非線性系統(tǒng)-描述函數(shù)自動控制原理

1、描述函數(shù)鄒斌上海大學 自動化系地 址:上海市延長路149號郵政編碼：200072電子郵件: 電 話: 第六章 線性系統(tǒng)的校正方法概念針對一任意非線性系統(tǒng)，設輸入x=Xsint,輸出波形為y(t)，則可以將y(t)表示為富氏級數(shù)形式針對一任意非線性系統(tǒng)，設輸入x=Xsint,輸出波形為y(t)，則可以將y(t)表示為富氏級數(shù)形式描述函數(shù)的概念對于奇對稱函數(shù)非線性環(huán)節(jié)的正弦響應y(t)ty(t)ty(t)tty(t) 非線性特性的線性化表示方法：以輸出y(t)的基波分量近似地代替整個輸出。亦即略去輸出的高次諧波，將輸出表示為非線性元件在正弦輸入下，其輸出也是一個同頻率的正弦量，只是振幅和相位發(fā)生了

2、變化。這與線性元件在正弦信號作用下的輸出具有形式上的相似性，故稱上述近似處理為諧波線性化。 一般高次諧波的振幅小于基波的振幅，因而為進行近似處理提供了可靠的物理基礎。 描述函數(shù)法的定義是：輸入為正弦函數(shù)時，輸出的基波分量與輸入正弦量的復數(shù)比。其數(shù)學表達式為 描述函數(shù)的定義y(t)= A0+(Ancosnt+Bnsin nt)= A0+Yn(sin nt+n)n=1n=1若A0=0，且當n1時，Yn均很小，則可近似認為非線性環(huán)節(jié)的正弦響應僅有一次諧波分量！1111X(t) = Asin ty(t) Y1sin(t+1)非線性環(huán)節(jié)可近似認為具有和線性環(huán)節(jié)相類似的頻率響應形式為此，定義正弦信號作用下

3、，非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出中一次諧波分量和輸入信號的復數(shù)比為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，用N(A)表示：y(t) A1cos t+B1sin t Y1sin(t+1)1= arctgA1/B1N(A) = N(A) ejN(A) =傅氏展開斜對稱、奇函數(shù)A0=An=0典型非線性特性的描述函數(shù)理想繼電特性飽和特性死區(qū)特性死區(qū)飽和特性非線性增益I非線性增益II理想繼電器特性死區(qū)繼電器特性滯環(huán)繼電器特性間隙、滯環(huán)特性1）單值非線性的描述函數(shù)是實數(shù),非單值非線性的描述函數(shù)是復數(shù)。2）如果一非線性可以看作是兩個非線性的疊加、即 設y1、y2、y分別有N1(A)、N2(A)、N(A）非線性特性描述函數(shù)的共同特點系統(tǒng)

4、開環(huán)部分可分離為： 非線性環(huán)節(jié)N(A) 線性部分G(s)假定：非線性環(huán)節(jié)非線性，即不是時間的函數(shù)；非線性環(huán)節(jié)特性是斜對稱的； 系統(tǒng)的線性部分具有較好的低通濾波性能。類似傳遞函數(shù)諧波線性化方法非線性系統(tǒng)的頻率特性法基于描述函數(shù)的控制系統(tǒng)分析(乃奎斯特判據(jù))若開環(huán)穩(wěn)定，則閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是G(j) 軌跡不包圍G平面的(-1,j0)。負倒描述函數(shù)（描述函數(shù)負倒特性)線性系統(tǒng)(-1,j0)?非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 G(j) 與負倒描述函數(shù)相交 閉環(huán)系統(tǒng)出現(xiàn)自持振蕩(極限環(huán)振蕩) 穩(wěn)定 ？不穩(wěn)定？ 振幅（A）？ 頻率()？設：系統(tǒng)開環(huán)的線性部分G(j)穩(wěn)定 G(j)不包圍負倒描述函數(shù) 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 G(j

