2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷2(新課標(biāo)Ⅲ)

1、n n 1 1 2020 全統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)n n 1 1 一、選題（題共 10 題，每小題 6 分共 60 分）已知集 A ，則 AB 中素個數(shù)為（ ） 3 C. 4 【答案】B【解析】【分析】采用列舉法列舉出A B中元素的即可.【詳解】由題意，A B ，故A B中元素的個數(shù)為 故選：【點晴】本題主要考查集合的交集運算，考查學(xué)生對交集定義的理解，是一道容易.若 z ，則 z= ） i i C. i i 【答案】D【解析】【分析】先利用除法運算求得 ，再利用共軛復(fù)數(shù)的概念得到即可.【詳解】因為z ) 2 )(1 )，所以 i故選：D【點晴】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運算，涉及到共軛復(fù)數(shù)的概念，是一道

2、基礎(chǔ).設(shè)一組本數(shù)據(jù) ，x ， 的差為 ，則數(shù)據(jù) 10 ，10 ，10 x 的差為（ B. C. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)關(guān)系確定方差關(guān)系，即得結(jié)）【詳解】因為數(shù)據(jù) , i的方差是數(shù)據(jù)x , ) i的方差的 倍， 所以所求數(shù)據(jù)方差為1 2 故選：【點睛】本題考查方差，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ).Logistic 模型是常用數(shù)學(xué)型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)城有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù) I()(t的單位：天的 Logistic 模： I ( )=1 K0.23( t ，其中 K 為大確診病例數(shù)當(dāng)I(t*)=0.95K 時標(biāo)志著已初步遏制疫情， t*約為（

3、 60【答案】C【解析】【分析】 C. 66 將 t 代入函數(shù)I K結(jié)合I 0.95求得 即可得解.【詳解】I K0.23，所以I K 0.230.95 K，則 ，所以，0.23 ，解得 30.2353 故選：C.【點睛】本題考查對數(shù)的運算，考查指數(shù)與對數(shù)的互化，考查計算能力，屬于中等.已知 sin = ， = （ ）12C.22【答案】B【解析】【分析】將所給的三角函數(shù)式展開變形，然后再逆用兩角和的正弦公式即可求得三角函數(shù)式的詳解】由題意可得： sin 3sin cos ， 3 1 則： sin ， sin 2 2 3， 從而有： ，即 sin 故選：【點睛】本題主要考查兩角和與差的正余弦公

4、式及其應(yīng)用，屬于中等.在平面，A，B 是兩個定點C 動點，若AC =1，則點 C 的跡為（ ） 圓 橢圓C. 拋線 直【答案】A【解析】分析】首先建立平面直角坐標(biāo)系，然后結(jié)合數(shù)量積的定義求解其軌跡方程即.【詳解】設(shè) ，以 中為坐標(biāo)原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則： ，可得： x , y , BC y，從而： AC 2 ，結(jié)合題意可得：，整理可得：x2 ，即點 的軌跡是以 中為圓心， 2 為徑的.故選：A.【點睛】本題主要考查平面向量及其數(shù)量積的坐標(biāo)運算，軌跡方程的求解等知識，意在考查學(xué)的轉(zhuǎn)化能 力和計算求解能.設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線x 與拋物線 C：y 2 p 0)交于 D ， E兩點，若O

5、D ，則C的,0焦點坐標(biāo)為（ ）,0 ,0 C.(2,0)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題中所給的條件OD OE，結(jié)合拋物線的對稱性，可知DOx EOx ，從而可以確定出點 D的坐標(biāo)，代入方程求得 的值，而求得其焦點坐標(biāo)，得到結(jié)【詳解】因為直線 與物 y2 px ( 0)交于 點，且 OD ，根據(jù)拋物線的對稱性可以確定DOx EOx ，所以 ，代入拋物線方程 4 p 求得 p ，所其焦點坐標(biāo)為( ,0)，故選：【點睛】該題考查的是有關(guān)圓錐曲線的問題，涉及到的知識點有直線與拋物線的交點，拋物線對稱性， 點在拋物線上的條件，拋物線的焦點坐標(biāo)，屬于簡單題.點(01)到直線 為（ ） C.3 【答案】

