高中數(shù)學(xué)必修知識(shí)歸納總結(jié)文檔

1、高中數(shù)學(xué)必修四學(xué)問點(diǎn)總結(jié) 正角 : 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 1,任意角 負(fù)角 : 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 零角 : 不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角 2,角 的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合,終邊落在第幾象限,就稱 為第幾 o o o象限角第一象限角的集合為 k 360 k 360 90 , k 其次象限角的集合為 k 360 o90 ok 360 o180 , k oo o o o第三象限角的集合為 k 360 180 k 360 270 , k o o o o第四象限角的集合為 k 360 270 k 360 360 , k 終邊在 x 軸上的角的集合為 k 180 o, k o

2、 o終邊在 y 軸上的角的集合為 k 180 90 , k o終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為 k 90 , k o3,與角 終邊相同的角的集合為 k 360 , k 4,已知 是第幾象限角,確定 n * 所在象限的方法：先把各象限均分 n 等份,再?gòu)?x 軸的正 n半軸的上方起,依次將各區(qū)域標(biāo)上一,二,三,四,就 原先是第幾象限對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)即為 終邊 n所落在的區(qū)域 5,長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做 1 弧度的角 6,半徑為 r 的圓的圓心角 所對(duì)弧的長(zhǎng)為 l ,就角 的弧度數(shù)的確定值是 l ro7,弧度制與角度制的換算公式： 2 360 o , 1 o, 1 180 o180 8,如扇形的圓

3、心角為 為弧度制 ,半徑為 ,弧長(zhǎng)為 l ,周長(zhǎng)為 C ,面積為 S , 就 l r, C 2r l , S 1lr 1r 22 29,（一）設(shè) 是一個(gè)任意角 , 它的終邊與單位圓交于點(diǎn) P x, y , 那么:1 y 叫做 的正弦 , 記做 sin , 即 sin y ；（2） x 叫做 的余弦 , 記做 cos , 即 cos x ；（3） y 叫做 的正切 , 記做 tan , 即 x tan y x 0 ； x （二）設(shè) 是一個(gè)任意大小的角, 的終邊上任意一點(diǎn) 的坐標(biāo)是 x, y ,它與原點(diǎn)的距離是 2 2 y x y rr x y 0 ,就 sin , cos , tan x 0 r

4、 r x 第 1 頁(yè),共 7 頁(yè)10,三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：第一象限全為正,其次象限正弦為正,第三象限正切為正,第四象 限余弦為正 11,三角函數(shù)線： sin , cos , tan y P T x 12,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式： ； 12 sin 1 sin 2cos 212 sin 12 cos 2 ,cos 2sin tan sin tan cos ,cos sin tan O MA cos 13,三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式： 1 sin 2k sin , cos 2k cos , tan tan 2k tan k cos , tan 2 sin sin , cos 3 sin sin ,

5、cos cos , tan tan 4 sin sin , cos cos , tan tan 口訣：函數(shù)名稱不變,符號(hào)看象限 5 sin 2cos , cos 2sin 6 sin 2cos , cos 2sin 口訣：函數(shù)名轉(zhuǎn)變,符號(hào)看象限 14, 圖像變換的兩種方式： （一）函數(shù) y sin x 的圖象上全部點(diǎn)向左（右）平移 個(gè)單位長(zhǎng)度, 得到函數(shù) y sin x 的圖象 （ 0 是左移； 0 是 左移； 0 是右移）；得到函數(shù) y sin x 的圖象； 再將函數(shù) y sin x 的圖象上全部點(diǎn)的 縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原先的 倍（橫坐標(biāo)不變）,得到函數(shù) y sin x 的圖象 0, 0

6、函數(shù) y sin x 0, 0 的性質(zhì)： 第 2 頁(yè),共 7 頁(yè)振幅 ； 周期： 2； 頻率： f 12； 相位： x ； 初相： ,就 函數(shù) y sin x ,當(dāng) x x1 時(shí),取得最小值為 ymin ；當(dāng) x x2 時(shí),取得最大值為 ymax 1ymax ymin , 1ymax ymin , 2x2 x1 x1 x2 2215,正弦函數(shù),余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)： 性 質(zhì) 函 數(shù) y sin x y cosx y tan x 圖象 定義域 RRx x k 2, k 值域 1,1 1,1 R既無(wú)最大值也無(wú)最小值 奇函數(shù) 當(dāng) x 2 k 2k 時(shí), 當(dāng) x 2k k 時(shí), 最值 yma

