課件概率2第一節(jié)

1、第一節(jié) 大數(shù)定律 在前面我們已經(jīng)提到過事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù)。這就充分說明事件的概率是客觀存在的。頻率的穩(wěn)定性，便是這一客觀存在的反映。人們還認(rèn)識(shí)到大量測量值的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性。這種穩(wěn)定性就是本節(jié)所要討論的大數(shù)定律的客觀背景。在實(shí)踐中， 在概率論中，用來闡明大量平均結(jié)果穩(wěn)定性的一系列定理統(tǒng)稱為大數(shù)定律。由大數(shù)律，大量隨機(jī)因素的總和，必然導(dǎo)致某種不依賴于個(gè)別隨機(jī)事件的結(jié)果。為證明一系列大數(shù)定律的定理，下面給出一個(gè)重要且有用的不等式。一、契比曉夫不等式 我們已經(jīng)知道，方差是用來描述一個(gè)隨機(jī)變量取值的分散程度的。 它具體的估算了隨機(jī)變量

2、 X 取值時(shí)，以 X 的數(shù)學(xué)期望為中心的分散程度。（1） 這個(gè)不等式對于任何具有方差的隨機(jī)變量 X 都成立。通常稱這個(gè)不等式為契比曉夫不等式。 設(shè)隨機(jī)變量 X 有數(shù)學(xué)期望 和 方差 ，則對于任意給定的正數(shù) 總成立不等式 當(dāng) 時(shí)， 在實(shí)際應(yīng)用及理論上都很有用。為簡便起見，下面就連續(xù)型隨機(jī)變量 X 討論其正確性。設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為表示隨機(jī)變量 X 落在區(qū)間之外。因此，不等式（1）成立。故有故，契比曉夫不等式又可表示成下面形式 不等式（2）給出了在隨機(jī)變量 X 的分布未知的情況下，估計(jì)隨機(jī)事件的概率的一種方法。若在不等式（2）中取 由于 與 是對立事件，所以則分別有 由契比曉夫不等式（2）

3、可以看出，若方差 越小，則概率 越大，表明隨機(jī)變量 X 取值越集中；反之，方差 越大概率 越小，表明隨機(jī)變量 X 取值較分散。由此，我們可以更進(jìn)一步理解方差的概率含義。二、大數(shù)定律 定理1 （契比曉夫定理的特殊情況）設(shè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立，且具有相同的有限數(shù)學(xué)期望和方差： 。作前 n 個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均，記為則對于任意正數(shù) 恒有即（3）證明所以 因?yàn)樵谏鲜街辛?并注意到概率不能大于1，由契比曉夫不等式（2）可得即得 （3）式中， 是一個(gè)隨機(jī)事件，等式表明，當(dāng) 時(shí)，這個(gè)事件的概率趨于 1，即對于任意正數(shù) 當(dāng) n 充分大時(shí)，不等式 幾乎都是成立的。通常我們稱序列 依概率收斂于 。 一般地，設(shè) 為一

4、個(gè)隨機(jī)變量序列， a 是一個(gè)常數(shù)，若對于任意正數(shù) 都有則稱隨機(jī)變量序列 依概率收斂于 a 。 定理 1 表明，當(dāng) n 很大時(shí)，隨機(jī)變量 的算術(shù)平均 接近于數(shù)學(xué)期望 這種接近是概率意義下的接近。 通俗的說，在定理 1 的條件下，n 個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均，當(dāng) n 無限增加時(shí)將幾乎變成一個(gè)常數(shù)了。 例如，在一個(gè)閉合容器內(nèi)有很多氣體分子，它們在不斷地運(yùn)動(dòng)，每個(gè)氣體分子的運(yùn)動(dòng)是隨機(jī)的。對于單個(gè)氣體分子而言，我們不能確定其在指定時(shí)刻的動(dòng)能。但是，在一定的溫度下，對于容器內(nèi)物理性質(zhì)和大數(shù)定律的結(jié)論是相吻合的。下面我們給出更一般的契比曉夫定理。定理2（契比曉夫定理）設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，X n， ， 相互獨(dú)立

5、，并且具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差：（c為常數(shù)，i=1，2， ）作前 n 個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均，記為 即則對于任意正數(shù) 恒有（4） 定理 2 中要求方差 （c為常數(shù)，i=1，2， ），即 是一致有界的。因此，當(dāng) n 無限增大時(shí)， 是一個(gè)無窮小量。即當(dāng)n充分大時(shí)， 的分布的分散程度是很小的。這表明，經(jīng)過算術(shù)平均后的 的值，將比較緊密地集中在其數(shù)學(xué)期望值 附近。即說明算術(shù)平均值具有穩(wěn)定性。 定理 2 的證明請讀者參照定理1自行完成。 定理3 （貝努里定理）設(shè)在 n 次獨(dú)立試驗(yàn)中事件 A 發(fā)生的次數(shù)為 ，在每次試驗(yàn)中事件 A 發(fā)生的概率為 p，則對于任意給定的正數(shù)0 ，恒有（5）（6）或證明顯然有 由于 只依賴于第 i 次試驗(yàn)，而各次實(shí)驗(yàn)室是獨(dú)立的，于是 相互獨(dú)立，且服從相同的（01）分布，即A 在第 i 次試驗(yàn)中不發(fā)生，A 在第 i 次試驗(yàn)中發(fā)生。引入隨機(jī)變量由定理 1，得即又因?yàn)楣视?貝努里定理是契比曉夫定理的特例，它從理論上證明了頻率的穩(wěn)定性。只