 y1,2 2 3 故| AB| 4 3 ,選 D 【考點定位】此題考查雙曲線的概念,雙曲線漸近線方程,直線與直線的交點,線段長 等

5、基礎(chǔ)學(xué)問,考查簡潔的運算才能 . 【名師點睛】此題跳出直線與圓錐曲線位置關(guān)系的常考點,進而考查直線與雙曲線漸近 線交點問題,考生在解題中要留意識別 .此題需要第一求出雙曲線的漸近線方程,然后聯(lián)立方 程組,接觸線段 AB 的端點坐標(biāo),即可求得 | AB| 的值 .屬于中檔題 . 4. 【 2022 高考陜西,文 3】已知拋物線 2 y 2 px p 0 的準(zhǔn)線經(jīng)過點 1,1,就拋物線焦點 坐標(biāo)為（ ） D 0,1 A 1,0 B 1,0 C 0, 1 第 2 頁,共 30 頁【答案】 B 【解析】由拋物線 2 y 2 px p 0 得準(zhǔn)線 x p,由于準(zhǔn)線經(jīng)過點 1,1,所以 p 2 , 2所以

6、拋物線焦點坐標(biāo)為 1,0 ,故答案選 B 【考點定位】拋物線方程和性質(zhì) . 【名師點睛】 1.此題考查拋物線方程和性質(zhì),接受待定系數(shù)法求出 p 的值 .此題屬于基礎(chǔ)題, 留意運算的精確性 .2. 給出拋物線方程要求我們能夠找出焦點坐標(biāo)和直線方程,往往這個 是解題的關(guān)鍵 . 5.【2022 高考新課標(biāo) 2 1,文 16】已知 F 是雙曲線 C : x 2 y 1 的右焦點, P 是 C 左支上一點, 8A 0,6 6,當(dāng) APF 周長最小時,該三角形的面積為 【答案】 12 6【考點定位】雙曲線的定義；直線與雙曲線的位置關(guān)系；最值問題 【名師點睛】解決解析幾何問題,先通過已知條件和幾何性質(zhì)確定圓

7、錐曲線的方程,再通過 方程爭辯直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,解析幾何中的運算比較復(fù)雜,解決此類問題的關(guān)鍵要 熟記圓錐曲線的定義,標(biāo)準(zhǔn)方程,幾何性質(zhì)及直線與圓錐曲線位置關(guān)系的常見思路 . 第 3 頁,共 30 頁6.【 2022 高考廣東, 文 8】已知橢圓 2 x 2 y 1（ m0）的左焦點為 F 4,0 ,就 m（ ） 25 m2A 9 B 4 D 2 C 3 【答案】 C【解析】由題意得： 2 m25 429,由于 m 0 ,所以 m 3 ,應(yīng)選 C 【考點定位】橢圓的簡潔幾何性質(zhì) 【名師點晴】此題主要考查的是橢圓的簡潔幾何性質(zhì),屬于簡潔題解題時要留意橢圓的焦 點落在哪個軸上,否就很簡潔顯現(xiàn)

8、錯誤解此題需要把握的學(xué)問點是橢圓的簡潔幾何性質(zhì), 即橢圓 x 2 2 y 2 2 1（ a b 0 ）的左焦點 F1 c,0 ,右焦點 F2 c,0 ,其中 a 2b 2c 2a b7.【 2022 高考天津,文 5】已知雙曲線 x 2 2-y 2 2 =1a 0,b 0 的一個焦點為 F 2,0 ,且雙曲 a b2 2線的漸近線與圓 x - + y = 3 相切 ,就雙曲線的方程為（ ） A x 2 -y 2 = 1 B x 2 -y 2 = 1 C x 2 - y =1 2D 9 13 13 9 322 y x - =1 3【答案】 D 【解析】由雙曲線的漸近線 bx ay 0 與圓 x

9、- 2 2+ y2= 3 相切得 a2b b23 , 由 2c a2b22 ,解得 a1,b 3 ,應(yīng)選 D. 【考點定位】圓與雙曲線的性質(zhì)及運算才能 . 【名師點睛】此題是圓與雙曲線的交匯題 ,雖有確定的綜合性 ,但方法簡潔想到 ,仍屬于基礎(chǔ)題 . 不過要留意解析幾何問題中最簡潔顯現(xiàn)運算錯誤 ,所以解題時確定要留意運算的精確性與技巧 性 ,基礎(chǔ)題失分過多是相當(dāng)一部分同學(xué)數(shù)學(xué)考不好的主要緣由 . 8.【 2022 高考湖南,文 6】如雙曲線 x 2 2 y 2 2 1 的一條漸近線經(jīng)過點 3, -4）,就此雙曲線 a b（ 的離心率為 第 4 頁,共 30 頁A, 7B, 54C, 43D,

10、533【答案】 D【解析】由于雙曲線 2 x 2 y 1 的一條漸近線經(jīng)過點3, -4）, a2b23b2 4a, （9 c （ 2 2a ） 16a , e c 5= 應(yīng)選 D. a 3 【考點定位】雙曲線的簡潔性質(zhì) 【名師點睛】漸近線是雙曲線特別的性質(zhì),在解決有關(guān)雙曲線問題時,需結(jié)合漸近線從數(shù)形 2 2結(jié)合上找突破口 . 與漸近線有關(guān)的結(jié)論或方法仍有： 1 與雙曲線 x 2 y 2 1 共漸近線的可設(shè)為 a bx 22 y 2 2 0 ； 2 如漸近線方程為 y bx ,就可設(shè)為 x 22 y 22 0 ； 3 雙曲線 a b a a b2 2的焦點到漸近線的距離等于虛半軸長 b ； 4

