高二數(shù)學(xué)選修44教案05曲線的參數(shù)方程

1、高二數(shù)學(xué)選修 4-4 教案 05 曲線的參數(shù)方程教學(xué)目標(biāo)：正確懂得曲線參數(shù)方程的概念；能精確地選取參數(shù)求曲線的參數(shù)方程教學(xué)重點(diǎn)：參數(shù)方程的概念；教學(xué)難點(diǎn)：參數(shù)t 可以是有物理、幾何意義的變量,也可以是變數(shù)；建立參數(shù)t 與 x,y的關(guān)系教學(xué)過(guò)程一、問(wèn)題引入設(shè)炮彈的發(fā)射角為,發(fā)射的初速度為 v ,求彈道曲線的方程（不計(jì)空氣阻力）由于彈道曲線是炮彈飛行的軌跡,所以它上面的各個(gè)點(diǎn)都表示炮彈發(fā)射后某個(gè)時(shí)刻的位置；當(dāng)這個(gè)時(shí)刻確定后,炮彈的位置就確定了；取炮口為原點(diǎn),水平方向?yàn)?x 軸,建立直角坐標(biāo)系；設(shè)炮彈發(fā)射后的位置在M x , y ,由于炮彈在 O x 方向是以yv cos 為速度的勻速直線運(yùn)動(dòng),在O

2、 y 方向是以 v sin 為初速的豎直上拋運(yùn)動(dòng)；按勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直上拋運(yùn)動(dòng)的位移公式,得cos.t,2,0v sinvMxxv001O0v cosyv0sin.tgt2g 是重力加速度；課本中炮彈的飛行軌跡是同學(xué)在物理學(xué)習(xí)中極為熟識(shí)的“ 斜拋運(yùn)動(dòng) ” 的一個(gè)實(shí)例教學(xué)中不必過(guò)多說(shuō)明,重點(diǎn)在于利用它,從數(shù)學(xué)的角度說(shuō)明力學(xué)中的運(yùn)動(dòng)方程就是數(shù)學(xué)中的參數(shù)方程它們是實(shí)際討論的需要,便于表示兩個(gè)變量之間的聯(lián)系同時(shí)由于參數(shù) t 有肯定取值范疇,導(dǎo)致x、y 也有肯定的取值范疇在詳細(xì)討論中,參數(shù)t可以是有物理、幾何意義的變量,也可以是變數(shù)關(guān)鍵是t 與點(diǎn)（ x、 y）能否構(gòu)成對(duì)應(yīng)關(guān)系同時(shí),同學(xué)應(yīng)熟識(shí)到引進(jìn)參數(shù)

3、t 可以起到削減變量個(gè)數(shù)的作用,給討論多變 量問(wèn)題以一個(gè)新的方法二、數(shù)學(xué)構(gòu)建 1、曲線的參數(shù)方程一般地,在取定的坐標(biāo)系中,假如曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x、y 都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù),即xftyft并且對(duì)于 t 每一個(gè)答應(yīng)值,由方程組所確定的點(diǎn)M（x,y）都在這條曲線上,那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系 x、y 之間關(guān)系的變數(shù)叫做參變數(shù),簡(jiǎn)稱參數(shù) 它可以是有物理、幾何意義的變數(shù),也可以是沒有明顯意義的變數(shù) . 留意 ：參數(shù)方程的特點(diǎn)是在于沒有直接表達(dá)曲線上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系,而是分別表達(dá)了點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)與參數(shù)之間的關(guān)系 . 2、曲線的一般方程相對(duì)于參數(shù)方程來(lái)說(shuō),直接給出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系

