2023年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題與解答(A卷)

1、2023年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試第10頁(yè)，共10頁(yè)2023年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試A卷說(shuō)明：評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)填空題只設(shè)8分和0分兩檔；其他各題的評(píng)閱，請(qǐng)嚴(yán)格按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的評(píng)分檔次給分，不要增加其他中間檔次如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評(píng)卷時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次給分，解答題中第9小題4分為一個(gè)檔次，第10、11小題5分一個(gè)檔次，不要增加其他中間檔次一、填空題：本大題共8小題，每題8分，共64分1設(shè)實(shí)數(shù)滿足，那么的取值范圍是2設(shè)復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，分別表示的共軛復(fù)數(shù)，那么的模為3正實(shí)數(shù)均不等于1，假設(shè)，那么的值為4袋子A中裝有2張10元紙

2、幣和3張1元紙幣，袋子B中裝有4張5元紙幣和3張1元紙幣現(xiàn)隨機(jī)從兩個(gè)袋子中各取出兩張紙幣，那么A中剩下的紙幣面值之和大于B中剩下的紙幣面值之和的概率為5設(shè)P為一圓錐的頂點(diǎn)，A，B，C是其底面圓周上的三點(diǎn)，滿足=90，M為AP的中點(diǎn)假設(shè)AB=1，AC=2，那么二面角MBCA的大小為6設(shè)函數(shù)，其中是一個(gè)正整數(shù)假設(shè)對(duì)任意實(shí)數(shù)，均有，那么的最小值為7雙曲線C的方程為，左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)作直線與雙曲線C的右半支交于點(diǎn)P，Q，使得=90，那么的內(nèi)切圓半徑是8設(shè)是1，2，100中的4個(gè)互不相同的數(shù)，滿足那么這樣的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)為二、解答題：本大題共3小題，共56分解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟

3、9此題總分值16分在中，求的最大值10此題總分值20分是R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意，均有求的值11此題總分值20分如下列圖，在平面直角坐標(biāo)系中，F(xiàn)是軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)以F為焦點(diǎn)，O為頂點(diǎn)作拋物線C設(shè)P是第一象限內(nèi)C上的一點(diǎn)，Q是軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，使得PQ為C的切線，且PQ=2.圓均與直線OP相切于點(diǎn)P，且均與軸相切求點(diǎn)F的坐標(biāo)，使圓與的面積之和取到最小值2023年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試一、此題總分值40分設(shè)實(shí)數(shù)滿足。求的最大值。二、此題總分值40分如下列圖，在中，X，Y是直線BC上兩點(diǎn)X，B，C，Y順次排列，使得。設(shè)，的外心分別為，直線與AB，AC分別交于點(diǎn)U，V。證明：是等腰三角形。三、此題總

4、分值50分給定空間中10個(gè)點(diǎn)，其中任意四點(diǎn)不在一個(gè)平面上，將某些點(diǎn)之間用線段相連，假設(shè)得到的圖形中沒(méi)有三角形也沒(méi)有空間四邊形，試確定所連線段數(shù)目的最大值。四、此題總分值50分設(shè)與均是素?cái)?shù)，。數(shù)列的定義為，。這里表示不小于實(shí)數(shù)的最小整數(shù)。2023年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試A卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明：評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)填空題只設(shè)8分和0分兩檔；其他各題的評(píng)閱，請(qǐng)嚴(yán)格按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的評(píng)分檔次給分，不要增加其他中間檔次如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評(píng)卷時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次給分，解答題中第9小題4分為一個(gè)檔次，第10、11小題5分一個(gè)檔次，不要增加其他中間