11、x 2 y 2 1a 0 的一條漸近線的斜率為 a b2 2b c a 22 e 1 . 可以看出,雙曲線的漸近線和離心率的實質(zhì)都表示雙曲線張口的大 a a小另外解決不等式恒成立問題關(guān)鍵是等價轉(zhuǎn)化,其實質(zhì)是確定極端或極限位置 . 9.【 2022 高考安徽,文 6】以下雙曲線中,漸近線方程為 y 2 x 的是（ ） 2 2（ A） x 2 y 1（ B） x y 214 42 2（ C） x 2 y 2 1（ D） x 2 y 2 1【答案】 A 【解析】由雙曲線的漸進線的公式可行選項 A 的漸進線方程為 y 2 x ,應(yīng)選 A. 【考點定位】此題主要考查雙曲線的漸近線公式 . 【名師點睛】

12、在求雙曲線的漸近線方程時, 考生確定要留意觀看雙曲線的交點是在 x 軸,仍是 在 y 軸,選用各自對應(yīng)的公式,切不行混淆 . 10.【 2022 高考湖北,文 9】將離心率為 e1 的雙曲線 C1 的實半軸長 a 和虛半軸長 b a b 同時 增加 m m 0 個單位長度,得到離心率為 e2 的雙曲線 C2 ,就（ ） A對任意的 a, b , e1 e2 B當(dāng) a b 時, e1 e2 ；當(dāng) a b 時, e1 e2 C對任意的 a, b , e1 e2 D當(dāng) a b 時, e1 e2 ；當(dāng) a b 時, e1 e2 第 5 頁,共 30 頁【答案】 D . 【解析】 不妨設(shè)雙曲線 C的焦點

13、在 x 軸上, 即其方程為： 2 x 2 y 1,就雙曲線 C的方程為： a2 b 2 a x 2 2m b y2 1 ,所以 e12 a 2 b 1b2, 2 m aa2b2,所以 e2 a 2 m b 2 m 1b 2 m ,當(dāng) ab 時, ama 2 m bmbb ma b a m a bm 0 ,所以 bmb,所以 bm2amaa m a a ma amaamab a,所以 e2 e1；當(dāng) ab 時, bmbb ma ba m a b m 0 ,所以 bmamaa ma a ma ambm2b2,所以 e2 e1 ；故應(yīng)選 D . ama【考點定位】此題考查雙曲線的定義及其簡潔的幾何性

14、質(zhì),考察雙曲線的離心率的基本運算, 涉及不等式及不等關(guān)系 . 【名師點睛】將雙曲線的離心率的運算與中學(xué)學(xué)習(xí)的溶液濃度問題聯(lián)系在一起,突顯了數(shù)學(xué) 在實際問題中有用性和重要性,充分表達(dá)了分類爭辯的數(shù)學(xué)思想方法在解題中的應(yīng)用,能較 好的考查同學(xué)思維的嚴(yán)密性和縝密性 . 2 211.【 2022 高考福建,文 11】已知橢圓 E : x 2 y 2 1a b 0 的右焦點為 F 短軸的一個 a b端點為 M ,直線 l : 3x 4 y 0 交橢圓 E 于 A, B 兩點如 AF BF 4 ,點 M 到直線 l 的 距離不小于 4,就橢圓 E 的離心率的取值范疇是（ ） 5A 0, 3 B 0, 3C

15、 3,1 D ,1 32 4 2 4【答案】 A 【解析】 設(shè)左焦點為 F ,連接 AF1 , BF1 就四邊形 BF1 AF 是平行四邊形, 故 AF1 BF , 所以 0AF AF1 4 2a ,所以 a 2 ,設(shè) M 0, b ,就 4b 42,故 b 1,從而 a 2 c 1 , 55c2 3 , 第 6 頁,共 30 頁0 c 3 ,所以橢圓 E 的離心率的取值范疇是 0, 3 ,應(yīng)選 A 2【考點定位】 1,橢圓的定義和簡潔幾何性質(zhì)； 2,點到直線距離公式 【名師點睛】 此題考查橢圓的簡潔幾何性質(zhì), 將 AF BF 4 轉(zhuǎn)化為 AF AF1 4 2a , 進而確定 a 的值,是此題

16、關(guān)鍵所在, 表達(dá)了橢圓的對稱性和橢圓概念的重要性, 屬于難題求 離心率取值范疇就是利用代數(shù)方法或平面幾何學(xué)問查找橢圓中基本量 a,b, c 中意的不等量 關(guān)系,以確定 c 的取值范疇 a12【2022高考浙江, 文 15】橢圓 x 2 2 y 2 2 1（ a b 0 ）的右焦點 F c,0 關(guān)于直線 y bx a b c 的對稱點 Q 在橢圓上,就橢圓的離心率是 【答案】 22n b【解析】設(shè) F c,0 關(guān)于直線 y bx 的對稱點為 Q m,n ,就有 m c c 1,解得 c n b m 22 c 23 2 2 3 2 2m c a 2 2b , n bc a 2 2bc , 所 以

17、Qca 2 2b , bc a 2 2bc 在 橢 圓 上 , 即 有 c 3 2b4 2 2 bc 2 2 2bc2 21 ,解得 a 22c ,所以離心率 e 2 c 2 . a a b a 2【考點定位】 1.點關(guān)于直線對稱； 2.橢圓的離心率 . 【名師點睛】此題主要考查橢圓的離心率 .利用點關(guān)于直線對稱的關(guān)系,運算得到右焦點的對 稱點,通過該點在橢圓上,代入方程,轉(zhuǎn)化得到關(guān)于 a, c 的方程,由此運算離心率 .此題屬于 中等題；主要考查同學(xué)基本的運算才能 . 213. 【 2022 高考北京,文 12】已知 2,0 是雙曲線 x 2 y 2 1（ b0）的一個焦點,就 bb 【答案

