遼寧省大連經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)得勝高級中學(xué)2023學(xué)年高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

1、2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷注意事項:1答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2答題時請按要求用筆。3請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高二丈，問：積

2、幾何?”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w，下底面寬3丈，長4丈，上棱長2丈，高2丈，問：它的體積是多少?”已知l丈為10尺，該楔體的三視圖如圖所示，其中網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1，則該楔體的體積為（ ）A10000立方尺 B11000立方尺C12000立方尺 D13000立方尺2設(shè)數(shù)列的各項均為正數(shù)，前項和為，且，則（ ）A128B65C64D633函數(shù)的定義域為，集合，則（ ）ABCD4如圖，已知平面，、是直線上的兩點，、是平面內(nèi)的兩點，且，是平面上的一動點，且直線，與平面所成角相等，則二面角的余弦值的最小值是（ ）ABCD5 “角谷猜想”的內(nèi)容是：對于任意一個大于1的整數(shù)，如果為偶數(shù)

3、就除以2，如果是奇數(shù)，就將其乘3再加1，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的（ ）A6B7C8D962019年某校迎國慶70周年歌詠比賽中，甲乙兩個合唱隊每場比賽得分的莖葉圖如圖所示（以十位數(shù)字為莖，個位數(shù)字為葉）.若甲隊得分的中位數(shù)是86，乙隊得分的平均數(shù)是88，則（ ）A170B10C172D127已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中三視圖的長、寬、高分別為，且，則此三棱錐外接球表面積的最小值為（ ）ABCD8易系辭上有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術(shù)數(shù)之源，其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白圈為陽數(shù)，黑點為陰數(shù)

4、.若從這10個數(shù)中任取3個數(shù)，則這3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的概率為（ ） ABCD9設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則實數(shù)的值是（ ）A1B-1C0D210定義在上的函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，設(shè)為坐標原點，、四點的橫坐標依次為、，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）ABCD11已知是邊長為的正三角形，若，則ABCD12平行四邊形中，已知，點、分別滿足，且，則向量在上的投影為（ ）A2BCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知等差數(shù)列的前n項和為Sn，若，則_.14若實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為_.15已知函數(shù)，若關(guān)于的方程在定義域上有四個不同的解，則實數(shù)的取值范圍是_

5、.16如圖所示，在直角梯形中，、分別是、上的點，且（如圖）.將四邊形沿折起，連接、（如圖）.在折起的過程中，則下列表述： 平面；四點、可能共面；若，則平面平面；平面與平面可能垂直.其中正確的是_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖,三棱柱中,底面是等邊三角形,側(cè)面是矩形,是的中點,是棱上的點,且.（1）證明：平面；（2）若,求二面角的余弦值.18（12分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為：（其中為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)）（1）以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求曲線的極坐標方程；（2）若曲線與直線交于兩點，點的坐標為，求

6、的值.19（12分）如圖，三棱錐中，（1）證明：面面；（2）求二面角的余弦值.20（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若，求證：.21（12分）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=4，.（1）求A的余弦值；（2）求ABC面積的最大值22（10分）已知；.（1）若為真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若為真命題且為假命題，求實數(shù)的取值范圍.2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【答案解析】由題意，將楔體分割為三棱柱與兩個四棱錐的組合體，作出幾何體的直觀圖如圖所示

7、：沿上棱兩端向底面作垂面，且使垂面與上棱垂直，則將幾何體分成兩個四棱錐和1個直三棱柱，則三棱柱的體積V1四棱錐的體積V2=13132=2【答案點睛】本題考查三視圖及幾何體體積的計算，其中正確還原幾何體，利用方格數(shù)據(jù)分割與計算是解題的關(guān)鍵2、D【答案解析】根據(jù)，得到，即，由等比數(shù)列的定義知數(shù)列是等比數(shù)列，然后再利用前n項和公式求.【題目詳解】因為，所以，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，又因為，所以，.故選：D【答案點睛】本題主要考查等比數(shù)列的定義及等比數(shù)列的前n項和公式，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.3、A【答案解析】根據(jù)函數(shù)定義域得集合，解對數(shù)不等式得到集合，然后直接利用交集運算求解.【題目詳

8、解】解：由函數(shù)得，解得，即；又，解得，即，則.故選：A.【答案點睛】本題考查了交集及其運算，考查了函數(shù)定義域的求法，是基礎(chǔ)題.4、B【答案解析】為所求的二面角的平面角，由得出，求出在內(nèi)的軌跡，根據(jù)軌跡的特點求出的最大值對應(yīng)的余弦值【題目詳解】，同理為直線與平面所成的角，為直線與平面所成的角，又，在平面內(nèi)，以為軸，以的中垂線為軸建立平面直角坐標系則，設(shè)，整理可得：在內(nèi)的軌跡為為圓心，以為半徑的上半圓平面平面，為二面角的平面角，當(dāng)與圓相切時，最大，取得最小值此時故選【答案點睛】本題主要考查了二面角的平面角及其求法，方法有：定義法、三垂線定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依據(jù)題目選擇方