5、檔次一、填空題：本大題共8小題，每題8分，共64分1設(shè)實(shí)數(shù)滿足，那么的取值范圍是答案：解：由可得，原不等式可變形為即，所以又，故2設(shè)復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，分別表示的共軛復(fù)數(shù)，那么的模為答案：解：由運(yùn)算性質(zhì)，因?yàn)榕c為實(shí)數(shù)，故，又，所以，從而因此，的模為3正實(shí)數(shù)均不等于1，假設(shè)，那么的值為答案：解：令，那么，條件化為，由此可得，因此4袋子A中裝有2張10元紙幣和3張1元紙幣，袋子B中裝有4張5元紙幣和3張1元紙幣現(xiàn)隨機(jī)從兩個(gè)袋子中各取出兩張紙幣，那么A中剩下的紙幣面值之和大于B中剩下的紙幣面值之和的概率為答案：解：一種取法符合要求，等價(jià)于從A中取走的兩張紙幣的總面值小于從B中取走的兩張紙幣的總

6、面值，從而故只能從A中國(guó)取走兩張1元紙幣，相應(yīng)的取法數(shù)為又此時(shí)，即從B中取走的兩張紙幣不能都是1元紙幣，相應(yīng)有種取法因此，所求的概率為5設(shè)P為一圓錐的頂點(diǎn)，A，B，C是其底面圓周上的三點(diǎn)，滿足=90，M為AP的中點(diǎn)假設(shè)AB=1，AC=2，那么二面角MBCA的大小為答案：解：由=90知，AC為底面圓的直徑設(shè)底面中心為O，那么平面ABC，易知，進(jìn)而設(shè)H為M在底面上的射影，那么H為AO的中點(diǎn)在底面中作于點(diǎn)K，那么由三垂線定理知，從而為二面角MBCA的平面角因，結(jié)合與平行知，即，這樣故二面角MBCA的大小為6設(shè)函數(shù)，其中是一個(gè)正整數(shù)假設(shè)對(duì)任意實(shí)數(shù)，均有，那么的最小值為答案：16解：由條件知，其中當(dāng)且僅

7、當(dāng)時(shí)，取到最大值根據(jù)條件知，任意一個(gè)長(zhǎng)為1的開(kāi)區(qū)間至少包含一個(gè)最大值點(diǎn)，從而，即反之，當(dāng)時(shí)，任意一個(gè)開(kāi)區(qū)間均包含的一個(gè)完整周期，此時(shí)成立綜上可知，正整數(shù)的最小值為7雙曲線C的方程為，左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)作直線與雙曲線C的右半支交于點(diǎn)P，Q，使得=90，那么的內(nèi)切圓半徑是答案：解：由雙曲線的性質(zhì)知，因=90，故，因此從而直角的內(nèi)切圓半徑是8設(shè)是1，2，100中的4個(gè)互不相同的數(shù)，滿足那么這樣的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)為答案：40解：由柯西不等式知，等號(hào)成立的充分必要條件是，即成等比數(shù)列于是問(wèn)題等價(jià)于計(jì)算滿足的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)設(shè)等比數(shù)列的公比，且為有理數(shù)記，其中為互素的正整數(shù)，且先考慮的情況此時(shí)，注意到互

8、素，故為正整數(shù) 相應(yīng)地，分別等于，它們均為正整數(shù)這說(shuō)明，對(duì)任意給定的，滿足條件并以為公比的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)，即為滿足不等式的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，即由于，故僅需考慮這些情況，相應(yīng)的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱性可知，亦有20個(gè)滿足條件的等比數(shù)列綜上可知，共有40個(gè)滿足條件的有序數(shù)組二、解答題：本大題共3小題，共56分解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟9此題總分值16分在中，求的最大值解：由數(shù)量積的定義及余弦定理知，同理得，故條件化為即8分由余弦定理及根本不等式，得所以12分等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)因此的最大值是16分10此題總分值20分是R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意，均有求的值解：設(shè)=1，2，3，那么在中取，注意