18、】 3第 7 頁,共 30 頁【解析】由題意知 c 2 2, a 1 , b 2 c a23 ,所以 b3 . 【考點定位】雙曲線的焦點 . 【名師點晴】此題主要考查的是雙曲線的簡潔幾何性質(zhì),屬于簡潔題解題時要留意雙曲線 的焦點落在哪個軸上,否就很簡潔顯現(xiàn)錯誤解此題需要把握的學(xué)問點是雙曲線的簡潔幾何 2 2性質(zhì),即雙曲線 x 2 y 2 1（ a 0 , b 0 ）的左焦點 F1 c,0 ,右焦點 F2 c,0 ,其中 a bc 2 b 2 a 2 2【 2022 高考上海,文 7】拋物線 y 2px p 0 上的動點 Q 到焦點的距離的最小值為 1,就 p . 【答案】 2 【解析】依題意,

19、點 Q 為坐標(biāo)原點,所以 p1 ,即 p2 . 2【考點定位】拋物線的性質(zhì),最值 . 【名師點睛】由于拋物線上的點到焦點的距離與到準(zhǔn)線的距離相等,所以拋物線的頂點到焦 點的距離最小 . 2【 2022 高考上海, 文 12】已知雙曲線 C1 ,C2 的頂點重合, C1 的方程為 x y 21,如 C2 的 4一條漸近線的斜率是 C1 的一條漸近線的斜率的 2 倍,就 C2 的方程為 . 2 2【答案】 x y 14 42【解析】由于 C1 的方程為 x y 21,所以 C1 的一條漸近線的斜率 k1 1,所以 C2 的一條 4 2漸近線的斜率 k2 1 ,由于雙曲線 C1 , C2 的頂點重合

20、,即焦點都在 x 軸上, 2 2設(shè) C2 的方程為 x 2 y 2 1 a 0, b 0 , a b所以 ab 2 ,所以 C2 的方程為 x 2 y 2 1 . 4 4【考點定位】雙曲線的性質(zhì),直線的斜率 . 【名師點睛】在雙曲線的幾何性質(zhì)中,應(yīng)充分利用雙曲線的漸近線方程,簡化解題過程同 第 8 頁,共 30 頁時要嫻熟把握以下三方面內(nèi)容： 1 已知雙曲線方程,求它的漸近線； 2 求已知漸近線的雙 曲線的方程； 3 漸近線的斜率與離心率的關(guān)系,如 kb c a 2 a2 a c a 22 1 e 2 1. 14.【2022 高考山東,文 15】過雙曲線 C： x 2 2 y 2 2 1（ a

21、 0, b 0）的右焦點作一條與其漸近 a a線平行的直線,交 C 于點 P .如點 P 的橫坐標(biāo)為 2a ,就 C 的離心率為 . 【答案】 2 32 2【解析】雙曲線 x 2 y 2 1 的右焦點 c,0 .不妨設(shè)所作直線與雙曲線的漸近線 y b x 平 a a 為 a2 2 2 2行,其方程為 y b x c ,代入 x 2 y 2 1 求得 P 的橫坐標(biāo)為 x a c ,由 a a a 點 2c a 2c 22a ,得 c 2 4 c 1 0 ,解之得 c 2 3 , c 2 3 （舍去,由于離心率 2c a a a ac 1）,故雙曲線的離心率為 2 3 . a【考點定位】 1.雙曲

22、線的幾何性質(zhì)； 2.直線方程 . 【名師點睛】此題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)及直線方程,解答此題的關(guān)鍵,第一是將問題進 一步具體化,即確定所作直線與哪一條漸近線平行,事實上,由雙曲線的對稱性可知,兩種 情形下結(jié)果相同；其次就是能對所得數(shù)學(xué)式子精確地變形,利用函數(shù)方程思想,求得離心率 . 此題屬于小綜合題,也是一道才能題,在較全面考查直線,雙曲線等基礎(chǔ)學(xué)問的同時,考查 考生的運算才能及函數(shù)方程思想 . 15.【2022 高考安徽,文 20】設(shè)橢圓 E 的方程為 x 2 2 y 2 2 1a b 0, 點 O 為坐標(biāo)原點,點 a bA 的坐標(biāo)為 a,0 ,點 B 的坐標(biāo)為 （ 0,b）,點 M 在線段

23、 AB 上, 中意 BM 2 MA , 直線 OM 的 斜率為 5. 10 （）求 E 的離心率 e; （）設(shè)點 C 的坐標(biāo)為（ 0, -b）,N 為線段 AC 的中點,證MN AB. 明： 【答案】（） 25（）詳見解析 . 5第 9 頁,共 30 頁【解析】 （）解：由題設(shè)條件知,點 2 1 M a, b ,又 k OM 3 3 5從而 b2 a 5. a 5b , 6 6 . 10 10 進而 a5b, c a2 b 2 2b,故 ec 25. a5（）證：由 N 是 AC 的中點知,點 N的坐標(biāo)為 a, b,可得 NM 22又 AB a, b ,從而有 AB NM 1 2 a 65 2

24、b 612 5b a2. 6由（）得運算結(jié)果可知 a2 5b2 , 所以 AB NM 0 ,故 MN AB . 【考點定位】此題主要考查橢圓的離心率,直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問 【名師點睛】此題主要將橢圓的性質(zhì)與求橢圓的離心率相結(jié)合,同時考查了中點坐標(biāo)公式, 以及解析幾何中直線與直線垂直的常用方法,此題考查了考生的基本運算才能和綜合分析能 力 . 16【 2022高考北京,文 20】（本小題滿分 14 分）已知橢圓 C: x22 3y 3 ,過點 D 1,0 且 不過點 2,1 的直線與橢圓 C 交于 , 兩點,直線 與直線 x 3 交于點 （ I ）求橢圓 C 的離心率； （ II ）如