6、B【解析】【分析】首先根據(jù)直線方程判斷出直線過定點P ， A ，當(dāng)直線y ( x 與 AP 直時，點 A 直線y ( x 距離最大，即可求得結(jié)果.【詳解】由y ( x 可知直線過定點P ，設(shè)(0, ，當(dāng)直線y ( x 與 AP垂直時，點 到直線y ( 距離最大，即為 | AP 2 故選：【點睛】該題考查的是有關(guān)解析幾何初步的問題，涉及到的知識點有直線過定點問題，利用幾性質(zhì)是解 題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ).下圖為幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（ ） 6+4 C. 3 3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形，求出每個面的面積，即可求得其表 【詳解】根據(jù)三視圖特

7、征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形根據(jù)立體圖形可得： eq oac(, ) eq oac(, )ADC 根據(jù)勾股定理可得： DB 2 是邊長為 2 2 的邊三角形根據(jù)三角形面積公式可得： eq oac(, ) 1 3 (2 2) 3 2 2該幾何體的表面積是： 3 故選：C.【點睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖求立體圖形的表面積問題，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)三視圖畫立體圖形， 考查了分析能力和空間想象能力，屬于基礎(chǔ).3 3 3 5 3 3 3 3 5 5 A (1,2)3 3 3 5 3 3 3 3 5 5 A (1,2)10.設(shè)a 2 ， b log ， 3 523，則（ ） a a C. c 【

8、答案】A【解析】【分析】分別將 a , b 改為 a 2 ， log ，再利用單調(diào)性比較即可.【詳解】因為 2 1 2 2 log ， 3 3 3，所以 a 故選：A【點晴】本題考查對數(shù)式大小的比較，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔 二、填題：本題共 題，每題 5 分，共 分11.若 x， 滿約束條件 【答案】7【解析】分析】x y 0, x y ， zx+2y 的大值為_ x 作出可行域，利用截距的幾何意義解.【詳解】不等式組所表示的可行域如圖因為 x y，所以y x z ，易知截距 越，則 2越大，平移直線y x 3x ，當(dāng) y 經(jīng)過 點時截距最大，此時 最大，由 y ，得 ， ， x

9、 y 所以 故答案為：7.【點晴】本題主要考查簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用，涉及到求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值，考查學(xué)生數(shù)形合的思想， 是一道容易題.12.設(shè)曲線 C【答案】 【解析】【分析】 (，的一條漸近線為 y ，則 離心率_ a2 b根據(jù)已知可得 2，結(jié)合雙曲線中 b 的關(guān)系，即可求.【詳解】由雙曲線方程 2 2 a2 b可得其焦點在 軸，因為其一條漸近線為 x，所以 2c b， e 1 2故答案為： 3【點睛】本題考查的是有關(guān)雙曲線性質(zhì)，利用漸近線方程與離心率關(guān)系是解題的關(guān)鍵，要注意斷焦點所 在位置，屬于基礎(chǔ)題.13.設(shè)數(shù) f ( ) x 若f ，則 【答案】1【解析】【分析】由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的

10、解析式，然后得到關(guān)于實數(shù) a 的方程，解方程即可確定實數(shù) 的【詳解】由函數(shù)的解析式可得：fxx xx ，則：f1 ，據(jù)此可得：ae 4，整理可得： a 2 a ，得： a .故答案為：1 .【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算法則，導(dǎo)數(shù)的計算，方程的數(shù)學(xué)思想等知識，屬于中等14.已圓錐的底面半徑 ，母線長為 3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積_【答案】【解析】【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為求解圓錐內(nèi)切球的問題，然后結(jié)合截面確定其半徑即可確定體積的.【詳解】易知半徑最大球為圓錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時的軸截面如圖所示，其中 AB ，且點 M 為 邊的中點，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為 ，由于 AM 3 2，故 eq oac

11、(,S)ABC 2，設(shè)內(nèi)切圓半徑為 r ，：S BOC 1 BC AC 2 3 2 ，解得： r22 2，其體積：V 3 . 3n n 3 n， 解得 ，故答n n 3 n， 解得 ， .【點睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接解題時要認真分析圖形，明確切和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對線長等于 球的直徑.三、解題：共 70 .解應(yīng)寫出字說明、證過程或算步驟 第 為必考，每 個試題生都必須作 .第 、 為選考題考生根要求作答 .（一）考

