平面標(biāo)量場(chǎng)精品課件

1、平面標(biāo)量場(chǎng)第1頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)32分，星期三第一章 復(fù)變函數(shù)1、復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算2、復(fù)變函數(shù)3、導(dǎo)數(shù)4、解析函數(shù)5、平面標(biāo)量場(chǎng)第2頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)32分，星期三1.5 平面標(biāo)量場(chǎng)1.5.1 用解析函數(shù)表述平面場(chǎng) 物理和工程技術(shù)上經(jīng)常要研究各種各樣的場(chǎng)，例如電磁場(chǎng)，聲場(chǎng)，溫度場(chǎng)。如果場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)，則稱為恒定場(chǎng)，例如靜電場(chǎng)。 如果所研究的場(chǎng)在空間某個(gè)方向上是均勻的，從而只需要在垂直于該平面上研究它，這樣的場(chǎng)稱為平面場(chǎng)。 許多不同的穩(wěn)定平面物理場(chǎng)，都可以用一個(gè)復(fù)變函數(shù)來(lái)表示，在大量的實(shí)際問(wèn)題中，人們遇到的不是一般任意的復(fù)變函數(shù)，而是構(gòu)建一個(gè)能表示平面

2、場(chǎng)的解析函數(shù)，這就是解析函數(shù)的物理意義。這個(gè)解析函數(shù)就是給定平面場(chǎng)的復(fù)勢(shì)函數(shù)。第3頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)32分，星期三1.5.2 靜電場(chǎng)的復(fù)勢(shì) 1. 靜電場(chǎng)的復(fù)勢(shì) 考慮定義在xy平面的區(qū)域D內(nèi)的平面靜電場(chǎng)，其場(chǎng)強(qiáng)設(shè)為 若再假設(shè)平面場(chǎng)內(nèi)沒有帶電物體，那么該場(chǎng)也是一個(gè)無(wú)源無(wú)旋平面向量場(chǎng). 我們可以構(gòu)建它的復(fù)勢(shì). 設(shè)其電勢(shì)為 ，則由電磁學(xué)知道電場(chǎng)是電勢(shì)梯度的負(fù)值。 由于該區(qū)域沒有電荷，則由高斯定理知道，場(chǎng)強(qiáng)滿足即為（1）（2）第4頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)32分，星期三 將(1)代入（2）即得到故勢(shì)函數(shù) 是二維調(diào)和函數(shù)因此可以將 看成是在區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù) 的實(shí)部

3、或虛部。設(shè)電勢(shì)為解析函數(shù)的實(shí)部，則由C-R方程可以求出對(duì)應(yīng)的虛部，從而確定此解析函數(shù)，這樣得到的解析函數(shù)稱為靜電場(chǎng)的復(fù)電勢(shì)（簡(jiǎn)稱復(fù)勢(shì)）。 第5頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)32分，星期三由解析函數(shù)性質(zhì)可知是區(qū)域D內(nèi)正交的兩組曲線族，其中 是靜電場(chǎng)的等勢(shì)線，而與等勢(shì)線正交，因而是電場(chǎng)的電力線。因此，只要知道了復(fù)電勢(shì)，就很容易作出等勢(shì)線和電力線。第6頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)32分，星期三 是電力線族，同時(shí) 的值本身也具有物理意義。在平面內(nèi)取兩定點(diǎn)A 和B ，任意曲線連接A和B，計(jì)算通過(guò)曲線AB的電通量易得又故于是通量函數(shù)第7頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)3

4、2分，星期三同理，在液體的無(wú)旋流動(dòng)中，速度矢量可以表示為某個(gè)標(biāo)量的梯度，這個(gè)標(biāo)量叫作速度勢(shì)。借助于速度勢(shì)把平面無(wú)旋液流問(wèn)題標(biāo)為平面標(biāo)量場(chǎng)問(wèn)題。因此，某區(qū)域上解析函數(shù)的實(shí)部或虛部總可以必是該平面上的速度勢(shì)。此解析函數(shù)就叫該平面無(wú)旋液流的復(fù)勢(shì)。設(shè) 為速度勢(shì)，則曲線族 就是流線族， 是流量函數(shù)，它在兩點(diǎn)間取值差就是兩點(diǎn)間穿過(guò)的流量。同樣，在物體的穩(wěn)定溫度分布中，有所謂的平面溫度場(chǎng)。也可以用復(fù)勢(shì)來(lái)表示。設(shè) 是溫度分布，則曲線族 就是熱流線族， 是熱流量函數(shù)。通常借用平面溫度場(chǎng)的詞匯把解析函數(shù)實(shí)部和虛部為常數(shù)的曲線族叫做等溫網(wǎng)。第8頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)32分，星期三1.6.1 多值