25、 垂直于 x 軸,求直線 的斜率； （ III ）試判定直線 與直線 D 的位置關(guān)系,并說明理由 【答案】（ I ） 6；（ II ）1；（ III ）直線 與直線 D 平行 . 3【解析】 試題分析：此題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì),直線的斜率,兩直線的位置關(guān)系等 基礎(chǔ)學(xué)問,考查同學(xué)的分析問題解決問題的才能,轉(zhuǎn)化才能,運算才能 . （ I ）先將橢圓方程 化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得到 a , b , c 的值,再利用 e c 運算離心率；（ II）由直線 的特別位置, a設(shè)出 , 點坐標(biāo),設(shè)出直線 的方程,由于直線 與 x 3 相交于 點,所以得到 點坐標(biāo),利用點 ,點 的坐標(biāo),求直線 的斜率；

26、（ III）分直線 的斜率存在和不存在 兩種情形進行爭辯,第一種情形, 直接分析即可得出結(jié)論,其次種情形,先設(shè)出直線 和直 第 10 頁,共 30 頁線 的方程, 將橢圓方程與直線 的方程聯(lián)立, 消參, 得到 x1 x2 和 x1 x2 ,代入到 kBM 1中,只需運算出等于 0 即可證明 kBM kDE ,即兩直線平行 . 試題解析：（）橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 2 x 2 y 1. A1,y1 , B1, y1 . 3所以 a 3 , b 1, c 2 . 所以橢圓 C 的離心率 ec 6. a3（）由于 過點 D 1,0 且垂直于 x 軸,所以可設(shè) 直線 的方程為 y 1 1 y1 x 2

27、 . 令 x 3,得 M 3,2 y1 . 所以直線 的斜率 k BM 2 y1 y1 1 . x 2 . 31（）直線 與直線 D平行 . 證明如下： 當(dāng)直線 的斜率不存在時,由（）可知 kBM 1 . 又由于直線 D的斜率 k DE 101 ,所以 BM / / DE . 21當(dāng)直線 的斜率存在時,設(shè)其方程為 y k x 1k 1. 設(shè) A x1, y1 , Bx2 , y2 ,就直線 的方程為 y 1y1 1x1 2令 x 3,得點 M 3, y1x1 x1 3 . 2由 x 2 y 3 y23,得 1 1 2 2 3k x 2 6k x 2 3k 3 0 . kx 所以 x1 x2 2

28、 6k , x x 1 2 2 3k 3. 2 1 3k 12 3k 直線 的斜率 k BM y1 x1 3 y 2 2. x1 3 x2 第 11 頁,共 30 頁由于 k BM 1kx1 1 x1 3 k x1 1x1 2 3 x2 x1 2 3 x2 x1 2 k 1 x1x2 2 x1 x2 3 3 3 x2 x1 2 k 1 2 3k 32 12k 12 3k 2 1 3k 3 x2 x1 2 0 , 所以 kBM 1kDE . 所以 BM / / DE . 綜上可知,直線 與直線 D 平行 . 考點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì),直線的斜率,兩直線的位置關(guān)系 . 【名師點晴】此題主要

29、考查的是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的簡潔幾何性質(zhì),直線的斜率和兩條 直線的位置關(guān)系,屬于中檔題解題時確定要留意直線的斜率是否存在,否就很簡潔顯現(xiàn)錯 誤解此題需要把握的學(xué)問點是橢圓的離心率,直線的兩點斜率公式和兩條直線的位置關(guān)系, 即橢圓 x 2 2 y 2 2 1（ a b 0 ）的離心率 e c ,過 1 x1 , y1 , 2 x2 , y2 的直線斜率 a b ak y2 x2 x1 y1 （ x1 x2 ）,如兩條直線 l1 : y k1x b1, l2: y k2 x b2 斜率都存在,就 l1 /l 2 k1 k2 且 b1 b2 217.【 2022 高考福建, 文 19】已知點 F

30、為拋物線 E : y 2 px p 0 的焦點,點 A2, m 在拋 物線 E 上,且 AF 3 （）求拋物線 E 的方程； （）已知點 G 1,0 ,延長 AF 交拋物線 E 于點 B , 證明：以點 F 為圓心且與直線 GA相 切的圓,必與直線 GB 相切 第 12 頁,共 30 頁【答案】（） 2 y 4x ；（）詳見解析 2 y 4x 【解析】解法一： （ I）由拋物線的定義得 F 2p 2由于 F 3,即 2p3 ,解得 p2 ,所以拋物線 的方程為 2（ II）由于點 2, m 在拋物線 : 2 y 4x 上, 所以 m2 2 ,由拋物線的對稱性,不妨設(shè) 2, 2 2 由 2, 2

31、 2, F 1,0 可得直線 F 的方程為 y 2 2 x 1 由 y 22 x 1,得 2 x25 x 20 , 2 y 4x 解得 x 2 或 x 1,從而 1 , 22 2又 G 1,0 , 所以 kG 22022, kG 12022, 21313, G 的距離相等, 2所以 kG kG 0 ,從而 GF GF ,這說明點 F 到直線 G 故以 F 為圓心且與直線 G 相切的圓必與直線 G 相切 解法二：（ I）同解法一 （ II）設(shè)以點 F 為圓心且與直線 G 相切的圓的半徑為 r 由于點 2,m 在拋物線 : y 2 4x上, 所以 m 2 2 ,由拋物線的對稱性,不妨設(shè) 2, 2