4、的方程,叫做曲線的一般方程三、學(xué)問(wèn)運(yùn)用【例 1】如下列圖,以原點(diǎn)為圓心,分別以 a,bab為半徑作兩個(gè)圓；點(diǎn) Q 是大圓半徑 OP 與小圓的交點(diǎn),過(guò)點(diǎn) P 作 PNO x ,垂足為 N,過(guò)點(diǎn) Q 作 QM PN,垂足為 M ；求當(dāng)半徑 OP 繞點(diǎn) O 旋轉(zhuǎn)時(shí),點(diǎn) M 的軌跡的參數(shù)方程；解：設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)是（ x,y）,是以 O x 為始邊, OP 為終邊的正角,去 y 為參數(shù),那么 bx=ON=|OP|cos , Py=NM=|OQ|sin . Q M 也就是 O N a xx a cos ,y b sin . 例 1 圖這就是所求的 M 點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程；本例給出了橢圓的一個(gè)參數(shù)方程,兩

5、個(gè)圓分別叫做橢圓的大幫助圖和小幫助圖,橢圓長(zhǎng)軸和短軸分別是它們的直徑其中叫做橢圓上點(diǎn)的離心角橢圓上只有個(gè)別點(diǎn)（如橢圓的頂點(diǎn)）的離心角與中心角相等一般點(diǎn)的中心角與離心角不同兩個(gè)點(diǎn)離心角的差與中心角的差也不同因 與橢圓上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),橢圓上點(diǎn)可表示為 P acos、bsin ,起到削減變量個(gè)數(shù)的成效【例 2】求經(jīng)過(guò)點(diǎn) M 0 x 0 , y 0,傾斜角是 的直線 l 的參數(shù)方程；解：設(shè) M（x,y）是直線上任意一點(diǎn),經(jīng)過(guò)M 作 y 軸的平行線, 經(jīng)過(guò)M0 x 0, y0點(diǎn)作 x 軸的yM（ x,y）x平行線,兩直線相交于點(diǎn)Q；規(guī)定直線 l 向上的tQ方向?yàn)檎较颍辉O(shè)M 0Mt,取 t 為參數(shù)；M0

6、 x 0,y 0就有xx 0tcos,O例 2 圖yy 0tsin.例這就是所求直線l 的參數(shù)方程；一條直線規(guī)定了方向和原點(diǎn)后,只要一個(gè)變量就可以表示直線上點(diǎn)的位置如 x 軸當(dāng)直線位于平面內(nèi)時(shí),表示直線上點(diǎn)的位置,除了一個(gè)變量外,仍需對(duì)直線本身位置的刻畫,直線參數(shù)方程,xxtcos,中（x ,y）及就是對(duì)直線yytsin自身位置的描述,t 是對(duì)直線上點(diǎn)的位置的描述【例 3】x523t與x523 t,是否表示同一條直線2y1tyt2此例可使同學(xué)明確以下幾點(diǎn)：曲線的參數(shù)方程可能不唯獨(dú)兩個(gè)方程均表示直線x3y5230兩個(gè)方程中的參數(shù)的意義不同,取相同的 t,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可能不同,但t 取全體實(shí)數(shù)時(shí),所對(duì)

7、應(yīng)的點(diǎn)集相同x x at判定方程 中 t 的幾何意義是否為定點(diǎn) x0, y0到動(dòng)點(diǎn) P x,y的數(shù)y y bt量,有二個(gè)原就,其一為 a2b2=1,其二是 b0,這是由于 為直線傾角時(shí),必有sin 2 +cos 2 =1 及 sin0 x x 0 at上 A,B 兩點(diǎn)間距離為 AB a 2b 2t 1 t 2上述方程中通過(guò)y y 0 bt換元 t 2 t 2（當(dāng) b0）,可知 t 的幾何意義就是定點(diǎn) x0,y0到動(dòng)點(diǎn) x,y的數(shù)a b量,其上兩點(diǎn)間距離即為 t 1 t 2通過(guò)運(yùn)算：yy0btb,使同學(xué)知道 x0,y0必為直線上的點(diǎn),b 等于直 axx0ata線的斜率x x 0 at疑難解析 :