5、函數(shù)的基本概念1. 單值分支以根式函數(shù)為例可以給出兩個(gè)不同的值*1.6 多值函數(shù)稱為多值函數(shù)的兩個(gè)單值分支。*實(shí)數(shù)函數(shù)的單值分支互相獨(dú)立， 而多值函數(shù)的單值分支不互相獨(dú)立。第9頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)32分，星期三從某點(diǎn)Z0出發(fā)，沿閉合路徑 繞行一周回到Z0，輻角增加 ， 對(duì)應(yīng)的的輻角增加 ，從而進(jìn)入另一個(gè)分支。如果繞曲線 一周，其值不變。第10頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)32分，星期三2. 支點(diǎn) 從前面分析可以看成，Z0具有這樣的特點(diǎn)：當(dāng)Z繞該點(diǎn)一周回到原處時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值不復(fù)原。 一般地說(shuō)，對(duì)于多值函數(shù) ，若Z繞某點(diǎn)一周，函數(shù)值 不復(fù)原，而在該點(diǎn)各單值分支函

6、數(shù)相同，則稱這點(diǎn)為多值函數(shù)的支點(diǎn)。 若當(dāng)Z繞支點(diǎn)n周，函數(shù)值復(fù)原，便稱該點(diǎn)為多值函數(shù)的n1階支點(diǎn)。故Z=0是函數(shù) 的一階支點(diǎn)。第11頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)32分，星期三除了Z=0外， 也是 的一階支點(diǎn)。只要令 ，則有 ，當(dāng)t繞 一周回到原處時(shí)， 的值不還原，繞兩周后還原，故 ，即 為 的一階支點(diǎn)。問(wèn)： 有幾階支點(diǎn)？ 的支點(diǎn)是多少？第12頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)32分，星期三小結(jié)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，要熟練指數(shù)和三角形式的運(yùn)算復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件 函數(shù)解析的充要條件 會(huì)熟練運(yùn)用柯西黎曼方程 了解解析函數(shù)描述平面標(biāo)量場(chǎng)第13頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)3

7、2分，星期三第二章 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分柯西定理不定積分柯西公式第14頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)32分，星期三2.1 復(fù)變函數(shù)的積分圖2.1第15頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)32分，星期三2.1.1復(fù)變函數(shù)的積分 設(shè)函數(shù) 在給定的光滑或逐段光滑曲線 上有定義，且 是以a為起點(diǎn)，b為終點(diǎn)的一條有向曲線，如圖2.1所示把 曲線任意分成n個(gè)小弧段，設(shè)分點(diǎn)依次為 ,在某小弧段上任意取一點(diǎn) ，并作和 則當(dāng)n無(wú)限增大，且每一小段都無(wú)限縮短時(shí)，如果這個(gè)和的極限存在，而且和每個(gè)點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)，那么和的極限值稱為函數(shù)沿曲線L的積分，記 ，即路積分（復(fù)積分）第16頁(yè)，共25頁(yè)，

8、2022年，5月20日，7點(diǎn)32分，星期三把 和 都用實(shí)部和虛部表示出，則這樣，復(fù)變函數(shù)的路積分可以歸結(jié)為兩個(gè)實(shí)變函數(shù)線積分，他們分別是路積分的實(shí)部和虛部。因而，實(shí)變函數(shù)線積分的許多性質(zhì)對(duì)路積分也成立。第17頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)32分，星期三 (1)若 沿 可積，且 由 和 連接而成，則 (2) 常數(shù)因子 可以提到積分號(hào)外，即 (3) 函數(shù)和（差）的積分等于各函數(shù)積分的和（差），即 2.1.2 復(fù)積分的性質(zhì)第18頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)32分，星期三(4)若積分曲線的方向改變，則積分值改變符號(hào)，即 為 的負(fù)向曲線(5)積分的模不大于被積表達(dá)式模的積分，即

9、 這里 表示弧長(zhǎng)的微分，即 第19頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)32分，星期三復(fù)積分的計(jì)算典型實(shí)例 公式 提供了一種復(fù)積分的計(jì)算方法，即把復(fù)積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)的曲線積分。當(dāng)曲線積分的積分路徑C由參數(shù)方程給出時(shí)，復(fù)積分又可以轉(zhuǎn)化為單變量的定積分。 計(jì)算 ，其中C為從原點(diǎn)到點(diǎn)3+4i的直線段。 【解】 直線的方程可寫成或第20頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)32分，星期三解：利用 以及有第21頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)32分，星期三第22頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)32分，星期三例2.1.3計(jì)算 其中 為以 中心， 為半徑的正向圓周, 為整數(shù).解: 的方程可寫成所以第23頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)32分，星期三例2.1.4計(jì)算 的值，其中 為