32、2 由 2, 2 2, F 1,0 可得直線 F 的方程為 y 22 x 1 y 22 x 1 2由 2,得 2 x 5 x 2 0 , y 4x 解得 x 2 或 x 12,從而 1 , 2 2 又 G 1,0 ,故直線 G 的方程為 2 2 x 3y 2 2 0 , 從而 r 22 2 2 42 8 9 17 又直線 G 的方程為 22x 3 y 2 2 0 , 所以點 F 到直線 G 的距離 d 22 2 2 42r 8 9 17 這說明以點 F 為圓心且與直線 G 相切的圓必與直線 G 相切 【考點定位】 1,拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程； 2,直線和圓的位置關(guān)系 【名師點睛】利用拋物線的定義,將拋

33、物線上的點到焦點距離和到準(zhǔn)線距離進行轉(zhuǎn)化,從而 簡化問題的求解過程,在解拋物線問題的同時,確定要善于利用其定義解題直線和圓的位 置關(guān)系往往利用幾何判定簡潔,即圓心到直線的距離與圓的半徑比較；如由圖形觀看,結(jié)合 平面幾何學(xué)問,說明 GF GF 即可,這樣可以把問題轉(zhuǎn)化為判定 kG kG 0 ,高 效解題的過程就是優(yōu)化轉(zhuǎn)化的過程 18.【 2022 高考湖北,文 22】一種畫橢圓的工具如圖 1 所示 O 是滑槽 AB 的中點,短桿 ON 可繞 O 轉(zhuǎn)動,長桿 MN 通過 N 處鉸鏈與 ON 連接, MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑動,且 DN ON 1 , MN 3 當(dāng)栓子 D 在滑槽 AB

34、 內(nèi)作往復(fù)運動時,帶動 N繞 O 轉(zhuǎn)動, M 處的筆 尖畫出的橢圓記為 C以 O 為原點, AB 所在的直線為 x 軸建立如圖 2 所示的平面直角坐標(biāo)系 （）求橢圓 C 的方程； （）設(shè)動直線 l 與兩定直線 l1 : x 2 y 0 和 l2 : x 2 y 0 分別交于 P, Q 兩點如直線 l 總 與橢圓 C 有且只有一個公共點,摸索究： 求出該最小值；如不存在,說明理由 OPQ 的面積是否存在最小值？如存在, y A NO B NO 第 14x 頁,共 30 頁DD【答案】（） 2 x 2 y 1.（）當(dāng)直線 l 與橢圓 C 在四個頂點處相切時, OPQ 的面積取得 16 4最小值 8

35、. 【解析】（）由于 | OM | | MN | | NO | 3 14 ,當(dāng) M , N 在 x 軸上時,等號成立；同理 | OM | | MN | | NO | 3 1 2 ,當(dāng) D, O 重合, 即 MN x 軸時, 等號成立 . 所以橢圓 C 的中心 2 2為原點 O ,長半軸長為 4 ,短半軸長為 2 ,其方程為 x y 1. 16 4（）（1）當(dāng)直線 l 的斜率不存在時,直線 l 為 x 4 或 x 4 ,都有 S OPQ 14 4 8 . 2y kx m, （ 2）當(dāng)直線 l 的斜率存在時,設(shè)直線 l : y kx m k 1 , 2 由 x 24 y 216, 消去 y ,可

36、2 2 2得 1 4k x 8kmx 4m 16 0. 因 為 直 線 l總 與 橢 圓 C有 且 只 有 一 個 公 共 點 , 所 以 2 2 2 2 2 264k m 41 4k 4m 16 0 ,即 m 16k 4 . 又由 y kx m, 可得 P 2m , m ；同理可得 Q 2m , m .由原點 O 到直線 PQ 的距 x 2y 0, 1 2k 1 2 k 1 2k 1 2k 離為 d | m | 2 和 | PQ | 1 k 2| x P x | ,可得 Q 1 k 2S OPQ 1 | PQ | d 1 | m | x P x | 1 | m | 2m 2m 2m 2 .

37、2 2 2 1 2k 1 2k 1 4k 將代入得, S OPQ 1 4k 2m 22 8 4k 4k 2 211 . 當(dāng) k 2 14 時,S OPQ 8 4k 4k 22 11 81 4k 2 21 8； 2當(dāng) 0 k 2 14 時 , S OPQ 8 4k 1 4k 12 8 11 24 k 2 . 因 0 k 2 14, 就 0 1 4k 21, 22 2 ,所以 S OPQ 8 1 22 8 ,當(dāng)且僅當(dāng) k 0 時取等號 .所以當(dāng) k 0 時, S OPQ 的 1 4k 1 4k 最小值為 8. 第 15 頁,共 30 頁綜合（ 1）（ 2）可知,當(dāng)直線 l 與橢圓 C 在四個頂點處

38、相切時, OPQ 的面積取得 最小值 8. 【考點定位】此題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與直線與橢圓相交綜合問題,屬高檔題 . 【名師點睛】作為壓軸大題,其第一問將橢圓的方程與課堂實際教學(xué)聯(lián)系在一起,重點考查 同學(xué)信息獵取與運用才能和實際操作才能,同時為橢圓的實際教學(xué)供應(yīng)教學(xué)素材；其次問考 查直線與橢圓相交的綜合問題,借助函數(shù)思想進行求解 次懂得,靈敏運用所學(xué)學(xué)問 . . 其解題的關(guān)鍵是留意基本概念的深層 219.【 2022 高考湖南,文 20】（本小題滿分 13 分）已知拋物線 C1 : x 4 y 的焦點 F 也是橢圓 C2 : y 2 2 x 2 2 1a ba b 0 的一個焦點, C1 與