12、題：共 60 分.15.設(shè)比數(shù)列a 足a 1 2 （1）求a 通項公式；（2）記S為數(shù)列l(wèi)og a 前 n 項若 ，求 m【答案） a 【解析】【分析】） m （1）設(shè)等比數(shù)列n q ，據(jù)題意，列出方程組求得首項和公比，進而求得通項公式；（2）由（）求出系式，求得結(jié)果.log a 3 n的通項公式，利用等差數(shù)列求和公式求得 ，據(jù)已知列出關(guān)于 的等量關(guān)【詳解）等比數(shù)列n ， 根據(jù)題意，有 所以 ； a q 4 1 a q q 1（2）令 a ，所以S n( n 2，根據(jù)S m m ，可得m m ( ( m 2 2，整理得 m ，為 ，以 m ，【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式基本量的計算，以及等

13、差數(shù)列求和公式的應(yīng)用，考查計算解能力， 屬于基礎(chǔ)題目. 16.某生興趣小組隨機查了某市 天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得 到下表（單位：天. 鍛煉人次0，400 (400，600空氣質(zhì)量等級（優(yōu)）（良）（輕度污染）（中度污染）（1）分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等為 ，2，4 的率（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表（3）若某天的空氣質(zhì)量等級為 ，稱這“空氣質(zhì)量好；某天的空氣質(zhì)量等級為 3 或 4則稱這天“空氣質(zhì)量不好據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的 22 列表，并根據(jù)聯(lián)表，判斷是否有 的把握認為一 天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空

14、氣質(zhì)量有關(guān)？人次人次空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好2K附：PKk)kn(ad )2(a )(c )(a ) 841，【答案）市一天的空氣質(zhì)量等級分別為1 、 、 的率分別為 、 、 ）有，理由見解.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)分布表可計算出該市一的空氣質(zhì)量等級分別 、（2）利用每組的中點值乘以頻數(shù)，相后除 可結(jié)果；、 的率；（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)完善 2 列聯(lián)表，計算出 K 的觀測值，再結(jié)合臨界值表可得結(jié).【詳解）頻數(shù)分布表可知，該市一天的空氣質(zhì)量等級為 概率為2 25 100，等級為 2 的概率為5 ，級為 3 概率為 ，級為 的率為100 ；100 20 500 （2）由頻數(shù)分布表可知，一天中到

15、該園鍛煉的人次的平均數(shù)為100（3） 列聯(lián)表如下空氣質(zhì)量不好空氣質(zhì)量好人次 400人次 400K2 55 5.820 ，因此，有 95% 的握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有.【點睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計算頻率和平均數(shù)，同時也考查了獨立性檢驗的應(yīng)用，考查據(jù)處理能 力，屬于基礎(chǔ)題.17.如在方體 B C D1 中點 E ，F(xiàn) 分在棱 DD ，BB 上 DE ， 1 1 證明：（1）當(dāng) 時，EF AC；（2）點 C 在面 AEF 內(nèi)1【答案）明見解析）明見解析. 【解析】【分析】（1根正方形性質(zhì)得 AC BD 根據(jù)長方體質(zhì)得 AC BB 進而可證 面BB 1 即得結(jié)果；（2）

16、只需證明 AF1即可，在 CC上取點 M 使CM 1再通過平行四邊形性質(zhì)進證明即.【詳解】（1）因為長方體 A B D1 所以BB1面 ABCD ,因為長方體 D , BC1 1 1 1所以四邊形ABCD為正方形 因為BB1 BB 、 平面 BB 1 1 1因此 面BB D1 1因為 EF 平BB D1 所以 ；（2）在 上取點 使CM ,連 ,1因為 E ED DD CC DD = ,以 ED MC , MC 1 1 1 所以四邊形 DMC E 為平四邊形 DM 1 1因為MF /, MF =,所以 M 、F、 D四點共面，所以四邊形 MFAD 為行四邊形， / AF EC ，以 E、C 、