9、法求出結(jié)果5、B【答案解析】模擬程序運行，觀察變量值可得結(jié)論【題目詳解】循環(huán)前，循環(huán)時：，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，滿足條件，退出循環(huán)，輸出故選：B【答案點睛】本題考查程序框圖，考查循環(huán)結(jié)構(gòu)，解題時可模擬程序運行，觀察變量值，從而得出結(jié)論6、D【答案解析】中位數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)按從?。ù螅┑酱螅ㄐ。┡帕泻?，處在最中間的那個數(shù)，平均數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù).【題目詳解】由莖葉圖知，甲的中位數(shù)為，故；乙的平均數(shù)為，解得，所以.故選：D.【答案點睛】本題考查莖葉圖的應(yīng)用，涉及到中位數(shù)、平均數(shù)的知識，是一道容易題.7、B【答案解析】根據(jù)三視圖得到幾何體為一三棱錐，

10、并以該三棱錐構(gòu)造長方體，于是得到三棱錐的外接球即為長方體的外接球，進而得到外接球的半徑，求得外接球的面積后可求出最小值【題目詳解】由已知條件及三視圖得，此三棱錐的四個頂點位于長方體的四個頂點，即為三棱錐，且長方體的長、寬、高分別為，此三棱錐的外接球即為長方體的外接球，且球半徑為，三棱錐外接球表面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，時，三棱錐外接球的表面積取得最小值為故選B【答案點睛】（1）解決關(guān)于外接球的問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離都等于球的半徑，同時要作一圓面起襯托作用（2）長方體的外接球的直徑即為長方體的體對角線，對于一些比較特殊的三棱錐，在研究其外接球的問題時可考慮通過構(gòu)造長方體，

11、通過長方體的外球球來研究三棱錐的外接球的問題8、C【答案解析】先根據(jù)組合數(shù)計算出所有的情況數(shù)，再根據(jù)“3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列”列舉得到滿足條件的情況，由此可求解出對應(yīng)的概率.【題目詳解】所有的情況數(shù)有：種，3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的情況有：，共種，所以目標事件的概率.故選：C.【答案點睛】本題考查概率與等差數(shù)列的綜合，涉及到背景文化知識，難度一般.求解該類問題可通過古典概型的概率求解方法進行分析；當(dāng)情況數(shù)較多時，可考慮用排列數(shù)、組合數(shù)去計算.9、A【答案解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算化簡，由復(fù)數(shù)的意義即可求得的值.【題目詳解】復(fù)數(shù)，由復(fù)數(shù)乘法運算化簡可得，所以由復(fù)數(shù)定義

12、可知，解得，故選：A.【答案點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運算，復(fù)數(shù)的意義，屬于基礎(chǔ)題.10、B【答案解析】先辨別出圖象中實線部分為函數(shù)的圖象，虛線部分為其導(dǎo)函數(shù)的圖象，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，由，得出，只需在圖中找出滿足不等式對應(yīng)的的取值范圍即可.【題目詳解】若虛線部分為函數(shù)的圖象，則該函數(shù)只有一個極值點，但其導(dǎo)函數(shù)圖象（實線）與軸有三個交點，不合乎題意；若實線部分為函數(shù)的圖象，則該函數(shù)有兩個極值點，則其導(dǎo)函數(shù)圖象（虛線）與軸恰好也只有兩個交點，合乎題意.對函數(shù)求導(dǎo)得，由得，由圖象可知，滿足不等式的的取值范圍是，因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：B.【答案點睛】本題考查利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時也

13、考查了利用圖象辨別函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象，考查推理能力，屬于中等題.11、A【答案解析】由可得，因為是邊長為的正三角形，所以，故選A12、C【答案解析】將用向量和表示，代入可求出，再利用投影公式可得答案.【題目詳解】解：，得，則向量在上的投影為.故選：C.【答案點睛】本題考查向量的幾何意義，考查向量的線性運算，將用向量和表示是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】由，成等差數(shù)列，代入可得的值.【題目詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，成等差數(shù)列，可得：，代入，可得：，故答案為：.【答案點睛】本題主要考查等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)，相對不難.14、3【答案解析