39、C2 的公共弦長為 2 6 ,過點 F 的直線 l 與 C1 相交 A, B 兩點, 于 與 C2 相交于 C, D 兩點,且 AC 與 BD 同向 . （ I）求 C2 的方程； （ II）如 AC 【答案】（ I） BD ,求直線 l 的斜率 . y 2 9x 2 81； II 6. 4【解析】 試題分析：（ I）由題通過 F 的坐標(biāo)為 0,1 ,由于 F 也是橢圓 C2 的一個焦點, 可得 a 2b 21 , 9 6依據(jù) C1 與 C2 的公共弦長為 2 6 ,C1 與 C2 都關(guān)于 y 軸對稱可得 2 2 1,然后得到對應(yīng) 4a b曲線方程即可； II 設(shè) Ax1, y1 , B x2

40、 , y2 , Cx3, y3 , Dx4 , y4 , 依據(jù) AC BD ,可得 2 2x3 x4 4 x3 x4 x1 x2 4 x1 x2 ,設(shè)直線 l 的斜率為 k ,就 l 的方程為 y kx 1 ,聯(lián)立 直線與拋物線方程,直線與橢圓方程,利用韋達(dá)定理進行運算即可得到結(jié)果 . 試題解析：（ I）由 C1 : x 24 y 知其焦點 F 的坐標(biāo)為 0,1 ,由于 F 也是橢圓 C2 的一個焦點, 所以 a 2 b 2 1 ； 又 C 與 C 的公共弦長為 2 6 , C 與 C 都關(guān)于 y 軸對稱,且 C 的 方程為 C1 : x 24 y ,由此易知 C1 與 C2 的公共點的坐標(biāo)為

41、 6, , 3 92 62 1 , 2 4a b第 16 頁,共 30 頁聯(lián)立得 a22 9,b 8 ,故 C 的方程為 2 y 2 x 1； 98（ II）如圖,設(shè) A x1 , y1, B x2 , y2 , C x3 , y3 , D x4 , y4 , 因 AC 與 BD 同向,且 AC BD , 所以 AC BD ,從而 x3 x1 x4 x2 ,即 x3 x4 x1 x2 ,于是 1 4 x3 2 x4 4 x3 x4 x1 2 x2 4 x1x2 設(shè)直線 的斜率為 lk ,就 l的方程為 y kx 1 , 由 y kx 1得 x2 4kx 40 ,由 x , x 2 是這個方程的

42、兩根, x x 4k, x x 1 2 2 x 4 y y kx 1由 2 x 2 y 1得 9 8k x 2 216kx 64 0 ,而 x3 , x4 是這個方程的兩根, 89x 3x 4916k , x x 3 4 964 , 2 8k 2 8k 將,代入,得 16k 21 2 316 k 2464 ；即 16k 2 1 2 16 2 9k 29 8k 2 98k 29 8k2 2 2 所以 9 8k 16 9 ,解得 k 6,即直線 l 的斜率為 644【考點定位】直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；橢圓的性質(zhì) 【名師點睛】 求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一般為待定系數(shù)法： 依據(jù)條件確定關(guān)于 a,b,c

43、的方程組, 解出 a 2,b2,從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題,其常規(guī)思路 是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元,化簡,然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程,解決相 第 17 頁,共 30 頁關(guān)問題涉及弦長問題利用弦長公式解決,往往會更簡潔 20.【 2022 高考山東, 文 21】平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,已知橢圓 C ： x 2 2+ 2 y =1 b 0 b2的離心率為 3,且點（ 3 , 12）在橢圓 C上 . 2（）求橢圓 C 的方程； 2（）設(shè)橢圓 E ： x 2 4a + 2 y =1 , P 為橢圓 C 上任意一點,過點 P 的直線 y = kx + m交

44、 2 4b 橢圓 E 于 A, B 兩點,射線 PO 交橢圓 E 于點 Q . （ i ）求 |OQ| 的值； |OP| 2；（ ii） 6 3. ii 求 ABQ 面積的最大值 . 【答案】（ I） 2 x 2 y 1；（ II）（ i） |OQ | | OP| 4【解析】 2 2（ I）由題意知 32 12 1, 又 a b 3,解得 a 24,b 21, a 4b a 22所以橢圓 C 的方程為 x y 21. 42 2（ II）由（ I）知橢圓 E 的方程為 x y 1. 16 4（ i）設(shè) Px0 , y0 , | OQ | | OP | , 由題意知 Q x0 , y0 . 2 2

45、 2 2 2由于 x0 y0 21. 又 x0 y0 1,即 x0 y0 1. 24 16 4 4 4所以 2 ,即 | OQ | 2. | OP | （ ii）設(shè) Ax1, y1 , Bx2 , y2 , 將 y kx m 代入橢圓 E 的方程,可得 第 18 頁,共 30 頁2 2 2 2 21 4k x 8kmx 4m 16 0 ,由 0, 可得 m 4 16k 就有 x x 21 8km 4k 2 , x x 4m1 24k 16 2 . 所以 | x x | 2 4 16k 1 24k 42 m 2. 由于直線 y kx m 與 y 軸交點的坐標(biāo)為 0, m ,所以 OAB 的面積

46、2 2 2 2 2 S 1 | m| x1 x2 | 2 | m| 16k 2 4m 2 16k 4 m m 22 1 4k 1 4k 2 4 1 4k 1 m 2 2 m4k 2 2 . 2設(shè) m2 t. 將直線 y kx m 代入橢圓 C 的方程, 可得 1 4k 2 x 28kmx 4m 24 0 , 1 4k 由 0, 可得 m 2 1 4k 2 由可知 0 t 1,S 24 tt 2 t 2 4t. 故 S 2 3 . 2 2當(dāng)且僅當(dāng) t 1,即 m 1 4k 時取得最大值 2 3. 由（ i）知, ABQ 的面積為 3S,所以 ABQ 面積的最大值為 6 3. 【考點定位】 1.橢