9、到，及為奇函數(shù)可知5分即，從而10分因此20分11此題總分值20分如下列圖，在平面直角坐標(biāo)系中，F(xiàn)是軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)以F為焦點(diǎn)，O為頂點(diǎn)作拋物線C設(shè)P是第一象限內(nèi)C上的一點(diǎn)，Q是軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，使得PQ為C的切線，且PQ=2.圓均與直線OP相切于點(diǎn)P，且均與軸相切求點(diǎn)F的坐標(biāo)，使圓與的面積之和取到最小值解：設(shè)拋物線C的方程是，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，并設(shè)的圓心分別為設(shè)直線PQ的方程為，將其與C的方程聯(lián)立，消去可知因?yàn)镻Q與C相切于點(diǎn)P，所以上述方程的判別式為，解得進(jìn)而可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為于是由PQ=2可得5分注意到OP與圓相切于點(diǎn)P，所以設(shè)圓與軸分別相切于點(diǎn)M，N，那么分別是的平分線，故=90從而由射

10、影定理知結(jié)合，就有10分由共線，可得化簡(jiǎn)得15分令，那么圓的面積之和為根據(jù)題意，僅需考慮T取到最小值的情況根據(jù)、可知，作代換，由于，所以于是上式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)，因此結(jié)合得，從而F的坐標(biāo)為20分2023年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試一、此題總分值40分設(shè)實(shí)數(shù)滿足。求的最大值。解：令，由得，對(duì)，2023，均有。假設(shè)，那么。10分以下考慮的情況。約定。由平均不等式得20分所以。30分當(dāng)時(shí)，上述不等式等號(hào)成立，且有，此時(shí)。綜上所述，所求最大值為。40分二、此題總分值40分如下列圖，在中，X，Y是直線BC上兩點(diǎn)X，B，C，Y順次排列，使得。設(shè)，的外心分別為，直線與AB，AC分別交于點(diǎn)U，V。證明：是

11、等腰三角形。證法一：作的內(nèi)角平分線交BC于點(diǎn)P，設(shè)三角形ACX和ABY的外接圓分別為和。由內(nèi)角平分線的性質(zhì)知，。由條件可得。從而即。20分故P對(duì)圓和的冪相等，所以P在和的根軸上。30分于是，這說(shuō)明點(diǎn)U，V關(guān)于直線AP對(duì)稱，從而三角形AUV是等腰三角形。40分證法二：設(shè)的外心為O，連接，。過(guò)點(diǎn)，分別作直線BC的垂線，垂足分別為，作于點(diǎn)K。我們證明。在直角三角形中，由外心性質(zhì)，。又，故。而分別是BC，CX的中點(diǎn)，所以。因此這里R是的外接圓半徑。同理。10分由條件可得，故。20分由于，所以90。同理90。30分又因?yàn)?，故，從而。這樣，即是等腰三角形。40分三、此題總分值50分給定空間中10個(gè)點(diǎn)，其中

12、任意四點(diǎn)不在一個(gè)平面上，將某些點(diǎn)之間用線段相連，假設(shè)得到的圖形中沒(méi)有三角形也沒(méi)有空間四邊形，試確定所連線段數(shù)目的最大值。解：以這10個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，所連線段為邊。得到一個(gè)10階簡(jiǎn)單圖G。我們證明G的邊數(shù)不超過(guò)15.設(shè)G的頂點(diǎn)為，共有條邊，用表示頂點(diǎn)的度。假設(shè)對(duì)，10都成立，那么假設(shè)存在滿足。不妨設(shè)，且與均相鄰。于是之間沒(méi)有邊，否那么就形成三角形，所以，之間恰有條邊。10分對(duì)每個(gè)，至多與中的一個(gè)頂點(diǎn)相鄰否那么設(shè)與相鄰，那么就對(duì)應(yīng)了一個(gè)空間四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，這與題設(shè)條件矛盾。從而與之間的邊數(shù)至多條。20分在這個(gè)頂點(diǎn)之間，由于沒(méi)有三角形，由托蘭定理，至多條邊，因此G的邊數(shù)30分如圖給出的圖共有15條邊，且滿足要求。綜上所述，所求邊數(shù)的最大值為1