14、】作出可行域,可得當(dāng)直線經(jīng)過點時,取得最大值,求解即可.【題目詳解】作出可行域（如下圖陰影部分）,聯(lián)立,可求得點,當(dāng)直線經(jīng)過點時,.故答案為:3.【答案點睛】本題考查線性規(guī)劃,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于基礎(chǔ)題.15、【答案解析】由題意可在定義域上有四個不同的解等價于關(guān)于原點對稱的函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點，運用參變分離和構(gòu)造函數(shù)，進而借助導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性與極值，畫出函數(shù)圖象，即可得到所求范圍.【題目詳解】已知定義在上的函數(shù)若在定義域上有四個不同的解等價于關(guān)于原點對稱的函數(shù)與函數(shù)f(x)=lnx-x(x0)的圖象有兩個交點，聯(lián)立可得有兩個解，即可設(shè)，則，進而且不恒為零，可得在單調(diào)遞增.由可得時，

15、單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增，即在處取得極小值且為作出的圖象，可得時，有兩個解.故答案為：【答案點睛】本題考查利用利用導(dǎo)數(shù)解決方程的根的問題，還考查了等價轉(zhuǎn)化思想與函數(shù)對稱性的應(yīng)用，屬于難題.16、【答案解析】連接、交于點，取的中點，證明四邊形為平行四邊形，可判斷命題的正誤；利用線面平行的性質(zhì)定理和空間平行線的傳遞性可判斷命題的正誤；連接，證明出，結(jié)合線面垂直和面面垂直的判定定理可判斷命題的正誤；假設(shè)平面與平面垂直，利用面面垂直的性質(zhì)定理可判斷命題的正誤.綜合可得出結(jié)論.【題目詳解】對于命題，連接、交于點，取的中點、，連接、，如下圖所示：則且，四邊形是矩形，且，為的中點，為的中點，且，且，四邊形為平

16、行四邊形，即，平面，平面，平面，命題正確；對于命題，平面，平面，平面，若四點、共面，則這四點可確定平面，則，平面平面，由線面平行的性質(zhì)定理可得，則，但四邊形為梯形且、為兩腰，與相交，矛盾.所以，命題錯誤；對于命題，連接、，設(shè)，則，在中，則為等腰直角三角形，且，且，由余弦定理得，又，平面，平面，、為平面內(nèi)的兩條相交直線，所以，平面，平面，平面平面，命題正確；對于命題，假設(shè)平面與平面垂直，過點在平面內(nèi)作，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，又，平面，平面，.，平面，平面，.，顯然與不垂直，命題錯誤.故答案為：.【答案點睛】本題考查立體幾何綜合問題，涉及線面平行、面面垂直的證明、以及點共面的判斷，

17、考查推理能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【答案解析】（1）連結(jié)BM，推導(dǎo)出BCBB1，AA1BC，從而AA1MC，進而AA1平面BCM，AA1MB，推導(dǎo)出四邊形AMNP是平行四邊形，從而MNAP，由此能證明MN平面ABC（2）推導(dǎo)出ABA1是等腰直角三角形，設(shè)AB，則AA12a，BMAMa，推導(dǎo)出MCBM，MCAA1，BMAA1，以M為坐標原點，MA1，MB，MC為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角ACMN的余弦值【題目詳解】（1）如圖1，在三棱柱中，連結(jié)，因為是矩形，所以，因為，所以， 又因為，所以

18、平面，所以，又因為，所以是中點，取中點，連結(jié)，因為是的中點，則且， 所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面.（圖1） （圖2）（2）因為，所以是等腰直角三角形，設(shè)，則，.在中，所以.在中，所以，由（1）知，則，如圖2，以為坐標原點，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，則，.所以，則，設(shè)平面的法向量為，則即取得.故平面的一個法向量為，因為平面的一個法向量為，則.因為二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.【答案點睛】本題考查線面平行的證明，考查了利用空間向量法求解二面角的方法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題18、（

19、1）（2）5【答案解析】（1）首先消去參數(shù)得到曲線的普通方程，再根據(jù)，得到曲線的極坐標方程；（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程，利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義得解；【題目詳解】解：（1）曲線：消去參數(shù)得到：，由，得所以（2）代入，設(shè)，由直線的參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義得：【答案點睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標方程、普通方程的互化，以及直線參數(shù)方程的幾何意義的應(yīng)用，屬于中檔題19、（1）證明見解析（2）【答案解析】（1）取中點，連結(jié)，證明平面得到答案.（2）如圖所示，建立空間直角坐標系，為平面的一個法向量，平面的一個法向量為，計算夾角得到答案.【題目詳解】（1）取中點，連結(jié)，為直角，平面，平面，面面.（2）如圖所示，建立空間直角坐標系，則，可取為平面的一個法向量.設(shè)平面的一個法向量為.則，其中，不妨取，則.為銳二面角，二面角的余弦值為.【答案點睛】本題考查了面面垂直，二面角，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.20、（1）；（