47、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)； 2.直線與橢圓的位置關(guān)系； 3.距離與三角形面 積； 4.轉(zhuǎn)化與化歸思想 . 【名師點睛】此題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,距離與三 角形面積, 二次函數(shù)的性質(zhì)等, 解答此題的主要困難是 （ II ）中兩小題, 第一是通過爭辯 P,Q 的坐標(biāo)關(guān)系,使（ i）得解,同時為解答（ ii）供應(yīng)簡化基礎(chǔ),即熟識到 ABQ 與 OAB 的面 積關(guān)系, 從而將問題轉(zhuǎn)化成爭辯 OAB 面積的最大值 . 通過聯(lián)立直線方程, 橢圓方程, 并應(yīng)用 韋達(dá)定理確定“弦長” ,進一步確定三角形面積表達(dá)式,對考生復(fù)雜式子的變形才能及規(guī)律思 維才能要求較高 . 此題是一

48、道才能題, 屬于難題 . 在考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì), 直線與橢圓的位置關(guān)系, 距離與三角形面積,二次函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)學(xué)問的同時,考查考生的運算才能及轉(zhuǎn)化與化歸 思想 . 此題梯度設(shè)計較好,層層把關(guān),有較強的區(qū)分度,有利于優(yōu)生的選拔 . 2 221. 【 2022 高考陜西,文 20】如圖,橢圓 E : x 2 y 2 1a b 0 經(jīng)過點 A0, 1 ,且離心 a b第 19 頁,共 30 頁率為 2. 2I求橢圓 E 的方程； II經(jīng)過點 1,1 ,且斜率為 k 的直線與橢圓 E 交于不同兩點 P, Q （均異于點 A ）,證明： 直線 AP 與 AQ 的斜率之和為 2. 2【答案】

49、 I x y 21 ； II證明略,詳見解析 . 2II 由題設(shè)知,直線 PQ 的方程為 y k x 1 1k 2 x 2 ,代入 22 y 1 ,得 1 2k 2 x 2 4kk 1x 2k k 2 0 , 由已知 0 ,設(shè) P x1 y1 ,Q x2 y2 , x1x2 0第 20 頁,共 30 頁就 x 1x 24k k 1 2 k 2 1 , x 1 x 2 2 kk 2 , k 2 1 2k 從而直線 AP 與 AQ 的斜率之和 k AP k AQ y1 1y2 1kx1 2k kx2 2 x1 x1 x1 x2 2k 2 k 112k 2 k x1 x2 x1 x2 x1x2 2k

50、 2 k 4k k 1 2k 2k 1 2 . 2kk 2 【考點定位】 1. 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； 2. 圓錐曲線的定值問題 . 【名師點睛】定值問題的處理常見的方法： （1）通過考查極端位置,探究出“定值”是多少, 然后再進行一般性的證明或運算,即將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角形形式, 證明該式是恒定的,假如以客觀題形式顯現(xiàn),特別方法往往比較快速奏效； （ 2 ）進行一 般運算推理求出其結(jié)果 . 2 x 22.【 2022 高考四川,文 20】如圖,橢圓 E： 2 a2 y 1ab0的離心率是 2,點 P0,1 b22在短軸 CD 上,且 PC PD 1 求橢圓 E 的方程； 設(shè) O

51、為坐標(biāo)原點,過點 P 的動直線與橢圓交于 A, B 兩點 .是否存在常數(shù) ,使得 OA OB PA PB 為定值？如存在,求 的值；如不存在,請說明理. 由 y B D A P x O C【解析】 由已知,點 C, D 的坐標(biāo)分別為 0, b,0, b 又點 P 的坐標(biāo)為 0, 1,且 PC PD 1 第 21 頁,共 30 頁1b21,解得 a 2,b 2 于是 c 2a2a2 b 2 c 2 2 x 2 y 1 . 所以橢圓 E 方程為 42 當(dāng)直線 AB 斜率存在時,設(shè)直線 AB 的方程為 y kx1 A, B 的坐標(biāo)分別為 x1, y1, x2,y2 聯(lián)立 x4 2 y2 21,得 2

52、k 2 1x 24 kx 2 0 y kx 1其判別式 4k 2 82k 2 1 0 4k 2所以 x1 x2 2 , x1x2 22k 1 2k 1從而 OA OB PA PB x1x2 y1y2 x1x2 y1 1y2 1 11 k 2x 1 2 x kx x 2 1 2 2 4k 2 1 22k 1 2k 2 11 2所以,當(dāng) 1時, 2 12 3 2k 1此時, OA OB PA PB 3 為定值 當(dāng)直線 AB 斜率不存在時,直線 AB 即為直線 CD 此時 OA OB PA PB OC OD PC PD 2 1 3 故存在常數(shù) 1,使得 OA OB PA PB 為定值 3. 【考點定

53、位】此題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線方程,平面對量等基礎(chǔ)學(xué)問,考查推理論 證才能,運算求解才能,考查數(shù)形結(jié)合,化歸與轉(zhuǎn)化,特別與一般,分類與整合等數(shù)學(xué)思想 . 第 22 頁,共 30 頁【名師點睛】此題屬于解析幾何的基此題型,第 問依據(jù)“離心率是 2,且 PC PD 21”建立方程組可以求出橢圓方程；第 問設(shè)出直線方程后,代入橢圓方程,利用目標(biāo)方程 法,結(jié)合韋達(dá)定理,得到兩交點橫坐標(biāo)的和與積,再代入 OA OB PA PB 中化簡整理 .要 得到定值,只需判定有無合適的 較高 .屬于較難題 . ,使得結(jié)論與 k 無關(guān)即可,對考生代數(shù)式恒等變形才能要求 23.【 2022 高考天津,文 19】（