5、)包圍負倒描述函數(shù) 閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定當微小擾動使振幅A增大到c點時， c點“(-1,j0)” 被G(j )軌跡包圍，系統(tǒng)不穩(wěn)定；振幅A繼續(xù)增大；不能返回到a。當微小擾動使振幅A減小到d點，d點“(-1,j0)”未被G(j )軌跡包圍，系統(tǒng)穩(wěn)定；振幅A繼續(xù)減??；不能返回到a。a點為不穩(wěn)定自振交點。分析法 微小擾動當微小擾動使振幅A增大到e點時， e點“(-1,j0)”未被G(j )軌跡包圍，系統(tǒng)穩(wěn)定；振幅A減?。环祷氐絙。當微小擾動使振幅A減小到f點， f點“(-1,j0)” 被G(j )軌跡包圍，系統(tǒng)不穩(wěn)定；振幅A增大；返回到b。 b點為穩(wěn)定自振交點。具有飽和特性的非線性系統(tǒng)Aa 時A 時負倒描

6、述函數(shù)軌跡=實軸上（-1/k, -)。G1(j)軌跡不與負倒描述函數(shù)軌跡相交不存在自持振蕩G2(j)軌跡與負倒描述函數(shù)軌跡相交b點:穩(wěn)定自振交點b Ab具有死區(qū)特性的非線性系統(tǒng)Aa 時A 時負倒描述函數(shù)軌跡=實軸上（-,-1/k)。G1(j)軌跡不與負倒描述函數(shù)軌跡相交不存在自持振蕩G2(j)軌跡與負倒描述函數(shù)軌跡相交b點:不穩(wěn)定自振交點具有間隙特性的非線性系統(tǒng)負倒描述函數(shù)為 G平面上一條曲線。A 時G1(j)軌跡不與負倒描述函數(shù)軌跡相交不存在自持振蕩G2(j)軌跡與負倒描述函數(shù)軌跡相交b點:穩(wěn)定自振交點b Ab具有間隙特性的非線性系統(tǒng)負倒描述函數(shù)為 G平面上一條曲線。A 時G1(j)軌跡不與

7、負倒描述函數(shù)軌跡相交不存在自持振蕩G2(j)軌跡與負倒描述函數(shù)軌跡相交b點:穩(wěn)定自振交點b Ab具有滯環(huán)繼電器特性的非線性系統(tǒng)負倒描述函數(shù)為第三象限內(nèi)平行于橫軸的一組直線。3）單邊滯環(huán)寬度 h增加 負倒描述函數(shù)軌跡向下移動 自持振蕩頻率將低，振幅增大2）如有數(shù)個交點 必有穩(wěn)定的自振交點1）如只有一個交點 必為穩(wěn)定的自振交點h2h1非線性系統(tǒng)的校正！改變G(j )可使系統(tǒng)性能改變！改變N(A)同樣可以使系統(tǒng)性能改變！第五節(jié) 非線性系統(tǒng)性能改進及非線性應用一、非線性校正基本結構串聯(lián)結構并聯(lián)結構反饋結構兩個非線環(huán)節(jié)并聯(lián)使非線性特性發(fā)生改變示例二、非線性特性的應用非線性阻尼控制非線性因素對線性系統(tǒng)的性能會帶來不利的影響，如有目的的引入非線性環(huán)節(jié)，可使系統(tǒng)性能大幅度提高，甚至達純到線性系統(tǒng)無法實現(xiàn)的效果非線性阻尼下的階躍響應未引入微分反饋引入微分反饋非線性阻尼K試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性；如果系統(tǒng)出現(xiàn)自持振蕩，如何消除之？K20，死區(qū)繼電器特性M3，al。三、改善非線性系統(tǒng)性能舉例Aa=1A G(j)軌跡與負實軸交點頻率值G(j)軌跡與負倒描述函數(shù)有兩個交點：a不穩(wěn)定自振交點b穩(wěn)定自振交點a不穩(wěn)定自振交點b穩(wěn)定自振交點A11.11A22.3如要求穩(wěn)定1）改變G(j )調整KK2）改變N(A):調整死區(qū)繼電器特