7、x 1 ；當(dāng) x 2k 2ymax 1 ；當(dāng) x 2k k 時(shí), ymin 1 k 時(shí), ymin 1 周期 22奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 在 2k 2, 2k 2在 2k ,2 k k 上是 在 k 2, k 2k 上是增函數(shù)；在 單調(diào)性 增函數(shù)；在 2k ,2 k 2k 2, 2k 3k 上是減函數(shù) k 上是增函數(shù) 2k 上是減函數(shù) 對(duì)稱中心 k ,0 k 對(duì)稱性 對(duì)稱中心 k ,0 2k 對(duì)稱中心 k 2,0 k 對(duì)稱軸 x k k 對(duì)稱軸 x k 2k 無(wú)對(duì)稱軸 16. 三角函數(shù)奇偶性規(guī)律總結(jié)（ A 0, 0 ） 函數(shù) y A sin x 為奇函數(shù)的條件為 k , k Z 第 3 頁(yè),共

8、 7 頁(yè)函數(shù) y A sin x 為偶函數(shù)的條件為 k 2,k Z . 函數(shù) y A cos x 為奇函數(shù)的條件為 k 2, k Z 函數(shù) y A cos x 為偶函數(shù)的條件為 k , k Z 函數(shù) y A tan x 為奇函數(shù)的條件為 17向量：既有大小,又有方向的量 有向線段的三要素：起點(diǎn),方向,長(zhǎng)k , k Z 它不行能是偶函數(shù) 2數(shù)量：只有大小,沒有方向的量 零向量：長(zhǎng)度為 0 的向量 平行向量（共度 單位向量：長(zhǎng)度等于 1 個(gè)單位的線向量） ：方向相同或相反的 非零 向量 向量 規(guī)定：零向量與任一向量平行 相等向量：長(zhǎng)度相等且 方向相同 的向量 相反向量：長(zhǎng)度相等且 方向相反 的向量

9、 18,向量加法：三角形法就的特點(diǎn)：首尾相連平行四邊形法就的特點(diǎn)：共起點(diǎn) C三角形不等式： a rr b a rr b a rr b r 0 a ra ry2 ra rar b uuur uuur C運(yùn)算性質(zhì)：交換律： a rr b r b a ； rr b uuur C結(jié)合律： r a r b rc ra r b rc ； a rr 0 坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè) a rx1, y1 r, b x2 , y2 ,就 a rr b x1 x2 , y1 19,向量減法運(yùn)算： 三角形法就的特點(diǎn)：共起點(diǎn),連終點(diǎn),方向減向量的終點(diǎn)指向被減向量終點(diǎn) （見上圖） 坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè) a r x , y 1 1 , b rx

10、 , y 2 2 ,就 a r b rx 1 x , y 2 1 y 2 uuur 設(shè) , 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 x , y , x , y ,就 1 1 2 2 x 1 x , y 2 1 y 2 20,向量數(shù)乘運(yùn)算： 實(shí)數(shù) 與向量 a 的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作 r a r a r a；當(dāng) r 0 時(shí), a 的方向與 a 的方向相同；r r 0 時(shí), a 的方向與 a 的方向相反； r r當(dāng) 當(dāng) 0 時(shí), a r r0 0 a = 0 r r運(yùn)算律： a r a ； r a r a r a ； r a r b ra r b r坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè) a r x, y ,就 a r x,

11、 y x, y 4 ra ur0,就 ra ra 表示與 a 同方向的單位向量, r-ra ra 表示與 a 反方向的單位向量； r21 向量共線條件： 1 向量 ra r a 0 與 b 共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯獨(dú)一個(gè)實(shí)數(shù) r r,使 b ra r2 共線的坐標(biāo)表示, 設(shè) a r x1 , y1 ,b rx2 , y2 ,其中 b r r0 ,就當(dāng)且僅當(dāng) x1 y2 x2 y1 0 時(shí),向量 a , ruuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur 如圖, OA,OB 不共線 ,且 uuur uuur uuur uuur uuur AP t AB t uuur R, uuu

12、r 用 OA,O第B 4 表 頁(yè)示,共O 7P頁(yè)； r r rb b 0 共線 ur uur22,平面對(duì)量基本定理：假如 e1 , e2 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任 意向量 a ,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) r1, 2,使 a r 1e1 ur 2 e2 uur（不共線 的向量 e1 ur, e2 叫做這一平面內(nèi)所 uur 有向量的一組基底） ur uur ur uur ur uur小結(jié)論：（1）如 e1 , e2 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量, xe1 ye2 me1 ne2 ,就 x=m,ur uur ur uur ur y=n （2）如 e1 , e2 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)