54、本小題滿分 14 分） 已知橢圓 2 x 2 + y 2 b=1a b 0 的上頂點 a2為 B,左焦點為 F ,離心率為 5, 5（ I）求直線 BF 的斜率 ; （ II）設(shè)直線 BF 與橢圓交于點 P（ P 異于點 B）,過點 B 且垂直于 BP 的直線與橢圓交于點 Q（ Q 異于點 B）直線 PQ 與 y 軸交于點 M ,|PM |=l |MQ | . （ i）求 l 的值 ; 75（ ii）如 |PM |sinDBQP= ,求橢圓的方程 . 92 2【答案】（ I） 2;（ II）（i） 7;（ ii） x y 1. 8 5 4【解析】 （ I）先由 c 5 及 a 2b 2c ,

55、得 a 25c, b 2c ,直線 BF 的斜率 k b0 b2 ; a 5 0 c c （ II ） 先 把 直 線 BF,BQ 的 方 程 與 橢 圓 方 程 聯(lián) 立 , 求 出 點 P,Q 橫 坐 標(biāo) , 可 得 PM xM xP xP 7. （ ii ） 先 由 |PM |sinDBQP= 75 得 MQ xQ xM xQ 8 92 2BP =|PQ|sinDBQP = 15 |PM |sin. BQP 5 5 ,由此求出 c=1,故橢圓方程為 x y 1. 7 3 5 4試題解析 :（ I）設(shè) F c,0 ,由已知 c 5及 a 2b 2c , 可得 a 25c,b 2c ,又由于

56、a 5第 23 頁,共 30 頁B 0, b , F c,0 ,故直線 BF 的斜率 k b0 b 2 . 0 c c 2 2（ II）設(shè)點 P xP yP , , Q xQ yQ , M xM yM , , i）由（ I）可得橢圓方程為 5c x 24c y 2 1, 直 線 BF 的方程為 y 2 x 2c ,兩方程聯(lián)立消去 y 得 3x 25cx 0, 解得 xP 5c . 由于 3BQ BP ,所以直線 BQ 方程為 y 1x 2c ,與橢圓方程聯(lián)立消去 y 得 21x 240cx 0 , 2解得 x Q 40c 21 .又由于 PM MQ ,及 x M 0 得 xM xQ xM xP

57、 xP xQ 7 . 8（ ii ） 由 （ i ） 得 PM 7, 所 以 PM 7 7, 即 PQ 15 PM , 又 因 為 MQ 8 PM MQ 78 15 7|PM |sinDBQP = 75,所以 BP =|PQ|sinDBQP = 15 |PM |sin. BQP 55. 9 7 32 2又 因 為 y P 2 x P 2c 4c , 所 以 BP 0 5c 2c 4c 5 5 c , 因 此 3 3 3 32 255c 5 5 , c 1, 所以橢圓方程為 x y 1. 3 3 5 4【考點定位】此題主要考查直線與橢圓等基礎(chǔ)學(xué)問 想解決問題的才能 . .考查運算求解才能及用方程

58、思想和化歸思 【名師點睛】高考解析幾何解答題大多考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 ,直線與圓錐曲線的位 置關(guān)系是一個很寬泛的考試內(nèi)容 ,主要由求值,求方程,求定值,最值,求參數(shù)取值范疇等幾 部分組成 ,其中考查較多的圓錐曲線是橢圓 ,解決這類問題要重視方程思想,函數(shù)思想及化歸思 想的應(yīng)用 . 24. 【 2022 高考浙江,文 19】（此題滿分 15 分）如圖,已知拋物線 C1： y 12 x ,圓 42 C2：x 2 y 1 1,過點 Pt,0t0 作不過 原點 O 的直線 PA, PB 分別與拋物線 C1 和圓 C2 相切, A,B 為切點 . （ 1）求點 A, B 的坐標(biāo)； （ 2）求 P

59、AB 的面積 . 注：直線與拋物線有且只有一個公共點,且與拋物線的對稱軸不平行,就該直線與拋物線 相切,稱該公 第 24 頁,共 30 頁共點為切點 . 【答案】 1 2 A2t, t , B 12t , 12 32t ；2 t t 2 2t 2 【解析】 1設(shè)定直線 的方程,通過聯(lián)立方程,判別式為零,得到點 的坐標(biāo)；依據(jù)圓的性質(zhì),利 用點關(guān)于直線對稱,得到點 的坐標(biāo)； 2利用兩點求距離及點到直線的距離公式,得到三角 形的底邊長與底邊上的高,由此運算三角形的面積 . 試題解析： 1由題意可知,直線 的斜率存在,故可設(shè)直線 的方程為 y k x t . y kx t 所以 1 消去 y ,整理得

60、： x 24kx 4kt 0 . y 2 4x由于直線 與拋物線相切,所以 16k 216kt 0 ,解得 k t . 所以 x 2t ,即點 A2t,t 2 . 設(shè)圓 C2 的圓心為 D 0,1,點 B 的坐標(biāo)為 x0 , y0 ,由題意知,點 , 關(guān)于直線 D 對稱, 故有 y0 2 2t x0 1, x0t y0 02 2解得 x0 2t 2 , y0 2t 2 .即點 B 2t 2 , 2t 2 . 1 t 1 t 1 t 1 t 22由1知, AP t 1 t , 2直線 的方程為 tx y t 0 , 第 25 頁,共 30 頁所以點 到直線 的距離為 d t 2 . 1 t 2