隨機變量及其分布市公開課獲獎?wù)n件

1、第二章 隨機變量及其分布 1 隨機變量概念與離散型隨機變量1.1 隨機變量概念為了全面地研究隨機試驗結(jié)果,揭示客觀存在著統(tǒng)計規(guī)律性,我們將隨機試驗結(jié)果與實數(shù)相應(yīng)起來,將隨機試驗結(jié)果數(shù)量化,引入隨機變量概念.第1頁第1頁第2頁第2頁 引入隨機變量后,就能夠用隨機變量X描述事件.普通對于任意實數(shù)集合L,X L表示事件e|X(e)L.通常,我們用大寫字母X、Y、Z等表示隨機變量.第3頁第3頁第4頁第4頁第5頁第5頁1.2 離散型隨機變量 第6頁第6頁分布律還能夠簡樸地表示為： 分布律含有下列性質(zhì):第7頁第7頁第8頁第8頁例:設(shè)一汽車在開往目的地道路上需通過四個信號燈,每個信號燈以1/2概率允許或嚴(yán)禁

2、汽車通過.以X表示汽車初次停下時,它已通過信號燈數(shù)(設(shè)各信號燈工作是互相獨立),求X分布律.解 以p表示每個信號燈嚴(yán)禁汽車通過概率,易知X分布律為 或?qū)懗蒔X=k=(1-p)kp,k=0,1,2,3;PX=4=(1-p)4. 以p=1/2代入得第9頁第9頁.(2)從而第10頁第10頁2 0-1分布和二項分布2 .1 0-1分布(兩點分布)X01Pk1-pp第11頁第11頁X01Pk0.550.45第12頁第12頁X01Pk0.10.6+0.3第13頁第13頁 例:在100件產(chǎn)品中,有95件正品,5件次品.現(xiàn)從中隨機地取一件,假如取到每件產(chǎn)品機會都相等.若定義隨機變量X為則有 PX=0=0.05

3、,PX=1=0.95若定義隨機變量Y為則有 PY=0=0.95,PY=1=0.05從中看到X,Y都服從(0-1)分布第14頁第14頁2.2 貝努里試驗和二項分布第15頁第15頁第16頁第16頁第17頁第17頁第18頁第18頁第19頁第19頁X概率分布表下列:例:在初三一個班中,有1/4學(xué)生成績優(yōu)秀.假如從班中隨機地找出5名學(xué)生,那么其中“成績優(yōu)秀學(xué)生數(shù)”X服從二項分布XB(5,1/4).即 PX=k=C5k 0.25k (1-0.25)5-k k=0,1,5第20頁第20頁第21頁第21頁第22頁第22頁X012345678P0.00070.00790.04130.12390.23220.27

4、870.20900.08960.0168第23頁第23頁2.3 0-1分布和二項分布關(guān)系 X01Pi1-pp第24頁第24頁第25頁第25頁3 泊松分布3.1 泊松分布第26頁第26頁易知 第27頁第27頁第28頁第28頁解 (1) (2) (3) 第29頁第29頁3.2 二項分布泊松迫近 泊松定理: 其中第30頁第30頁 例:設(shè)某人每次射擊命中率為0.02.獨立射擊400次,試求至少擊中兩次概率. 解:將每次射擊當(dāng)作一次試驗.設(shè)擊中次數(shù)為X,則XB(400,0.02). X分布律為PX=k=C400k0.02k0.98400-k ,k=0,1,2,400于是所求概率為 PX2=1-PX=0-

5、PX=1 =1-0.98400-4000.020.98399 直接計算上式很麻煩.第31頁第31頁第32頁第32頁第33頁第33頁 例:設(shè)有80臺同類型設(shè)備,各臺工作是互相獨立,發(fā)生故障概率都是0.01,且一臺設(shè)備故障由一人處理.考慮兩種配備維修工人辦法:一是由4人維護,每人負(fù)責(zé)20臺;二是由三人共同維護80臺.試比較這兩種辦法在設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修概率大小.即有 PA1+A2+A3+A40.0175 解 按第一個辦法.以X記“第1人維護20臺中同一時刻發(fā)生故障臺數(shù)”,以事件Ai=第i人維護20臺中發(fā)生故障不能及時維修(i=1,2,3,4),則知80臺中發(fā)生故障不能及時維修概率為PA1+

6、A2+A3+A4PA1=PX2 而XB(20,0.01),這時=np=0.2,故有第34頁第34頁 解 按第二種辦法.以Y記80臺中在同一時刻發(fā)和故障臺數(shù).此時Y B(80,0.01),=np=0.8,故80臺中發(fā)生故障不能及時維修概率為 因此第二種辦法較第一個辦法而言,不但節(jié)約了人力,并且設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修概率要小得多. 例:設(shè)有80臺同類型設(shè)備,各臺工作是互相獨立,發(fā)生故障概率都是0.01,且一臺設(shè)備故障由一人處理.考慮兩種配備維修工人辦法:一是由4人維護,每人負(fù)責(zé)20臺;二是由三人共同維護80臺.試比較這兩種辦法在設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修概率大小.第35頁第35頁4 隨機變量分