13、不共線向量, xe1 ye2 0,就 x=y=0 uuur uuur 23,分點(diǎn)坐標(biāo)公式： 設(shè)點(diǎn) 是線段 1 2 上的一點(diǎn), 1 , 2 的坐標(biāo)分別是 x1 , y1, x2 , y2,當(dāng) 1 2時(shí),可推出點(diǎn) 的坐標(biāo)是 x1 x2 y1 , y2 （會(huì)寫出向量坐標(biāo),會(huì)運(yùn)算； ） 1 124,平面對(duì)量的數(shù)量積： 定義： a b r rra b rcos ra r0,b r0,0 r o180 o零向量與任一向量的數(shù)量積為 0 a cos r： a 在 b r r方向上的投影 b cos r： b 在 a 方向上的投 r r影 留意：務(wù)必要算對(duì)兩個(gè)非零向量的夾角： 設(shè)兩個(gè)非零向量 a r OA 與

14、 b uuur rOB uuur, 稱 AOB 為向量 a 與 b r r的夾 角 0 o 180 o ,留意在兩向量的夾角定義,兩向量必需是同起點(diǎn)的； 性質(zhì)：設(shè) a 和 b 都是非零向量,就 a r r r b ra r b r0 當(dāng) a 與 b 同向時(shí), a r r r b ra r b r；當(dāng) a 與 b 反向時(shí), a r r r b ra r b r； a a r r a r 2 a r 2或 a r a a rr a r b ra r b r 運(yùn)算律： a b r rb ra ； r ra b r ra b r ra b r； ra b r rc a c r r b rc r坐標(biāo)運(yùn)算

15、：設(shè)兩個(gè)非零向量 a rx1 , y1 , b rx2 , y2 ,就 a r b rx1 x2 y1 y2 （5）如 a r x, y ,就 a r2 x 2y 2,或 ra x 2 y 2 （6）設(shè) a rx1, y1 , b rx2 , y2 ,就 a r b rx1x2 y1 y2 0 （7）設(shè) a , b 都是非零向量, r r ra x1, y1 , b rx2 , y2 , 是 a 與 b 的夾角, r r第 5 頁(yè),共 7 頁(yè)就 cos r a b ra b r r2 x x1x2 y1 y2 2 y 2 y 2 x 25,兩角和與差的正弦,余弦和正切公式： cos cos c

16、os sin sin ； cos cos cos sin sin ； sin sin cos cos sin ； sin sin cos cos sin ； tan tan tan 變形：（ tantan tan 1tan tan ）； 1 tan tan tan tan tan 變形：（ tan tan tan 1tan tan ） 1 tan tan 26,二倍角的正弦,余弦和正切公式： 1 2sin 2 sin2 2sin cos 變形： sin cos cos2 cos 2sin 22cos 211 2sin 2cos sin cos sin 變形得到降冪公式： cos 2 1 cos

17、2 , sin 2 1 cos2 tan 2 1 cos2 2 2 1 cos2 tan2 2 tan 2 1 tan27, sin cos 2 2sin ,其中 tan tan sin 2 1 cos2 1 cos2 sin 2 2022 高考題解析,規(guī)范解題步驟 已知函數(shù) f x 1sin 2 xsin cos xcos 2 1sin 0 , 2 2 2其圖象過點(diǎn)（ 1 , ）（）求 的值；（）將函數(shù) y f x 的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原先的 1,縱坐標(biāo) 6 2 2 不變,得到函數(shù) y f x 的圖象,求函數(shù) g x 在 0, 上的最大值和最小值 4解：（）由于 f x 1 sin 2

18、xsin cos 2 xcos 1 sin 0 2 2 2所以 f x 1 sin 2xsin 1 cos2x cos 1 cos 2 2 21 1sin 2 xsin cos 2 x cos 2 21sin 2 x sin cos 2x cos 21cos2x 21又 函數(shù)圖像過點(diǎn) , 6 2 第 6 頁(yè),共 7 頁(yè)所以 11 cos2 26y f x 的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原先的 11,縱坐標(biāo) 2即 cos 31又 0f x 所以 33（） 由（）知 1 cos2x 2 ,將函數(shù) 2不變,得到函數(shù) y g x 的圖像,可知 在 0, 上的最大值和最小值分別為 41和 g x f 2 x 1cos4x 32由于 x 0, 4 所以 4 x 0, 因此 4x 3 3 , 2 3 故 1cos4x 31所以 y g x 224為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)？ 數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,生活離不開數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)對(duì)個(gè)人,社會(huì),世界都會(huì)