8、方程,（t 為參數(shù)）中 x0、y0 及 a、b 的幾何意義,及如何將它y y 0 bt化為以定點(diǎn) x0、y0到動(dòng)點(diǎn) x,y的數(shù)量 t 為參數(shù)的參數(shù)方程是同學(xué)學(xué)習(xí)的疑難之處可x 1 4 t以通過(guò)數(shù)字系數(shù)的方程為例加以說(shuō)明,如,令 t = 0,得到點(diǎn) 1,2,進(jìn)y 2 3 t而說(shuō)明 x0、y0是直線上的一個(gè)點(diǎn),即直線必過(guò)點(diǎn) x0、y0由 y 2 3 t 3,得知x 1 4 t 4此直線的斜率為 3 ,進(jìn)而說(shuō)明直線上任意點(diǎn) x,y與點(diǎn) x0、y0連線的斜率為 b 如4 ab果直線傾角為,就有 tan = kacos a2 2由三角學(xué)問(wèn)可知 a b 由于 0 ,sin0,可知當(dāng) b0時(shí),sin b2

9、2a b用 t 2 t 2,當(dāng) b 0 時(shí),用 t 2 t 2 可將方程,化為 t 為定點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)數(shù)量a b a b的直線的參數(shù)方程四、學(xué)力進(jìn)展1、求半徑是 r 、圓心在原點(diǎn)O 的圓的參數(shù)方程；,以分點(diǎn) M（x,y）分M1M2解：xrcos為參數(shù)）yrsin1、已知一條直線上兩點(diǎn)M1x 1, y1、M2x2, y2所成的比為參數(shù),寫出參數(shù)方程；解：xx 1x21 y 1y2y12、直線x33tt 為參數(shù) 的傾斜角是C D2 332y11 2tA6B3C563、方程x1ttcos（ t 為非零常數(shù),為參數(shù)）表示的曲線是 B y3sinA直線B圓C橢圓D雙曲線4、已知橢圓的參數(shù)方程是x5cos（為參

10、數(shù)）,就橢圓上一點(diǎn)P 5 ,22y4sin的離心角可以是 D D5 3A3B2C433五、課堂小結(jié) 1、參數(shù)方程的概念；2、參數(shù)的挑選；3、直線的參數(shù)方程xx0tcos,和方程xx0at,（ t 為參數(shù)）中x0、y0yy0tsin.yy0bt及 a、b 的幾何意義；附：教材分析一、教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)目標(biāo)：本單元教學(xué)內(nèi)容：曲線參數(shù)方程的概念,直線、圓、橢圓的參數(shù)方程,參數(shù)方程與一般方程的互化本單元教學(xué)目標(biāo)：使同學(xué)懂得參數(shù)方程的概念,初步把握直線、圓、橢圓的參數(shù)方程懂得參數(shù)的幾何或物理意義把握參數(shù)方程與一般方程互化的方法,會(huì)依據(jù)給出的參數(shù),建立曲線的參數(shù)方程結(jié)合曲線參數(shù)方程的建立,對(duì)同學(xué)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)的訓(xùn)練,結(jié)合參數(shù)方程與普通方程的互化,使同學(xué)加深對(duì)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的懂得,提高轉(zhuǎn)化中規(guī)律關(guān)系的熟識(shí),提 高規(guī)律思維才能,提高利用參數(shù)解決問(wèn)題的才能二、重難點(diǎn)分析：本節(jié)的重點(diǎn)是參數(shù)方程的概念,直線、圓、橢圓的參數(shù)方程,參數(shù)方程和一般方 程互化的方法本節(jié)的難點(diǎn)是直線和橢圓參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,學(xué)習(xí)的難點(diǎn)互化中的等價(jià)性也是同學(xué)教學(xué)中應(yīng)明確, 參數(shù)需要依據(jù)實(shí)際問(wèn)題的性質(zhì)及