17、AF1 四點共面，因此 C 在平面 內(nèi)1【點睛】本題考查線面垂直判定定理、線線平行判定，考查基本分析論證能力，屬中檔18.已函數(shù) f ( x 3 2 2（1）討論 2f x)的單調(diào)性；（2）若f ( x)有三個零點，求的取值范圍【答案）見解析(2)(0,)【解析】【分析】（1）f ( x ) ，對 k 分 k 和 k 種情況討論即可；（2）f x)有三個零點，由1知 ，且 f ( f (k) k) ，解不等式組得到的范圍，再利用零點存在性定理加以說明即可.【詳解）題，f ( x ) x 2 ，當(dāng) 時，f ( x) 0恒成立，所以f x)在( 上單調(diào)遞增；當(dāng) 時令 f x) ， x k k，令

18、f ) 0 ， 3k，令f ( ) 0，得 x k 或 x ，所以 f ( x) 在 ( ) 3 3 上單調(diào)遞減，在k ( ) ， ( , 3上單調(diào)遞增.（2）由（）知，f ( )有三個零點，則 ，且 f ( f (k) k) 2 k 3即 k 2 3kk，解得 ，當(dāng) 時， k k，且 ( k ) ，所以f ( )在 (k )上有唯一一個零點， 2 AQ 22 2 同理 2 AQ 22 2 k，f ( 3 2，所以f ( )在 ( k)上有唯一一個零點，又f x)在 ( k ) 上有唯一一個零點，所以f ( x)有三個零點，綜上可知的取值范圍為(0,)【點晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)

19、性以及已知零點個數(shù)求參數(shù)的范圍問題，考查生邏輯推 理能力、數(shù)學(xué)運算能力，是一道中檔.19.已橢圓 C : m m的離心率為 ， A ， B 分為 C 的、右頂點 （1）求 C 的程；（2）若點 P 在 上點 Q 在線x 上且 BQ |， BP BQ ， APQ 的積【答案）【解析】【分析】 2 16 2 25 255 ） .2（1）因為 : m ，得 ， b ，據(jù)心率公式，結(jié)合已知，即可求得答案； m（2）點 在上，點在直線x 上，且 BP |，BP BQ ，過點 P 作 軸線，交點為 M ，設(shè)x 與 x 軸點為，可得 eq oac(, )BNQ，可求得 P 點標(biāo)，求出直線 的直線方程，根據(jù)點

20、到直線距離公式和兩點距離公式，即可求得 的積【詳解） : m m ， b m，c 根據(jù)離心率 ，a 4解得m 5或 4(舍)，x x x x 的程： ，即 2 16 2 25 25；（2）不妨設(shè) P ,在 x 軸方點 在上，點在直線x 上，且 BP |，BP BQ，過點 P 軸線，交點為 M ，設(shè) 與 軸點 根據(jù)題意畫出圖形，如圖 BP |，BP BQ，PMB 90，又PBM QBN 90 QBN ， ，根據(jù)三角形全等條件“AAS”，可得： eq oac(, )BNQ， 2 16 25 ， B (5,0)， ，設(shè) 點 x y P P，可得 P 縱坐標(biāo)為y P，將其代入 2 16 25 ，2 2

21、 2 2 可得： 16P 25 ，解得：x P或x P， P 點 (3,1) 或 3,1) ，當(dāng) P 為 (3,1) 時故MB ， eq oac(, )BNQ， MB NQ |，可得：點為(6, 2)，畫出圖象，如圖，( , (6,2)可求得直線 AQ 直線方程為： x ，根據(jù)點到直線距離公式可得 P 到線 AQ 的離為： 2 22 512555，根據(jù)兩點間距離公式可得： ， APQ 面積為： 5 ； 5 當(dāng) P 為 ( 時故MB 5+3 ， eq oac(, )BNQ， MB NQ |，2 2 可得： Q 點 ，2 2 畫出圖象，如圖( , Q ，可求得直線的直線方程為： x y 40 ，根據(jù)點到直線距離公式可得 到線 AQ 的距為：d 8 8 251855185，根據(jù)兩點間距離公式可得： AQ ，面積為：1 5 5 185 2 2，綜上所述， 面為：52【點睛】本題主要考查了求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程和求三角形面積問題，解題關(guān)鍵是掌握橢圓的離心率義和數(shù)形 結(jié)合求三角形面積，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔（二）考題：共 10 分.請考