7、布函數(shù) 4.1 分布函數(shù)定義 第36頁第36頁第37頁第37頁例:設(shè)隨機變量X分布律為求X分布函數(shù),并求PX1/2,P3/2X 5/2,P2 X 3.解:由概率有限可加性得即 PX1/2=F(1/2)=1/4 P3/2X 5/2 =F(5/2)-F(3/2) =3/4 -1/4=1/2 P2 X 3 = F(3)-F(2)+PX=2 =1-1/4+1/2=3/4第38頁第38頁-11230.250.51xF(x)F(x)示意圖第39頁第39頁4.1.1 離散型隨機變量分布函數(shù)計算設(shè)離散型隨機變量分布律為PX=xk=pk,k=1,2, 由概率可列可加性得X分布函數(shù)為F(x)= PXx=PXxk=

8、pk 這里和式是對于所有滿足xkxk求和.第40頁第40頁4.2 分布函數(shù)性質(zhì) 第41頁第41頁解 (1) 第42頁第42頁(2) X-124Pk0.20.50.3第43頁第43頁5 連續(xù)型隨機變量第44頁第44頁總而言之假如令 則有 第45頁第45頁5.1 連續(xù)型隨機變量定義 由微積分學(xué)知識可知,連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)是一個連續(xù)函數(shù).第46頁第46頁第47頁第47頁設(shè)X為連續(xù)型隨機變量, 則對任意實數(shù)ab即X落在區(qū)間概率為密度函數(shù)y=f(t)與直線t=a,t=b及t軸所圍面積.第48頁第48頁因此, X取任意單點值a概率從而第49頁第49頁5.2 密度函數(shù)性質(zhì)連續(xù)型隨機變量密度函數(shù)有下列性質(zhì)

9、：第50頁第50頁解 f(x)圖形如圖 第51頁第51頁從而得第52頁第52頁解 由密度函數(shù)性質(zhì)(1) ,從而 (2) 第53頁第53頁第54頁第54頁解 任一晶體管使用壽命超出150小時概率為(1) (2) 第55頁第55頁 例:試擬定常數(shù)a,使為某個隨機變量X概率密度,且計算事件1.50.1.解 由于即有解得K=3.于是X概率密度為第64頁第64頁解（1） （2） 第65頁第65頁（3） 第66頁第66頁7 正態(tài)分布 正態(tài)分布是一個最常見隨機變量,正態(tài)分布一些性質(zhì)與特點使其在概率論與數(shù)理統(tǒng)計理論中有尤其主要地位.7.1 正態(tài)分布概念 第67頁第67頁第68頁第68頁第69頁第69頁第70頁

10、第70頁7.2 普通正態(tài)分布概率計算 證 令 于是 第71頁第71頁解 第72頁第72頁解 因此查表得從而第73頁第73頁解 由 知 查表得從而在自然現(xiàn)象中,大量隨機變量都服從或近似服從正態(tài)分布. 在概率論和數(shù)理統(tǒng)計理論研究和實際應(yīng)用中正態(tài)分布隨機變量起著極其主要作用.第74頁第74頁例:將一溫度調(diào)整器放置在貯存著某種液體容器內(nèi), 調(diào)整器整定在d,液體溫度X(以計)是隨機變量,且X N(d,0.52). (1)若d=90,求X小于89概率. (2)若要求保持液體溫度至少為80 概率不低于0.99,問d至少為多少?解 (1)所求概率為第75頁第75頁解 (2)所求d 應(yīng)滿足即(80-d)/0.5

11、 1-0.99=0.01故(80-d)/0.5 -2.327，即d81.1635例:將一溫度調(diào)整器放置在貯存著某種液體容器內(nèi), 調(diào)整器整定在d,液體溫度X(以計)是隨機變量,且XN(d,0.52). (1)若d=90,求X小于89概率. (2)若要求保持液體溫度至少為80 概率不低于0.99,問d至少為多少?第76頁第76頁8 隨機變量函數(shù)分布 假如已知隨機變量X分布,另一隨機變量Y=g(X)是X函數(shù),如何求Y分布. 8.1 離散型隨機變量函數(shù)分布第77頁第77頁例:設(shè)隨機變量X分布律下列表,試求Y=(X-1)2分布律.解 Y所有也許取值為0,1,4.由PY=0=P(X-1)2 =0=PX=1

12、=0.1PY=1=P(X-1)2 =1=PX=0+X=2=PX=0+PX=2=0.7PY=4=P(X-1)2 =4=PX=-1=0.2即得Y分布律為第78頁第78頁8.2連續(xù)型隨機變量函數(shù)分布在許多實際問題中，常需要考慮隨機變量函數(shù)分布.如在一些試驗中,所關(guān)懷隨機變量往往不能直接測量得到,而是某個能直接測量隨機變量函數(shù).在本節(jié)中,我們將討論如何由已知隨機變量X分布去求它函數(shù)Y=f(X)分布.第79頁第79頁例:設(shè)X服從參數(shù)為泊松分布,試求Y=f(X)分布列.其中解 易知Y也許取值為-1,0,1,且有PY=0=PX=0=e-第80頁第80頁求隨機變量Y=2X+8概率密度.解 先求Y=2X+8分布函數(shù)FY